北师大版七年级数学下册举一反三 专题2.8 相交线与平行线章末测试卷（培优卷）（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份北师大版七年级数学下册举一反三 专题2.8 相交线与平行线章末测试卷（培优卷）（举一反三）（原卷版+解析），共26页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）(2023秋•沙坪坝区期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2是对顶角B．∠1与∠3是同位角
C．∠1与∠4是内错角D．∠B与∠D是同旁内角
2．（3分）(2023秋•浚县期末）如图，下列不能判定DE∥BC的条件是（ ）
A．∠B＝∠ADEB．∠2＝∠4
C．∠1＝∠3D．∠ACB+∠DEC＝180°
3．（3分）(2023秋•玄武区期末）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）(2023秋•瑶海区期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥AB，OG平分∠EOF，若∠BOC＝48°，则∠AOG等于（ ）
A．10°B．12°C．14°D．16°
5．（3分）(2023秋•封丘县期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE，则∠DAB的度数为（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
6．（3分）(2023春•招远市期中）平面内有两两相交的4条直线，如果最多有m个交点，最少有n个交点，那么m+n＝（ ）
A．9B．8C．7D．6
7．（3分）(2023秋•西峡县期末）直线l1、l2、l3的位置关系如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠2与∠1互为邻补角，若∠1＝111°54'，则∠2＝68.1°
B．∠1与∠3互为对顶角，若∠1＝111.9°，则∠3＝111.9°
C．若l2⊥l3，则∠1＝∠2＝90°；若∠1＝90°，则l2⊥l3
D．若∠3+∠4＝180°或∠4+∠6＝180°，则l1∥l2．
8．（3分）(2023秋•苏家屯区期末）如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．110°
9．（3分）(2023春•江油市期中）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠GMD＝（ ）
A．120°B．115°C．130°D．110°
10．（3分）(2023春•武安市期末）有四位同学一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB．则下列说法正确的是（ ）
甲说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”
乙说：“把甲的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
丙说：“∠AGD一定大于∠BFE．”
丁说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”
A．甲对乙错B．乙错丁对C．甲、乙对D．乙、丙对
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）(2023春•襄州区期末）如图，P是直线a外一点，点A，B，C，D为直线a上的点PA＝5，PB＝4，PC＝2，PD＝7，根据所给数据写出点P到直线a的距离l的取值范围是 ．
12．（3分）(2023春•椒江区期末）如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 度．
13．（3分）(2023秋•上蔡县期末）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，点D，C分别折叠到点M，N的位置上，∠EFG＝54°，则∠1＝ 度．
14．（3分）(2023秋•嵩县期末）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD＝ °．
15．（3分）(2023秋•南岗区校级期末）已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝ ．
16．（3分）(2023春•西乡塘区校级月考）如图1，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 ，以此类推，如图2，∠1+∠2+∠3+…+∠n的度数为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）(2023秋•庐阳区期末）已知：∠α，∠AOB（如图）．
（1）求作：以OB为一边，作∠BOC＝∠α．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠AOB＝60°，∠α＝20°，则∠AOC的度数为 ．
18．（6分）(2023秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
19．（8分）(2023秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：
（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；
（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；
（3）在以上的图中，互余的角为 ，互补的角为 ．（各写出一对即可）
20．（8分）(2023秋•肇源县期末）完成下面的证明
如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．
求证：∠F＝90°．
证明：∵AG∥CD（已知）
∴∠ABC＝∠BCD（ ）
∵∠ABE＝∠FCB（已知）
