人教版九年级数学上册同步压轴题专题03反比例函数与几何图形综合（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学上册同步压轴题专题03反比例函数与几何图形综合（原卷版+解析），共23页。

(1)求m的取值范围；
(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，4)，(﹣3，0)．
①求出函数解析式；
②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．
例2．(直角三角形)如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于点与，点是轴上一点，连接，且，是线段上一点，反比例函数的图象经过点．
(1)求的值．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)延长，与反比例函数的图象在第三象限交于点，是轴上的一点，当以、、三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出点的坐标．
例3．(平行四边形)如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数的图象过点A．
(1)求k的值．
(2)点P为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．
(3)点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
例4．(菱形)如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝(x＜0)的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(-2，6)，点B的横坐标为-6，
(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)求点C的坐标；
(3)点M是x轴上的一个动点．
①若点M在线段OC上，且△AMB的面积为8，求点M的坐标；
②点N是平面直角坐标系中的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的坐标，
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴的正半轴上，A(8，0)，B(0，6)，点C从原点O出发，沿边OA向点A运动，速度为每秒1个单位长度，点D从点A出发，沿边AB向点B运动，速度为每秒2个单位长度．设两点同时出发，运动时间为t秒(0 < t < 5)
(1)当t= 时，DCBO；
(2)当△ADC的面积为9时，求t的值；
(3)在(2)的条件下；
①作射线BC，若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
② 过点C作直线⊥x轴，过点B作直线⊥y轴，直线与直线交于点P，反比例函数(k>0，x>0)的图像与直线、分别交于点E、F，连接EF，在y轴上是否存在点Q，使得△PEF和△QEF全等，若存在，请直接写出相应的k的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，已知矩形OABC中，OA＝6，AB＝8，双曲线(k＞0)与矩形两边AB，BC分别交于点D，E，且BD＝2AD．
(1)求k的值和点E的坐标；
(2)点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练3】如图，抛物线L：(常数)与x轴从左到右的交点为B，A，过线段的中点M作轴，交双曲线(，)于点P，且．
(1)求k的值．
(2)当t=1时，求的长，并求直线与L的对称轴之间的距离．
(3)把L在直线左侧部分的图像(含与直线的交点)记为G，用t表示图像G最高点的坐标．
(4)设L与y轴的交点为N，当时，在x轴上是否存在一点Q，使与相似，若存在，求出Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，，，求的面积；
(3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．
专题03 反比例函数几何图形综合
例1．(等腰三角形)已知反比例函数(m为常数)的图象在第一、三象限．
(1)求m的取值范围；
(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，4)，(﹣3，0)．
①求出函数解析式；
②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．
【答案】(1)m＜1
(2)①y＝；②4
【解析】(1)
解：∵反比例函数(m为常数)的图象在第一、三象限．
∴1﹣m＞0，
∴m＜1；
(2)
解：∵B(﹣3，0)，
∴OB＝3，
∵四边形ABOD是平行四边形，
∴ADOB，AD＝OB＝3，
∵A(0，4)，
∴D(3，4)，
①∵点D是反比例函数y＝的图象上，
∴1﹣m＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
②∵以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，
∴Ⅰ、当OD＝DP时，如图，点和；
Ⅱ、当OD＝OP时，如图中，和点；
