人教版七年级数学下册同步压轴题 期末考试相交线与平行线压轴题考点训练（一）（原卷版+解析版）

这是一份人教版七年级数学下册同步压轴题 期末考试相交线与平行线压轴题考点训练（一）（原卷版+解析版），共49页。试卷主要包含了已知，如图1，，的平分线交于点G，，已知，平分交射线于点，等内容，欢迎下载使用。

(1)如图1，求∠H的度数．
(2)如图2，CM平分，EM平分，CM与EM相交于M，求证：；
(3)如图3，在(2)的条件下，FN平分交CD于N，若，求：的度数．
2．(2022春·河南新乡·七年级校考期末)如图，已知，E、F分别在上，点G在、CD之间，连接．

(1)当时，平分平分；
①如图1，当时，则______°；
②如图2，在的下方有一点Q，若恰好平分恰好平分，求的度数；
(2)在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，直接写出与的关系．
3．(2022春·辽宁大连·七年级统考期末)如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为AB、CD之间的一点，且．
(1)求证：；
(2)如图2，点G在射线FC上，PG平分，，探究与之间的数量关系．并说明理由；
(3)如图3，，．直线HQ分别交FN，EM于H、Q两点，若，求的度数．
4．(2022春·四川广元·七年级统考期末)已知直线，直线和，分别交于，两点，点，分别在直线，上，且位于直线的右侧，动点在直线上，且不和点，重合．
(1)如图1，当动点在线段上运动时，求证：．
(2)如图2，当动点在点上方运动时(，，不在同一直线上)，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，当动点在点下方运动时(，，不在同一直线上)，直接写出，，之间的数量关系．
5．(2022春·山东德州·七年级统考期末)如图1，，的平分线交于点G，．
(1)试说明：；
(2)如图2，点F在的反向延长线上，连接交于点E，若，求证：平分；
(3)如图3，线段上有点P，满足，过点C作.若在直线上取一点M，使，求的值．
6．(2022秋·海南海口·七年级校考期末)点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足，，DG平分．
(1)如图1，当点G在点F右侧时，
①试说明：；
②试说明；
(2)如图2，当点G在点F左侧时，(1)中的结论②是否成立，若不成立，请写出正确结论；(不用说理)
(3)如图3，在(2)的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分，交BC于点M，DN平分，交EF于点N，连接NG，若，，求的度数．
7．(2023秋·湖北荆门·七年级统考期末)如图1，已知，，点在上，点，在上，点在，之间，连接，，，．
(1)求证：；
(2)如图2，平分交于，，平分，，
①若，时，求的度数；
②如图3，平分，，交于点，若，求的值．
8．(2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)已知，平分交射线于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点是射线上一点，过点作交射线于点，点是上一点，连接，求证：；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接，点为延长线上一点，平分交于点，若平分，，，求的度数．
9．(2021春·湖北宜昌·七年级统考期末)已知：直线l分别交AB、CD与E、F两点，且AB∥CD．
(1) 说明：∠1=∠2；
(2) 如图2，点M、N在AB、CD之间，且在直线l左侧，若∠EMN+∠FNM=260°，
①求：∠AEM+∠CFN的度数；
②如图3，若EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，求∠P的度数；
(3) 如图4，∠2=80°，点G在射线EB上，点H在AB上方的直线l上，点Q是平面内一点，连接QG、QH，若∠AGQ=18°，∠FHQ=24°，直接写出∠GQH的度数．

10．(2021春·重庆江北·七年级统考期末)如图1，//，点、分别在、上，点在直线、之间，且．
(1)求的值；
(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值；
(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值．
11．(2021春·湖北武汉·七年级统考期末)如图1，点在直线、之间，且．
(1)求证：；
(2)若点是直线上的一点，且，平分交直线于点，若，求的度数；
(3)如图3，点是直线、外一点，且满足，，与交于点．已知，且，则的度数为______(请直接写出答案，用含的式子表示)．
12．(2021春·江苏·七年级统考期末)如图，直线，一副直角三角板中，．
(1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分．
(2)若如图2摆放时，则
(3)若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点，作和的角平分线相交于点(如图3)，求的度数．
(4)若图2中的周长，现将固定，将沿着方向平移至点与重合，平移后的得到，点的对应点分别是，请直接写出四边形的周长．
(5)若图2中固定，(如图4)将绕点顺时针旋转，分钟转半圈，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．
13．(2022春·江苏扬州·七年级统考期末)汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是/秒，灯射出的光束转动的速度是/秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．
(1)求、的值；
(2)如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数；
(3)若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行?
