2023-2024学年云南大学附中九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南大学附中九年级（下）开学数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了如图，直线c与直线a、b都相交，下列计算正确的是，按一定规律排列的单项式等内容，欢迎下载使用。
1．下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，直线c与直线a、b都相交．若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
3．作为世界文化遗产的长城，其总长大约为6700000m．将6700000用科学记数法表示为（ ）
A．6.7×105B．6.7×106C．0.67×107D．67×108
4．下列计算正确的是（ ）
A．2a×3a＝5aB．（﹣a3）2＝a6
C．6a÷2a＝3aD．（﹣2a）3＝﹣6a3
5．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
6．某校随机抽查了10名参加2017年云南省初中学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：
下列说法正确的是（ ）
A．这10名同学的体育成绩的平均数为48
B．这10名同学的体育成绩的中位数为48
C．这10名同学的体育成绩的方差为50
D．这10名同学的体育成绩的众数为50
7．由5个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
8．不等式组，的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（ ）
A．（﹣2）n﹣1aB．（﹣2）naC．2n﹣1aD．2na
10．如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则＝（ ）
A．B．C．D．
11．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
12．如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝6，则阴影部分的面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．6π
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为（ ）
A．3B．4C．5D．6
14．如果矩形ABCD满足，那么矩形ABCD叫做“黄金矩形”．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，对角线AC，BD相交于O且BC＝2，则关于黄金矩形ABCD，下列结论不正确的是（ ）
A．AC＝BD
B．S△AOB＝
C．AC＝8﹣2
D．矩形ABCD的周长C＝2+2
二.填空题（共5小题）
15．若式子有意义，则x的取值范围是 ．
16．分解因式：3m2﹣2m﹣16＝ ．
17．如图，已知，OC⊥AB，∠1＝58°24′，则∠2＝ ．
18．计算：＝ ．
19．已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是 ．
三.解答题（共8小题）
20．（1）计算：
（2）解方程：．
21．如图，已知AD＝BC，BD＝AC．求证：∠ADB＝∠BCA．
22．有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
23．某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出最少费用．
24．为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某市教育部门对友谊中学九年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并补全上面条形统计图．
（2）本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为 ；众数为 ．
（3）该校九年级有1700名学生，请你估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2小时的学生约有多少人？
25．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
26．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC＝AB；
（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN•MC的值．
27．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
参考答案
一.选择题（共14小题）
1．下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
2．如图，直线c与直线a、b都相交．若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
【分析】由对顶角相等可得，∠3＝∠1＝55°，又a∥b，由两直线平行，同位角相等可得，∠2＝∠3＝55°．
解：如图，
∵∠1＝55°，∠1和∠3是对顶角，
∴∠3＝∠1＝55°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝55°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，对顶角相等等内容，题目比较简单，掌握相关定理可快速解答．
3．作为世界文化遗产的长城，其总长大约为6700000m．将6700000用科学记数法表示为（ ）
A．6.7×105B．6.7×106C．0.67×107D．67×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
解：6700000＝6.7×106．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．2a×3a＝5aB．（﹣a3）2＝a6
C．6a÷2a＝3aD．（﹣2a）3＝﹣6a3
【分析】直接利用整式乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．
解：A、2a×3a＝6a2，故此选项错误；
B、（﹣a3）2＝a6，正确；
C、6a÷2a＝3，故此选项错误；
D、（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
解：设这个多边形是n边形，
则（n﹣2）•180°＝900°，
解得：n＝7，
即这个多边形为七边形．
故选：C．
【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
6．某校随机抽查了10名参加2017年云南省初中学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：
下列说法正确的是（ ）
A．这10名同学的体育成绩的平均数为48
B．这10名同学的体育成绩的中位数为48
C．这10名同学的体育成绩的方差为50
D．这10名同学的体育成绩的众数为50
【分析】结合表格给出的数据，再根据众数、平均数、中位数的概念分别进行求解即可得出答案．
解：A、这10名同学的体育成绩的平均数为＝48.6，故本选项错误；
B、这10名同学的体育成绩的中，第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：＝49，故本选项错误；
C、方差＝[（46﹣48.6）2+2×（47﹣48.6）2+（48﹣48.6）2+2×（49﹣48.6）2+4×（50﹣48.6）2]≠50，故本选项错误；
D、10名学生的体育成绩中50分出现的次数最多，众数为50，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．
7．由5个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
解：由5个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
8．不等式组，的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
解：，
∵解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤3，
在数轴上表示为：，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