Ⅲ、当OP＝DP时，则点P在OD的垂直平分线上，即此种情况不存在；
故答案为：4．
例2．(直角三角形)如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于点与，点是轴上一点，连接，且，是线段上一点，反比例函数的图象经过点．
(1)求的值．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)延长，与反比例函数的图象在第三象限交于点，是轴上的一点，当以、、三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或或或
【解析】(1)
将代入，得，解得，
∴．
将代入中，得，故为．
∵的图象经过点，
∴．
(2)
∵与轴交于点，∴．
∵，∴，．
设直线的函数表达式为，将，代入，得，解得，
∴直线的函数表达式为．
(3)
∵，延长，与反比例函数在第三象限交于点，∴，∴．
设，则，，
①以为斜边时，，
∴，解得，∴或．
②以为斜边时，，
∴，解得，∴．
③以为斜边时，，
∴，解得，∴．
综上所述，点的坐标为或或或．
例3．(平行四边形)如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数的图象过点A．
(1)求k的值．
(2)点P为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．
(3)点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)12
(2)点P坐标为(+1，﹣1)或(1﹣，﹣1﹣)
(3)存在，点G的坐标为(﹣4，﹣2)或(﹣8，﹣2)或(，14)或(﹣，14)或(8，14)或(，﹣2)
【解析】(1)
∵OC=2，OB=6，
∴点C(2，0)，点B(0，6)，点A(2，6)，
∵反比例函数的图象过点A，
∴k=2×6=12；
(2)
∵k=12，
∴反比例函数解析式为：，
设，
∵四边形PDCE是正方形，
∴PD=PE，
当点P在第一象限时，
∴，
解得(舍去)
∴
当点P在第三象限，
∴
解得：(舍去)
∴，
综上所述，或
(3)
设点的坐标为
若AB为边，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16，
∴，解得：或，∴或，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，∴AB=QG=2，AB∥QG，
∴或或或，
若AB为对角线，设点G(x,y)，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，∴AB与QG互相平分，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16，
或，
∴或解得或
∴或
综上所述，或或或或或
例4．(菱形)如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝(x＜0)的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(-2，6)，点B的横坐标为-6，
(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)求点C的坐标；
(3)点M是x轴上的一个动点．
①若点M在线段OC上，且△AMB的面积为8，求点M的坐标；
②点N是平面直角坐标系中的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的坐标，
【答案】(1)反比例函数的关系式为：y=-；(2)C(-8，0)；
(3)①M(-4，0)；②点N的坐标为：(2，4)或(，4)或(-8，8)．
【解析】(1)
解：∵点A的坐标为(-2，6)，∴k=-2×6=-12，∴反比例函数的关系式为：y=-；
(2)
解：当x=-6时，y=-=2，∴B(-6，2)，
把点A(-2，6)和B(-6，2)代入y=ax+b得：， 解得：，∴y=x+8，
当y=0时，x+8=0，x=-8，∴C(-8，0)；
(3)
解：①设M(x，0)，
∵D(0，8)，∴OD=8，
∵=8，∴=8，
∴×8×6-•(x+8)×2-×6(-x) =8，x=-4，∴M(-4，0)；
②如图2，过A作AEy轴，过B作BEx轴，
∵A(-2，6)，B(-6，2)，∴AE=BE=4，∴AB=4，
过B作BF⊥x轴于F，如图2，则BF=2，
分两种情况：①以AB为边，当M在F的右侧时，
∵FM==2，∴OM=2-6，∴点M(2-6，0)，
根据“点B向右平移4个单位，向上平移4个单位得到点A”的平移规律，可得N的坐标为(2-6+4，0+4)，
∴N(2，4)；
当M在F的左侧时，
同理求得FM=2，∴OM=-2-6，∴点M(-2-6，0)，同理由平移的性质得N(，4)；
②以AB为对角线时，如图3，此时因为A、B对称，所以M与O重合，
∵AB的解析式为：y=x+8，∴OD=OC=8，C(-8，0)，D(0，8)，
∴△OHD是等腰直角三角形，
∵四边形ANBM是菱形，∴AB⊥MN，∴点G是CD的中点，也是MN的中点，
∴点G(-4，4)，∴点N(-8，8)；
综上所述，点N的坐标为：(2，4)或(，4)或(-8，8)．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴的正半轴上，A(8，0)，B(0，6)，点C从原点O出发，沿边OA向点A运动，速度为每秒1个单位长度，点D从点A出发，沿边AB向点B运动，速度为每秒2个单位长度．设两点同时出发，运动时间为t秒(0 < t < 5)