14．(2021春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)已知AB//CD．
(1)如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
(2)如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．(用含有α，β的式子表示)
15．(2022春·安徽滁州·七年级校考期末)如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补．
(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请直接写出其值．
期末考试相交线与平行线压轴题考点训练(一)
1．(2021春·重庆巫溪·七年级统考期末)已知：，点E在CD上，点F，G在AB上，点H在AB，CD之间，连接EF，EH，CH，，．
(1)如图1，求∠H的度数．
(2)如图2，CM平分，EM平分，CM与EM相交于M，求证：；
(3)如图3，在(2)的条件下，FN平分交CD于N，若，求：的度数．
【答案】(1)90°；(2)证明见详解；(3)60°
【分析】(1)根据平行线的性质和判定解答即可；
(2)过点H作HP∥AB，过点M作MQ∥AB，根据平行线的性质解答即可；
(3)结合(2)中结论，根据平行线的性质解答即可．
【解析】(1)证明：(1)∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠HEF+∠H＝180°，
∵∠HEF＝90°，∴∠H＝180°﹣∠HEF＝90°；
(2)证明：如图：
过点M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，∴HP∥CD，
∵GM平分∠AGH，
∴∠AGM＝∠HGM＝∠AGH，
∵EM平分∠CEH，
∴∠HEM＝∠CEM＝∠CEH，
∵MQ∥AB，
∴∠AGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠AGM+∠MEC，
∵HP∥AB，
∴∠AGH＝∠GHP＝2∠AGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HEC＝2∠MEC，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠AGM+2∠MEC＝2(∠AGM+∠MEC)，
∴∠GHE＝∠2GME；
(3)
解：过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，
由∠NFE：∠MGH＝5：1，设∠NFE＝5x，∠MGH＝x，
由(2)可知：∠AGH＝∠AFE =2∠MGH＝2x，
∵FN平分∠BFE，∴∠BFE＝2∠NFE，∴∠BFE=10x，
∵∠BFE+∠AEF＝180°，
∴10x+2x =180°，解得x=15°∴∠AGH=30°
∵∠AGH+∠CEH=90°
∴∠CEH=90°-30°=60°
∴∠HEC的度数为60°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义．解题的关键是掌握平行线的性质并作出辅助线．
2．(2022春·河南新乡·七年级校考期末)如图，已知，E、F分别在上，点G在、CD之间，连接．

(1)当时，平分平分；
①如图1，当时，则______°；
②如图2，在的下方有一点Q，若恰好平分恰好平分，求的度数；
(2)在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，直接写出与的关系．
【答案】(1)①45；②；(2)
【分析】(1)根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；
(2)过点作，则设，，，根据平行线的性质求得，进而根据即可求解．
【详解】(1)①如图，分别过点作，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
平分平分；
，
，
故答案为：，
②如图，过点作，
，
恰好平分恰好平分，
，，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
由(1)可知，
；
(2)如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分，设为线段的延长线上一点，
则，
设，
如图，过点作，则
，
，
由(1)可知
即
【点睛】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
3．(2022春·辽宁大连·七年级统考期末)如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为AB、CD之间的一点，且．
(1)求证：；
(2)如图2，点G在射线FC上，PG平分，，探究与之间的数量关系．并说明理由；
(3)如图3，，．直线HQ分别交FN，EM于H、Q两点，若，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)，理由见解析；
(3)20°
【分析】(1)过P作，根据角的和差得到，得到，再根据平行的传递性可得．
(2)过P作，平行线的传递性得出；根据平行线的性质和角平分线的性质得到；，等式变换得，以及角的替换可得；
(3)过P作，过H作，过Q作,根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】(1)证明：如图1，过P作．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
(2)．
证明：如图2，过P作．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵PG平分，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵．
∴，
∴．
(3)解：如图3，过P作，过H作，过Q作．
∵，
∴．
∵，，
∴设，则，，．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴
．
∴．
【点睛】此题考查了平行线的性质的判定与性质，解题的关键熟练掌握平行线的判定定理与性质定理及如何作辅助线．
4．(2022春·四川广元·七年级统考期末)已知直线，直线和，分别交于，两点，点，分别在直线，上，且位于直线的右侧，动点在直线上，且不和点，重合．
(1)如图1，当动点在线段上运动时，求证：．
(2)如图2，当动点在点上方运动时(，，不在同一直线上)，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，当动点在点下方运动时(，，不在同一直线上)，直接写出，，之间的数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析；(3)
【分析】(1)过点作，即可得，即有，，结合，即可证明；
(2)过点作，即可得，即有，，结合，即可证明；
(3)过点作，即可得，即有，，结合，即可证明 .