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB
即∠EBC＝∠FCD
∵CF平分∠BCD（已知）
∴∠BCF＝∠FCD（ ）
∴ ＝∠BCF（等量代换）
∴BE∥CF（ ）
∴ ＝∠F（ ）
∵BE⊥AF（已知）
∴ ＝90°（ ）
∴∠F＝90°．
21．（8分）(2023秋•渠县期末）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
22．（8分）(2023秋•铁西区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
23．（8分）(2023春•靖宇县期末）【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EMF的度数．
解：过点M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠EMN＝∠AEM＝45°，∠FMN＝∠CFM＝25°．
∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝45°+25°＝70°．
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中∠AEM、∠EMF和∠CFM之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ．
【方法运用】如图2，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD两平行线之间，求∠AEM、∠EMF和∠CFM之间的数量关系．
【应用拓展】如图3，在图2的条件下，作∠AEM和∠CFM的平分线EP、FP，交于点P（交点P在两平行线AB、CD之间）若∠EMF＝60°，求∠EPF的度数．
第2章 相交线与平行线章末测试卷（培优卷）
【北师大版】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）(2023秋•沙坪坝区期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2是对顶角B．∠1与∠3是同位角
C．∠1与∠4是内错角D．∠B与∠D是同旁内角
分析：根据对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角的特征判断即可．
【解答】解：A．∠1与∠2是对顶角，故A不符合题意；
B．∠1与∠3是同位角，故B不符合题意；
C．∠1与∠4不是内错角，故C符合题意；
D．∠B与∠D是同旁内角，故D不符合题意；
故选：C．
2．（3分）(2023秋•浚县期末）如图，下列不能判定DE∥BC的条件是（ ）
A．∠B＝∠ADEB．∠2＝∠4
C．∠1＝∠3D．∠ACB+∠DEC＝180°
分析：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法进行判断即可．
【解答】解：A、∠B＝∠ADE，能判定DE∥BC，不符合题意；
B、∠2＝∠4，能判定DE∥BC，不符合题意；
C、∠1＝∠3，能判定DF∥EC，符合题意；
D、∠ACB+∠DEC＝180°，能判定DE∥BC，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）(2023秋•玄武区期末）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：B．
4．（3分）(2023秋•瑶海区期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥AB，OG平分∠EOF，若∠BOC＝48°，则∠AOG等于（ ）
A．10°B．12°C．14°D．16°
分析：根据角平分线的定义表示出∠COE和∠AOG，然后根据∠AOG＝∠EOG﹣∠AOE计算即可得解．
【解答】解：∵∠BOC＝48°，
∴∠AOC＝180°﹣48°＝132°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC=12∠AOC=12×132°=66°，
∵OF⊥AB，
∴∠BOF＝90°，
∴∠EOF＝360°﹣∠EOC﹣∠BOC﹣∠BOF
＝360°﹣66°﹣48°﹣90°
＝156°
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOG＝∠FOG=12∠EOF=12×156°=78°，
∴∠AOG＝∠EOG﹣∠AOE＝78°﹣66°＝12°，
故选：B．
5．（3分）(2023秋•封丘县期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE，则∠DAB的度数为（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
分析：根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【解答】解：∵AC∥DE，∠D＝30°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°，
故选：C．
6．（3分）(2023春•招远市期中）平面内有两两相交的4条直线，如果最多有m个交点，最少有n个交点，那么m+n＝（ ）
A．9B．8C．7D．6
分析：可根据题意，画出图形，找出交点最多和最少的个数，求出m+n即可．
【解答】解：如图所示：
4条直线两两相交，有3种情况：4条直线经过同一点，有一个交点；3条直线经过同一点，被第4条直线所截，有4个交点；4条直线不经过同一点，有6个交点．
故平面内两两相交的4条直线，最多有6个交点，最少有1个交点；即m＝6，n＝1，则m+n＝7．
故选：C．
7．（3分）(2023秋•西峡县期末）直线l1、l2、l3的位置关系如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠2与∠1互为邻补角，若∠1＝111°54'，则∠2＝68.1°
B．∠1与∠3互为对顶角，若∠1＝111.9°，则∠3＝111.9°
C．若l2⊥l3，则∠1＝∠2＝90°；若∠1＝90°，则l2⊥l3
