2023-2024学年山东省青岛大学附中七年级(下)开学数学试卷(含解析)
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这是一份2023-2024学年山东省青岛大学附中七年级(下)开学数学试卷(含解析),共15页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.下列运算正确的是( )
A. a4+a5=2a9B. 2a4⋅3a5=6a9C. a3⋅a3⋅a3=3a3D. (−a3)4=a7
2.如图,小颖依据所在城市2020年8月16日连续12个小时的风力变化情况,画出了风力随时间变化的图象,根据图象进行判断,下列说法正确的是( )
A. 8时风力最小B. 在8时至12时,最大风力为5级
C. 在12时至14时,最大风力为7级D. 8时至14时,风力不断增大
3.已知方格纸中线段AB、线段CD和线段BE,如图所示.下列四位同学的观察结论正确的有( )
甲同学:AB//CD;
乙同学:∠D和∠DAC互余;
丙同学:线段AB的长为点A到直线BE的距离;
丁同学:线段BE的长为点E到直线AB的距离.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.下列各式中能用完全平方公式计算的是( )
A. (−x+2)(x+2)B. (−3−x)(x+3)
C. (2x−y)(2x+y)D. (−2x−y)(−2x+y)
5.若(x+3)(2x−a)展开后不含x的一次项,则a的值等于( )
A. 6B. −6C. 0D. −2
6.将一副三角板如图放置,则下列结论中正确的是( )
①如果∠2=30°,则有AC//DE;
②∠BAE+∠CAD=180°;
③如果BC//AD,则有∠2=45°;
④如果∠CAD=150°,必有∠4=∠C.
A. ①②③B. ③④C. ①②④D. ①②③④
7.甲、乙两辆汽车在同一条路上匀速行驶,图①和图②表示汽车速度与时间的关系,图③和图④表示汽车路程与时间的关系,小明对4个图中汽车运动的情况进行了描述,其中正确的是( )
A. 图①,乙的速度是甲的3倍,相同时间甲乙的路程相等
B. 图②,乙的速度是甲的2倍,相同时间乙的路程是甲的一半
C. 图③,乙的速度是甲的2倍,相同时间乙的路程是甲的一半
D. 图④,乙的速度是甲的2倍,相同时间乙的路程是甲的2倍
8.将两个边分别为a和b的正方形拼在一起,B、C、G三点在同一直线上,连接AE、EG,若两正方形的边长满足a+b=15,ab=35,则阴影部分的面积为( )
A. 95
B. 85
C. 90
D. 100
二、填空题:本题共8小题,每小题3分,共24分。
9.(13)−2+(−3)0= ______.
10.∠1和∠2互余,∠1=56°,∠2是______度,∠2的补角是______度.
11.新冠病毒的直径大约为90纳米,纳米是一个长度单位,1纳米=110000000000米,用科学记数法表示病毒的直径为______米.
12.若4x2−kxy+25y2是完全平方式,则k=______.
13.某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验.在试验过程中,汽车一直匀速行驶,该汽车油箱中的余油量y(升)与汽车的行驶时间t(小时)之间的关系如表:
则用关系式法表示因变量y(升)与自变量t(小时)之间的关系为:______.
14.若xa=2,xb=3,则x3a−2b= ______.
15.把一张长方形纸片ABCD沿EF翻折后,点D、C分别落在D′、C′的位置上,EC′交AD于点G,∠C′GA比∠C′EF多15°,则∠C′EF=______度,∠AFE=______度.
16.在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现的三角形状的数列,又称为“杨辉三角形”,如图1.该三角形中的数据排列有着一定的规律,若将其中一组斜数列用字母a1、a2、a3…代替,如图2.计算a1+a2,a2+a3,a3+a4,…的值,观察计算结果,总结其规律,可得a99+a100=______.
三、解答题:本题共6小题,共48分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图所示,在一块长方形的木板上,已知线段AB和AB外一点C,请用尺规作图的方法作一条经过点C的线段CD,使CD//AB且与木板边缘交于点D.