【解析】(1)证明：过点作，如图1，
∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴；
(2)
，理由如下：
过点作，如图2，
∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴；
(3)
，理由如下：
过点作，如图3，
∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，添加合理的辅助线并掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键．
5．(2022春·山东德州·七年级统考期末)如图1，，的平分线交于点G，．
(1)试说明：；
(2)如图2，点F在的反向延长线上，连接交于点E，若，求证：平分；
(3)如图3，线段上有点P，满足，过点C作.若在直线上取一点M，使，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)5或
【分析】(1)先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据等量代换即可得证；
(2)过点作于，先根据平行线的性质可得，从而可得，则，再根据角平分线的定义即可得证；
(3)设，则，，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后分①点在的下方和②点在的上方两种情况，根据角的和差可得和的值，由此即可得．
【详解】(1)证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
(2)证明：如图，过点作于，
，
由(1)已证：，
，即，
又，
，
，
又∵，
∴平分．
(3)解：设，
∵，
∴，，
，
，
由(1)已得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在的下方时，
∴，
，
∴；
②如图，当点在的上方时，
∴，
，
∴；
综上，的值是5或．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，较难的是题(3)，正确分两种情况讨论是解题关键．
6．(2022秋·海南海口·七年级校考期末)点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足，，DG平分．
(1)如图1，当点G在点F右侧时，
①试说明：；
②试说明；
(2)如图2，当点G在点F左侧时，(1)中的结论②是否成立，若不成立，请写出正确结论；(不用说理)
(3)如图3，在(2)的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分，交BC于点M，DN平分，交EF于点N，连接NG，若，，求的度数．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)∠DGE＝∠BDG＋∠FEG，理由见解析；
(3)
【分析】(1)①根据角平分线的定义即可得到∠BDG＝∠ADG，从而可得∠ADG＝∠DGB，则，可得∠DEF＝∠EFG，即可得到∠DBF＝∠EFG，从而证明；②过点G作GHDB交DA于点H，根据平行线的性质求解即可；
(2)过点G作交AD于K，则，可得∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，即可得到∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
(3)设，则，，由角平分线的定义可得，然后分别求出，，进行求解即可．
【解析】(1)证明：①∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠ADG，
又∵∠BDG＝∠BGD，
∴∠ADG＝∠DGB，
∴，
∴∠DEF＝∠EFG，
∵∠DBF＝∠DEF，
∴∠DBF＝∠EFG，
∴；
②过点G作GHDB交DA于点H，
由①得，
∴GHDBEF，
∴∠BDG＝∠DGH，∠FEG＝∠EGH，
∴∠DGE＝∠DGH-∠EGH，
∴∠DGE=∠BDG-∠FEG；
(2)
解：过点G作交AD于K，
同理可证，
∴，
∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，
∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE，
∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
(3)
解：设，则，，，
∵DN平分∠PDM，
∴，
∴，，
∵DG⊥NG，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，余角的计算，解题的关键是能够熟知平行线的性质与判定条件．
7．(2023秋·湖北荆门·七年级统考期末)如图1，已知，，点在上，点，在上，点在，之间，连接，，，．
(1)求证：；
(2)如图2，平分交于，，平分，，
①若，时，求的度数；
②如图3，平分，，交于点，若，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)①；②．
【分析】(1)根据平行线的性质得出，结合题意即可得出，从而证明；
(2)①如图，过点H作，即得出．由，可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，解出x，从而可求出答案；
②如图，过点M作．由题意可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程组，解出，最后作比求值即可．
【详解】(1)证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
(2)①解：如图，过点H作．
∴．
由题意可知：，
故可设，则．
∵，
∴，，．
∵平分，平分，
∴，，
∴，．
由(1)可知，
∴，
∴，
解得：．
∴，．
∵，
∴，
∴；
②解：如图，过点M作．
由题意可设，则．
∵，平分
∴，．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
由(1)可知，
∴，
∴．
即，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题的关键．
8．(2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)已知，平分交射线于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点是射线上一点，过点作交射线于点，点是上一点，连接，求证：；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接，点为延长线上一点，平分交于点，若平分，，，求的度数．