D．若∠3+∠4＝180°或∠4+∠6＝180°，则l1∥l2．
分析：根据平行线的判定、角的换算、对顶角与邻补角、垂直的定义解决此题．
【解答】解：A．由图得，∠2与∠1互为邻补角，则∠2+∠1＝180°．由∠1＝111°54'，得∠2＝68°6′＝68.1°，那么A正确，故A不符合题意．
B．根据对顶角的定义，∠1与∠3互为对顶角，则∠1＝∠3．由∠1＝111.9°，得∠3＝111.9°，那么B正确，故B不符合题意．
C．根据垂直的定义，由若l2⊥l3，则∠1＝∠2＝90°；若∠1＝90°，则l2⊥l3，那么C正确，故C不符合题意．
D．由题得，∠1与∠3是对顶角，那么∠1＝∠3．由∠3+∠4＝180°，得∠1+∠4＝180°，那么l1∥l2．根据同旁内角互补两直线平行，由∠4+∠6＝180°，那么l3∥l2，得D错误，故D符合题意．
故选：D．
8．（3分）(2023秋•苏家屯区期末）如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．110°
分析：作BF∥AD，利用平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：如图，作BF∥AD，
∵AD∥CE，
∴AD∥BF∥EC，
∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝110°，
∴∠1+∠4＝110°，
∴∠2﹣∠1＝70°．
故选：C．
9．（3分）(2023春•江油市期中）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠GMD＝（ ）
A．120°B．115°C．130°D．110°
分析：求出∠BGM，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠3＝∠BGM，利用补角的定义即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵∠1＝50°，
∴∠BGF＝180°﹣∠1＝130°，
∵GM平分∠BGF，
∴∠BGM=12∠BGF＝65°，
∵∠1＝∠2＝50°，
∴AB∥CD，
∴∠3＝∠BGM＝65°，
∴∠GMD＝180°﹣∠BGM＝180°﹣65°＝115°，
故选：B．
10．（3分）(2023春•武安市期末）有四位同学一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB．则下列说法正确的是（ ）
甲说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”
乙说：“把甲的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
丙说：“∠AGD一定大于∠BFE．”
丁说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”
A．甲对乙错B．乙错丁对C．甲、乙对D．乙、丙对
分析：根据平行线的判定得出CD∥EF，根据平行线的性质得出∠BFE＝∠BCD，求出∠CDG＝∠BCD，根据平行线的判定得出DG∥BC，即可判断甲；根据∠AGD＝∠ACB推出DG∥BC，根据平行线的性质得出∠CDG＝∠BCD，即可判断乙，根据已知条件判断丙和丁即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠BFE＝∠BCD，
∵∠CDG＝∠BFE，
∴∠CDG＝∠BCD，
∴DG∥BC，
∴∠AGD＝∠ACB，
∴甲正确；
∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠BFE＝∠BCD，
∵∠AGD＝∠ACB，
∴DG∥BC，
∴∠CDG＝∠BCD，
∴∠CDG＝∠BFE，
∴乙正确；
丙和丁的说法根据已知不能推出，
∴丙错误，丁错误；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）(2023春•襄州区期末）如图，P是直线a外一点，点A，B，C，D为直线a上的点PA＝5，PB＝4，PC＝2，PD＝7，根据所给数据写出点P到直线a的距离l的取值范围是 0＜l≤2 ．
分析：根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，可得连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；然后根据PA＝4，PB＝5，PC＝2，可得三条线段的最短的是2，所以点P到直线l的距离不大于2，据此判断即可．
【解答】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；
因为PA＝5，PB＝4，PC＝2，PD＝7，
所以三条线段的最短的是2，
所以点P到直线α的距离不大于2．
故答案为：0＜l≤2．
12．（3分）(2023春•椒江区期末）如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 5 度．
分析：本题反向推理，若OD旋转到OD′时，则OD′∥AC，求∠DOD′＝∠BOD﹣∠BOD′＝75°﹣70°＝5°，进而解决此题．
【解答】解：若OD旋转到OD′时，则OD′∥AC．
∵OD′∥AC，
∴∠BOD′＝∠A＝70°．
∴∠DOD′＝∠BOD﹣∠BOD′＝75°﹣70°＝5°．
∴要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转5度．
故答案为：5．
13．（3分）(2023秋•上蔡县期末）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，点D，C分别折叠到点M，N的位置上，∠EFG＝54°，则∠1＝ 72 度．
分析：利用平角的定义先求出∠EFC，再利用平行线的性质求出∠FED，最后利用折叠的性质和平角的定义求出∠1的度数．
【解答】解：∵∠EFG+∠EFC＝180°，∠EFG＝54°，
∴∠EFC＝126°．
∵四边形ABCD是长方形，
∴DE∥CF．
∴∠EFC+∠FED＝180°．
∴∠FED＝54°.