9．按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（ ）
A．（﹣2）n﹣1aB．（﹣2）naC．2n﹣1aD．2na
【分析】根据题意，找出规律：单项式的系数为（﹣2）的幂，其指数为比序号数少1，字母为a．
解：∵a＝（﹣2）1﹣1a，
﹣2a＝（﹣2）2﹣1a，
4a＝（﹣2）3﹣1a，
﹣8a＝（﹣2）4﹣1a，
16a＝（﹣2）5﹣1a，
﹣32a＝（﹣2）6﹣1a，
…
由上规律可知，第n个单项式为：（﹣2）n﹣1a．
故选：A．
【点评】本题主要考查了单项式的有关知识，在解题时要能通过观察得出规律是本题的关键．
10．如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
解：在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△BED∽△BAC，
∵＝，
∴＝，
即＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质，熟练掌握这些性质和定理是解决本题的关键．
11．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【分析】根据实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
解：由题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
12．如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝6，则阴影部分的面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．6π
【分析】连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD＝60°，△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可．
解：如图，连接OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD＝∠AOC＝60°，OC＝CD＝6，
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∴S阴影＝S扇形OCD＝＝6π．
故选：D．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】作DE⊥AB于E，利用BD是角平分线以及直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半即可求解．
解：作DE⊥AB于E．如图：
由作图可知，BD是△ABC的角平分线，
∴DE＝CD，
∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE，
∵AC＝12，
∴AD+DC＝2DE+DE＝12，
∴DE＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形，以及30°角的直角三角形三边的关系，解答本题的关键在于利用其性质进行解答．
14．如果矩形ABCD满足，那么矩形ABCD叫做“黄金矩形”．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，对角线AC，BD相交于O且BC＝2，则关于黄金矩形ABCD，下列结论不正确的是（ ）
A．AC＝BD
B．S△AOB＝
C．AC＝8﹣2
D．矩形ABCD的周长C＝2+2
【分析】根据矩形的性质可得∠ABC＝90°，AC＝BD，再利用黄金矩形的定义求出求出AB的长，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，然后利用矩形的周长公式求出矩形的周长，再求出△AOB的面积，逐一判断即可解答．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
∵四边形ABCD是黄金矩形，且，BC＝2，
∴AB＝﹣1，
∴AC＝＝＝，
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（﹣1+2）＝2+2，
△AOB的面积＝矩形ABCD的面积＝AB•BC＝×（﹣1）×2＝，
故A、B、D都不符合题意，C符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，黄金分割，三角形的面积，熟练掌握矩形的性质，以及黄金分割的定义是解题的关键．
二.填空题（共5小题）
15．若式子有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：∵式子有意义，
∴x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
16．分解因式：3m2﹣2m﹣16＝ （m+2）（3m﹣8） ．
【分析】直接利用ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
解：原式＝（m+2）（3m﹣8）．
故答案为：（m+2）（3m﹣8）．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确将常数项以及二次项系数分解得出是解题关键．
17．如图，已知，OC⊥AB，∠1＝58°24′，则∠2＝ 31°36′ ．
【分析】根据垂直定义求出∠BOC＝90°，进而求出∠2的度数．
解：∵OC⊥AB，
∴∠BOC＝90°，
∵∠1＝58°24′，
∴∠2＝90°﹣58°24′＝31°36′．
故答案为：31°36′．
【点评】本题考查垂线和度分秒的换算，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．
18．计算：＝ a﹣1 ．
【分析】根据分式的除法法则先把除法转化成乘法，再进行约分即可．
解：原式＝•
＝a﹣1．
故答案为：a﹣1．
【点评】此题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．
19．已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是 或 ．
【分析】由勾股定理可求BC＝2，分点E在CD上或在AB上两种情况讨论，由勾股定理可求解．
解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∴AD＝2，
当点E在CD上时，
∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，
∴（6﹣DE）2＝DE2+4，
∴DE＝；
当点E'在AB上时，
∵CE'2＝BE'2+BC2＝E'A2，
∴AE'2＝（6﹣AE'）2+4，
∴AE'＝，
∴DE'＝＝＝，
综上所述：DE＝或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
三.解答题（共8小题）
20．（1）计算：
（2）解方程：．
【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）原式＝2﹣2×+1﹣9＝﹣8；
（2）去分母得：4﹣6x+2＝3，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．如图，已知AD＝BC，BD＝AC．求证：∠ADB＝∠BCA．
【分析】根据SSS推出△ADB和△BCA全等，再根据全等三角形的性质得出即可．
【解答】证明：在△ADB和△BCA中，
，
∴△ADB≌△BCA（SSS），
∴∠ADB＝∠BCA．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定的运用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
22．有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
【分析】（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况，
（2）列出两次得数之和的所有可能的结果，得出“和为3的倍数”“和为7的倍数”的概率即可．
解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种不同结果，即（2，1）（2.3）（2，5）（4，1）（4，3）（4，5）（6，1）（6，3）（6，5）；
（2）列出两次得数之和的所有可能的结果如下：
共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种，
∴P（小杰胜）＝＝，P（小玉胜）＝＝，