(1)当t= 时，DCBO；
(2)当△ADC的面积为9时，求t的值；
(3)在(2)的条件下；
①作射线BC，若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
② 过点C作直线⊥x轴，过点B作直线⊥y轴，直线与直线交于点P，反比例函数(k>0，x>0)的图像与直线、分别交于点E、F，连接EF，在y轴上是否存在点Q，使得△PEF和△QEF全等，若存在，请直接写出相应的k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②存在，
【解析】(1)
解：∵A(8，0)，B(0，6)，
∴，
∴，
依题意，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
(2)
解：过点作轴于点，
∴，∴，∴，∴，
∴，∴，
∵△ADC的面积为9，
∴，解得或，
∵0 < t < 5，∴，
(3)
①如图，当为矩形的对角线时，过点作轴于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又，
，
∴，
由(2)可知，
∴，
∴，
，
∴，
解得，
∴，
∵，，
，
∴，
∴，
即，
,，
∴；
当以为边时，四边形为矩形，则，
在中,
∴,
∴
又
∴
∴
解得，
∵四边形为矩形，则，
∴，
∵
∴
又
∴
∴
解得,
则，
在中，
∴
②如图，∵,
∴，
又，
根据题意，只能是，
∴
∵在上，
则，
∵
∴,，
如图，过点作轴于点，则
又
∴
∴
又，
整理得
∴
解得
【变式训练2】如图，已知矩形OABC中，OA＝6，AB＝8，双曲线(k＞0)与矩形两边AB，BC分别交于点D，E，且BD＝2AD．
(1)求k的值和点E的坐标；
(2)点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)k=16；E(8，2)；
(2)存在要求的点P，点P的坐标为(2，0)或(6，0)．
【解析】(1)
解：∵AB=8，BD=2AD，
∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=8，
∴AD=，
又∵OA=6，
∴D(，6)，
∵点D在双曲线y=上，
∴k=×6=16；
∵四边形OABC为矩形，
∴AB=OC=8，
∴点E的横坐标为8．
把x=8代入y=中，得y=2，
∴E(8，2)；
(2)
解：假设存在要求的点P坐标为(m，0)，OP=m，CP=8-m．
∵∠APE=90°，
∴∠APO+∠EPC=90°，
又∵∠APO+∠OAP=90°，
∴∠EPC=∠OAP，
又∵∠AOP=∠PCE=90°，
∴△AOP∽△PCE，
∴，
∴，
解得：m=2或m=6，
经检验，m=2或m=6都是原方程的解，且符合题意，
∴存在要求的点P，点P的坐标为(2，0)或(6，0)．
【变式训练3】如图，抛物线L：(常数)与x轴从左到右的交点为B，A，过线段的中点M作轴，交双曲线(，)于点P，且．
(1)求k的值．
(2)当t=1时，求的长，并求直线与L的对称轴之间的距离．
(3)把L在直线左侧部分的图像(含与直线的交点)记为G，用t表示图像G最高点的坐标．
(4)设L与y轴的交点为N，当时，在x轴上是否存在一点Q，使与相似，若存在，求出Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线与L对称轴之间的距离为
(3)()，()
(4)Q的坐标为或或或
【解析】(1)
解：设，则，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)
解：当，时，，解得或.
∴、，
∴；
∴抛物线L的对称轴为直线，
∵，
∴为直线，
∴直线与L对称轴之间的距离为；
(3)
解：二次函数的对称轴为：
点M的坐标为：(，0)
①当，即时：MP在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴G的坐标为：
②当，即时：MP在对称轴的右侧，G点为抛物线的顶点，
∴G：；
(4)
解：存在，设Q：(m，0)，
当，，
∴
时，，解得，
∴、，
∴、
∴，，，
①时：：即，
时：，(舍)；
时：，；
时：，；
②时：时：即，
时：，解得：(舍)；
时：，无解；
时：，解得：；
综上：当Q的坐标为或或或
【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，，，求的面积；
(3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)存在，或或
【解析】(1)
解：由题意可知，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵是线段的中点，∴，
∵，
∴点的坐标为，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
(2)
解：∵，
，
，
∴；
(3)
解：存在
分三种情况，∵，
∴直线的表达式为．
①如图1，当，时，
设点，则
∵
∴平分．
∴，解得
∴
∴；
②如图2，当，时，设点．
∵平分，
∴，
∴
∴
∴
∴；
③如图3，当，时，点与点重合，
∴，∴，∴，
综上所述，存在点使得是等腰直角三角形，其坐标为或或．