∵四边形EFNM是由四边形EFCD折叠而成，
∴∠DEF＝∠MEF＝54°．
∵∠1+∠DEF+∠MEF＝180°，
∴∠1＝72°．
故答案为：72．
14．（3分）(2023秋•嵩县期末）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD＝ 270 °．
分析：过点B作BF∥AE，如图，由于CD∥AE，则BF∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得∠BCD+∠CBF＝180°，由AB⊥AE得AB⊥BF，即∠ABF＝90°，于是得到结论．
【解答】解：过点B作BF∥AE，如图，
∵CD∥AE，
∴BF∥CD，
∴∠BCD+∠CBF＝180°，
∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°．
故答案为：270．
15．（3分）(2023秋•南岗区校级期末）已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝ 20°或120° ．
分析：如图，当OE在AB的上面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，于是得到∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝130°﹣11°＝20°；当OE在直线AB的下面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，于是得到∠COE′＝180°﹣∠DOE′＝180°﹣60°＝120°．
【解答】解：如图，当OE在AB的上面时，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，
∵∠BOE＝130°，
∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝130°﹣11°＝20°；
当OE在直线AB的下面时，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，
∵∠BOD＝∠AOC＝70°，
∴∠DOE′＝∠BOE′﹣∠BOD＝130°﹣70°＝60°，
∴∠COE′＝180°﹣∠DOE′＝180°﹣60°＝120°，
综上所述，∠COE＝20°或120°，
故答案为：20°或120°．
16．（3分）(2023春•西乡塘区校级月考）如图1，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 900° ，以此类推，如图2，∠1+∠2+∠3+…+∠n的度数为 180°（n﹣1） ．
分析：过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：如图1，
过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，
∵CD∥AB，
∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，
∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°，
同理，如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n＝180°（n﹣1），
故答案为：900°，180°（n﹣1）．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）(2023秋•庐阳区期末）已知：∠α，∠AOB（如图）．
（1）求作：以OB为一边，作∠BOC＝∠α．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠AOB＝60°，∠α＝20°，则∠AOC的度数为 40°或80° ．
分析：（1）利尺规根据要求作出图形即可；
（2）分两种情形求解可得结论．
【解答】解：（1）如图，∠BOC，∠BOC′即为所求；
（2）∵∠AOB＝60°，∠BOC＝∠BOC′＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°或∠AOC′＝∠AOB+∠BOC′＝80°．
故答案为：40°或80°．
18．（6分）(2023秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
分析：由条件可先证明EH∥AB，再利用平行线的性质可得到∠3＝∠ADE＝∠B，可证明DE∥BC．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∵∠1＝∠4（对顶角相等）
∴∠2+∠4＝180°（等量代换）
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
19．（8分）(2023秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：
（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；
（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；
（3）在以上的图中，互余的角为 ∠DAC、∠DCA ，互补的角为 ∠ADC、∠BDC ．（各写出一对即可）
分析：（1）根据垂线的定义，线段，射线的定义作图即可；
（2）根据垂线段最短即可求解；
（3）由互余、互补的定义解题即可．
【解答】解：（1）如图：
（2）∵CD⊥AD，
∴CA＞CD；
（3）∵∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠DAC与∠DCA互余，
∵∠ADC+∠BDC＝90°+90°＝180°，
∴∠ADC与∠BDC互补，
故答案为：∠DAC、∠DCA；∠ADC、∠BDC．
20．（8分）(2023秋•肇源县期末）完成下面的证明
如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．
求证：∠F＝90°．
证明：∵AG∥CD（已知）
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠ABE＝∠FCB（已知）
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB
即∠EBC＝∠FCD
∵CF平分∠BCD（已知）
∴∠BCF＝∠FCD（ 角平分线的定义 ）
∴ ∠EBC ＝∠BCF（等量代换）
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴ ∠BEF ＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵BE⊥AF（已知）