因此游戏是公平的．
【点评】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
23．某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出最少费用．
【分析】（1）根据购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出W与a的函数关系式，根据甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，可以得到a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到W的最小值．
解：（1）设每桶甲消毒液价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，
由题意可得：，
解得，
答：每桶甲消毒液价格为45元，每桶乙消毒液的价格为35元；
（2）由题意可得，
W＝45a+35（30﹣a）＝10a+1050，
∴W随a的增大而增大，
∵甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，
∴，
解得17.5≤a≤20，
∵a为整数，
∴当a＝18时，W取得最小值，此时W＝1230，30﹣a＝12，
答：购买甲消毒液18桶，乙消毒液12桶时，才能使总费用W最少，最少费用是1230元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
24．为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某市教育部门对友谊中学九年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 100 名学生，并补全上面条形统计图．
（2）本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为 1.5 ；众数为 1.5 ．
（3）该校九年级有1700名学生，请你估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2小时的学生约有多少人？
【分析】（1）用天完成作业所用时间为1小时的学生人数除以30%可得样本容量，再用样本容量分别减去其他三组的人数可得“1.5小时”的人数，并补全条形统计图即可；
（2）根据条形统计图分析出中位数和众数；
（3）用样本中每天完成作业所用时间为2小时的学生的比例乘总人数即可．
解：（1）本次调查的人数为：30÷30%＝100（人），
完成作业时间为1.5小时的有：100﹣12﹣30﹣18＝40（人），
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
（2）由（1）中的条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是1.5，
∵100÷2＝50，则中位数是1.5，
故答案为：1.5，1.5；
（3）1700×＝306（名），
答：估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2小时的学生约有306人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE＝∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形ABDF是矩形；
（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDF＝DF•AF＝12，四边形ABCD是平行四边形，得CD＝AB＝3，从而S△BCD＝BD•CD＝6，即可得四边形ABCF的面积S为18．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°．
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，
∴AF＝＝＝4，
∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6，
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四边形ABCF的面积S为18．
【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．
26．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC＝AB；
（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN•MC的值．
【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；
（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；
（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2＝MN•MC；代入数据可得MN•MC＝BM2＝8．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．
（2）证明：∵AC＝PC，
∴∠A＝∠P，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．
又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，
∴∠COB＝∠CBO，
∴BC＝OC．
∴BC＝AB．
（3）解：连接MA，MB，
∵点M是的中点，
∴，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴．
∴BM2＝MN•MC．
又∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∵AB＝4，
∴BM＝2．
∴MN•MC＝BM2＝8．
【点评】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．
27．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
【分析】（1）当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小，可得对称轴为直线x＝﹣4，且抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），列出方程组即可得答案；
（2）由r是抛物线y＝﹣2x2﹣16x﹣2与x轴的交点的横坐标，可得r2+8r+1＝0，r2+1＝﹣8r，两边平方得（r2+1）2＝（﹣8r）2，r4+2r2+1＝64r2，即可得结果r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正确，可用比差法证明，由（2）可得r4﹣62r2+1＝0，即r7﹣62r5+r3＝0，而m﹣1＝﹣1＝，再由r2+8r+1＝0，判断r＜0，r9+60r5﹣1＜0，故＞0，从而m＞1．
【解答】（1）解：∵y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小，即对称轴为直线x＝﹣4，
∴，解得；
（2）证明：由题意，抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣16x﹣2，
∵r是抛物线y＝﹣2x2﹣16x﹣2与x轴的交点的横坐标，
∴2r2+16r+2＝0，
∴r2+8r+1＝0，
∴r2+1＝﹣8r
∴（r2+1）2＝（﹣8r）2，
∴r4+2r2+1＝64r2，
∴r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正确，理由如下：
由（2）知：r4﹣2r2+1＝60r2；
∴r4﹣62r2+1＝0，
∴r7﹣62r5+r3＝0，
而m﹣1＝﹣1
＝
＝
＝，
由（2）知：r2+8r+1＝0，
∴8r＝﹣r2﹣1，
∵﹣r2﹣1＜0，
∴8r＜0，即r＜0，
∴r9+60r5﹣1＜0，
∴＞0，
即m﹣1＞0，
∴m＞1．
【点评】本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数图象上的点坐标、对称轴、增减性、与x轴交点坐标等知识，解题的关键是用比差法时，判断r和r9+60r5﹣1的符号．
成绩（分）
46
47
48
49
50
人数（人）
1
2
1
2
4
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人数（人）
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