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)
【分析】(1)根据平行线的定义得出，等量代换得出，根据平行线的判定定理即可得证；
(2)过点E作交DA于点H，则，，根据平行线的性质得出，根据，，等量代换即可求解；
(3)由平分，得出，设，则，则，根据平行线的性质得出，根据垂直的定义得出，则，根据平分，得出，最后根据建立方程，解方程得出，进而即可求解．
【详解】(1)∵DE是的平分线，
∴
∵，
∴
∴
(2)过点E作交DA于点H，
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
(3)解：∵平分，
∴，
设，则，
∴，
，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
9．(2021春·湖北宜昌·七年级统考期末)已知：直线l分别交AB、CD与E、F两点，且AB∥CD．
(1) 说明：∠1=∠2；
(2) 如图2，点M、N在AB、CD之间，且在直线l左侧，若∠EMN+∠FNM=260°，
①求：∠AEM+∠CFN的度数；
②如图3，若EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，求∠P的度数；
(3) 如图4，∠2=80°，点G在射线EB上，点H在AB上方的直线l上，点Q是平面内一点，连接QG、QH，若∠AGQ=18°，∠FHQ=24°，直接写出∠GQH的度数．

【答案】(1)理由见解析；(2)①80°，②40°；(3)38°、74°、86°、122°．
【分析】(1)根据平行线的性质及对顶角的性质即可得证；
(2)①过拐点作AB的平行线，根据平行线的性质推理即可得到答案；
②过点P作AB的平行线，根据平行线的性质及角平分线的定义求得角的度数；
(3)分情况讨论，画出图形，根据三角形的内角和与外角的性质分别求出答案即可．
【详解】(1)
，
；
(2)①分别过点M，N作直线GH，IJ与AB平行，则，如图：
，，，
；
②过点P作AB的平行线，
根据平行线的性质可得：，，
∵EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，
∴，
即；
(3)分四种情况进行讨论：
由已知条件可得，
①如图：
，
②如图：
，；
③如图：
，；
④如图：
，；
综上所述，∠GQH的度数为38°、74°、86°、122°．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等内容，解题的关键是掌握辅助线的作法以及分类讨论的思想．
10．(2021春·重庆江北·七年级统考期末)如图1，//，点、分别在、上，点在直线、之间，且．
(1)求的值；
(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值；
(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值．
【答案】(1) ；(2)的值为40°；(3)．
【分析】(1)过点O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行线的性质可求解；
(2)过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，进而求解；
(3)设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，根据平行线的性质即三角形外角的性质及，可得，结合，可得
即可得关于n的方程，计算可求解n值．
【详解】证明：过点O作OG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∴
∴
即
∵∠EOF=100°，
∴∠；
(2)解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设
∵
∴
∴x-y=40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴
∴

=x-y
=40°，
故的值为40°；
(3)如图，设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，
∵AB∥CD，
∴
∵
∴
∵
∴即
∵FK在∠DFO内，
∴ ，
∵
∴∴
即∴解得 ．经检验，符合题意，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
11．(2021春·湖北武汉·七年级统考期末)如图1，点在直线、之间，且．
(1)求证：；
(2)若点是直线上的一点，且，平分交直线于点，若，求的度数；
(3)如图3，点是直线、外一点，且满足，，与交于点．已知，且，则的度数为______(请直接写出答案，用含的式子表示)．
【答案】(1)见解析；(2)10°；(3)
【分析】(1)过点E作EF∥CD，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出结合已知条件，得出即可证明；
(2)过点E作HE∥CD，设 由(1)得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，由平行线的性质，得出再由平分，得出则，则可列出关于x和y的方程，即可求得x，即的度数；
(3)过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，由(1)得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，根据和，得出根据CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出即根据NP∥AB，得出再由，得出由AB∥QM,得出因为，代入的式子即可求出．
【详解】(1)过点E作EF∥CD，如图，
∵EF∥CD,
∴
∴
∵,
∴
∴EF∥AB，
∴CD∥AB；
(2)过点E作HE∥CD，如图，
设
由(1)得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，
∴
∴
又∵平分，
∴
∴
即
解得：即；
(3)过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，如图，
由(1)得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，
∵NP∥CD，CD∥QM，
∴,
又∵，
∴
∵,