18.(本小题8分)
计算:
(1)2x3y⋅(−2x2y)2÷(2xy);
(2)4(12x+1)2−(x+3)(x−3);
(3)(2021+1)2−2022×2020(请利用公式进行简便运算);
(4)(1+2a−3b)(1−2a−3b).
19.(本小题8分)
已知:x2−4x+1=0,求代数式(2x−1)2−(x+2)(x−2)−x(x+4)的值.
20.(本小题8分)
填空:把下面的推理过程补充完整,并在括号内注明理由.
已知:如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,E是AC上一点,且∠1+∠2=90°.
求证:∠DEC+∠ACB=180°.
证明:∵CD⊥AB(已知),
∴∠1+______=______(垂直定义).
∵∠1+∠2=90°(已知),
∴______=∠2(______).
∴DE//BC(______).
∴∠DEC+∠ACB=180°(______).
21.(本小题8分)
如图,已知直线a//b,∠1=70°,∠2=110°,判断直线m,直线n的位置关系并说明理由.
22.(本小题8分)
小张和小李玩猜数游戏,小张说:“你随便选三个一位数按这样的步骤去运算,①把第一个数乘5;②再加上10;③把所得结果乘以2;④加上第二个数;⑤把所得结果乘以10;⑥加上第三个数;只要你告诉我最后的得数,我就能知道你所想的三个一位数.”小李按照以上步骤试了几次,过程如下:
小张介绍了他的计算奥秘:将最后的得数减去200,所得的结果百位数就是第一个数,十位数就是第二个数,个位数就是第三个数.
探究一:证明小张想法的正确性
小张将最后的得数减去200:100a+10b+c+200−200=100a+10b+c,
所以结果百位数就是第一个数,十位数就是第二个数,个位数就是第三个数.小李听完后深受启发也设计了自己的运算程序,让小张随便选三个一位数按这样的步骤去运算:
①把第一个数乘5,再加上5;
②把第二个数乘20,再加上2;
③将①的运算结果与②的运算结果相乘,再加上第三个数;
④减去第一个数与第二个数乘积的100倍.
小李说:“只要小张告诉我最后的得数,我就能知道小张一开始所想的三个一位数.”
小李是如何知道的呢?请你模仿探究一的证明过程填写下表:
探究二:证明小李想法的正确性
请介绍小李的计算奥秘,描述:你是怎样由最后的得数,识别出最初选定的三个一位数的?
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:∵a4+a5≠2a9,
∴选项A不符合题意;
∵2a4⋅3a5=6a9,
∴选项B符合题意;
∵a3⋅a3⋅a3=a9≠3a3,
∴选项C不符合题意;
∵(−a3)4=a12≠a7,
∴选项D不符合题意;
故选:B.
利用合并同类项法则,单项式乘单项式法则,同底数幂的乘法法则,幂的乘方与积的乘方的法则对每个选项进行分析,即可得出答案.
本题考查了合并同类项,单项式乘单项式,同底数幂的乘法,幂的乘方与积的乘方,熟练掌握合并同类项法则,单项式乘单项式法则,同底数幂的乘法法则是解决问题的关键.
2.【答案】C
【解析】解:由图象可得,
20时风力最小,故选项A不合题意;
在8时至12时,风力最大为4级,故选项B不合题意,
在12时至14时,风力最大为7级,故选项C符合题意;
8时至11时,风力不断增大,11至12时,风力在不断减小,在12至14时,风力不断增大,故选项D不合题意,
故选:C.
根据函数图象可以判断各个选项中的结论是否正确,本题得以解决.
本题考查函数的图象,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
3.【答案】C
【解析】解:由方格纸可知,甲同学:AB//CD是正确的;
乙同学:∠D和∠DAC不互余,原来的说法不正确;
丙同学:线段AB的长为点A到直线BE的距离是正确的;
丁同学:线段BE的长为点E到直线AB的距离是正确的.
故选:C.
根据平行线的判定,余角的定义,点到直线的距离的定义即可求解.
本题考查了平行线的判定,余角,点到直线的距离,关键是熟练掌握相关的定义和判定.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式和完全平方公式,熟练掌握平方差公式和完全平方公式的特点是解决问题的关键.根据平方差公式和完全平方公式的特点对每个选项进行分析,即可得出答案.
