专题27 与角有关的等腰三角形的存在性问题-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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有时，等腰三角形通过边来计算过于复杂，而条件中又恰好有关于角的一些条件，此时经常可以讨论角之间的关系，再利用“等角对等边”的性质从而形成等腰三角形．
【例题讲解】
1、如图1，在△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 5，∠C = 30°，点D是AC边上一动点（不与A、C重合），过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，联结EF，设AE = x，EF = y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）以F为圆心、FC为半径的⊙F交直线AC于点G，当点G为AD中点时，求x的
值；
（3）如图2，联结BD，将△EBD沿直线BD翻折，点E落在点E′处，直线BE′与直线
AC相交于点M，当△BDM为等腰三角形时，求∠ABD的度数．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
E’
M
G
H
图1 图2
【答案】（1）（）；（2）x的值为；
（3）∠ABD的度数为20°或40°或80°．
【解析】解：（1）∵，
∴DE//BC，
∴．
∴（定义域为）；
（2）作GH⊥BC于H，
易得：，，，
∴，
解得：，（舍去）．
（3）分情况讨论，设，则，
① BD=BM时，
当点M在AC边上时，
∴．
∴．
又∵，
∴，解得：；
当点M在CA的延长线上时，同理可得；
② BD=DM时，
又∵，
∴．
又∵，
∴，∴；
③ DM=BM时，
∵，
∴，不可能．
【总结】本题主要考查直角三角形的性质与圆有关的性质定理的运用，注意等腰三角形的分类讨论．