∴
∴
又∵PN∥AB，
∴
∵,
∴
又∵AB∥QM，
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系．
12．(2021春·江苏·七年级统考期末)如图，直线，一副直角三角板中，．
(1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分．
(2)若如图2摆放时，则
(3)若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点，作和的角平分线相交于点(如图3)，求的度数．
(4)若图2中的周长，现将固定，将沿着方向平移至点与重合，平移后的得到，点的对应点分别是，请直接写出四边形的周长．
(5)若图2中固定，(如图4)将绕点顺时针旋转，分钟转半圈，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．
【答案】(1)见详解；(2)15°；(3)67.5°；(4)45cm；(5)10s或30s或40s
【分析】(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
(2)如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案；
(3)如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
(4)根据平移性质可得D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，再结合DE＋EF＋DF＝35cm，可得出答案；
(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
【详解】(1)如图1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，
∵ED平分∠PEF，
∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，
∵PQ∥MN，
∴∠MFE＝180°−∠PEF＝180°−120°＝60°，
∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，
∴∠MFD＝∠DFE，
∴FD平分∠EFM；
(2)如图2，过点E作EK∥MN，
∵∠BAC＝45°，
∴∠KEA＝∠BAC＝45°，
∵PQ∥MN，EK∥MN，
∴PQ∥EK，
∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，
又∵∠DEF＝60°．
∴∠PDE＝60°−45°＝15°，
故答案为：15°；
(3)如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，
∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，
∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，
∴FL∥PQ∥HR，
∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA，
∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，
∴∠QGH＝∠FGQ，∠HFA＝∠GFA，
∵∠DFE＝30°，
∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°，
∴∠HFA＝∠GFA＝75°，
∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，
∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°，
∴∠RHG＝∠QGH＝∠FGQ＝(180°−105°)＝37.5°，
∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°；
(4)如图4，∵将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D′E′A，
∴D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，
∵DE＋EF＋DF＝35cm，
∴DE＋EF＋D′A＋AF＋DD′＝35＋10＝45(cm)，
即四边形DEAD′的周长为45cm；
(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，
分三种情况：
BC∥DE时，如图5，此时AC∥DF，
∴∠CAE＝∠DFE＝30°，
∴3t＝30，
解得：t＝10；
BC∥EF时，如图6，
∵BC∥EF，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，
∴3t＝90，
解得：t＝30；
BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，
∵∠DRM＝∠EAM＋∠DFE＝45°＋30°＝75°，
∴∠BKA＝∠DRM＝75°，
∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°，
∴∠CAK＝90°−∠BKA＝15°，
∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°，
∴3t＝120，
解得：t＝40，
综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一条边平行．
【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．
13．(2022春·江苏扬州·七年级统考期末)汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是/秒，灯射出的光束转动的速度是/秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．
(1)求、的值；
(2)如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数；
(3)若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行?
【答案】(1)，；(2)30°；(3)15秒或82.5秒
【分析】(1)解出式子即可；
(2)根据，用含t的式子表示出，根据(2)中给出的条件得出方程式 ，求出 t的值，进而求出的度数；
(3)根据灯B的要求，t