【解答】
解:∵(−x+2)(x+2)=−(x−2)(x+2)=−(x2−22),
∴选项A不符合题意;
∵(−3−x)(x+3=−(x+3)2,
∴选项B符合题意;
∵(2x−y)(2x+y)=(2x)2−y2,
∴选项C不符合题意;
∵(−2x−y)(−2x+y)=(−2x)2−y2,
∴选项D不符合题意;
故选B.
5.【答案】A
【解析】解:(x+3)(2x−a)
=2x2−ax+6x−3a
=2x2+(6−a)x−3a,
∵展开后不含x的一次项,
∴6−a=0.
解得a=6.
故选:A.
根据多项式乘多项式法则展开算式,然后根据结果不含x的一次项,即可求解a的值.
本题考查多项式乘多项式,解题关键是熟知多项式乘多项式法则.
6.【答案】D
【解析】解:①∵∠2=30°,∴∠1=60°,∴∠1=∠E,∴AC//DE,故①正确;
②∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠BAE+∠CAD=∠2+∠1+∠2+∠3=90°+90°=180°,故②正确;
③∵BC//AD,
∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°,
又∵∠C=45°,∠1+∠2=90°,
∴∠3=45°,
∴∠2=90°−45°=45°,故③正确;
④∵∠CAD=150°,∠DAE=90°,
∴∠1=∠CAD−∠DAE=150°−90°=60°,
∵∠E=60°,
∴∠1=∠E,
∴AC//DE,
∴∠4=∠C,故④正确;
故选:D.
根据平行线的性质与判定,余角的性质,等逐项分析并选择正确的选项即可.
本题考查三角板中的角度计算,平行线的性质与判定,能够掌握数形结合思想是解决本题的关键.
7.【答案】D
【解析】解:A、图①:乙的速度是甲的2倍,甲乙的路程不相等,原说法错误,故本选项不合题意;
B、图②,乙的速度是甲的2倍,相同时间乙的路程是甲的两倍,原说法错误,故本选项不合题意;
C、图③,甲的速度是甲的2倍,相同时间乙的路程是甲的一半,原说法错误,故本选项不合题意;
D、图④,乙的速度是甲的2倍,相同时间乙的路程是甲的2倍,正确,故本选项符合题意;
故选:D.
根据图象的信息进行判断即可.
此题考查图象问题,关键是根据图象的信息,利用数形结合方法进行判断.
8.【答案】A
【解析】解:由题意可知,DE=a−b,
∵a+b=15,ab=35,
∴S阴影部分=S正方形ABCD+S正方形CEFG−S△ADE−S△EFG
=a2+b2−12a(a−b)−12b2
=12(a2+b2+ab)
=12[(a+b)2−ab]
=12(225−35)
=12×190
=95,
故选:A.
由S阴影部分=S正方形ABCD+S正方形CEFG−S△ADE−S△EFG,进而得到S阴影部分=12(a2+b2+ab)=12[(a+b)2−ab],代入计算即可.
本题考查完全平方公式的几何背景,掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提,将12(a2+b2+ab)化成12[(a+b)2−ab]是正确解答的关键.
9.【答案】10
【解析】解:原式=1(13)2+1
=9+1
=10.
故答案为:10.
负整数指数幂:a−p=(a≠0,p为正整数),零指数幂:a0=1(a≠0),由此即可计算.
本题考查负整数指数幂,零指数幂,有理数的加法,关键是掌握负整数指数幂,零指数幂公式.
10.【答案】34 146
【解析】解:∵∠1和∠2互余,
∴∠1+∠2=90°,
∵∠1=56°,
∴∠2=34°,
∴∠2的补角是146°;
故答案为:34,146.
根据余角补角的定义计算.
本题考查了余角和补角,熟练掌握余角和补角定义的应用是解题关键.
11.【答案】9×10−9
【解析】解:90纳米=90×110000000000米=0.000000009米=9×10−9米.
故答案为:9×10−9.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|
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