∴ ∠BEF ＝90°（ 垂直的定义 ）
∴∠F＝90°．
分析：根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCD，再根据角平分线的定义进而得到∠EBC＝∠BCF，即可判定BE∥CF，根据平行线的性质得出∠BEF＝∠F，再根据垂直的定义即可得解．
【解答】证明：∵AG∥CD（已知），
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABE＝∠FCB（已知），
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB，
即∠EBC＝∠FCD，
∵CF平分∠BCD（已知），
∴∠BCF＝∠FCD（角平分线的定义），
∴∠EBC＝∠BCF（等量代换），
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠BEF＝∠F（两直线平行，内错角相等），
∵BE⊥AF（已知），
∴∠BEF＝90°（垂直的定义），
∴∠F＝90°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠EBC；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；垂直的定义．
21．（8分）(2023秋•渠县期末）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
分析：根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．
【解答】已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C
求证：∠A＝∠D
证明：∵∠1＝∠3
又∵∠1＝∠2
∴∠3＝∠2
∴EC∥BF
∴∠AEC＝∠B
又∵∠B＝∠C
∴∠AEC＝∠C
∴AB∥CD
∴∠A＝∠D
22．（8分）(2023秋•铁西区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
分析：（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解答】解：（1）①∵OF⊥CD于点O，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；
∴∠EOF的度数为45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE．
（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
23．（8分）(2023春•靖宇县期末）【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EMF的度数．
解：过点M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠EMN＝∠AEM＝45°，∠FMN＝∠CFM＝25°．
∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝45°+25°＝70°．
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中∠AEM、∠EMF和∠CFM之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ∠EMF＝∠AEM+∠CFM ．
【方法运用】如图2，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD两平行线之间，求∠AEM、∠EMF和∠CFM之间的数量关系．
【应用拓展】如图3，在图2的条件下，作∠AEM和∠CFM的平分线EP、FP，交于点P（交点P在两平行线AB、CD之间）若∠EMF＝60°，求∠EPF的度数．
分析：【阅读探究】过点M作MN∥AB，由平行线的性质等∠EMN＝∠AEM＝45°，∠FMN＝∠CFM＝25°，则∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝∠AEM+∠CFM；
【方法运用】过点M作MN∥AB，由平行线的性质等∠EMN＝∠BEM，∠FMN＝∠DFM，再由平角的定义即可求解；
【应用拓展】过点P作PH∥AB，由平行线的性质得∠EPH＝∠AEP，∠FPH＝∠CFP，则∠EPF=12（∠AEM+∠CFM），再由【方法运用】得∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM，则∠AEM+∠CFM＝360°﹣∠EMF＝300°，进而求解即可．
【解答】解：【阅读探究】
过点M作MN∥AB，如图1所示：
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠EMN＝∠AEM＝45°，∠FMN＝∠CFM＝25°，
∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝∠AEM+∠CFM，
故答案为：∠EMF＝∠AEM+∠CFM；
【方法运用】
过点M作MN∥AB，如图2所示：
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠EMN＝∠BEM，∠FMN＝∠DFM，
∵∠BEM＝180°﹣∠AEM，∠DFM＝180°﹣∠CFM，
∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝180°﹣∠AEM+180°﹣∠CFM＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM，
∴∠AEM、∠EMF和∠CFM之间的数量关系为：∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM；
【应用拓展】
∵EP、FP分别是∠AEM和∠CFM的平分线，
∴∠AEP=12∠AEM，∠CFP=12∠CFM，
过点P作PH∥AB，如图3所示：
∵AB∥CD，
∴PH∥CD，
∴∠EPH＝∠AEP，∠FPH＝∠CFP，
∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP=12∠AEM+12∠CFM=12（∠AEM+∠CFM），
由【方法运用】得：∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM，
∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣∠EMF＝360°﹣60°＝300°，
∴12（∠AEM+∠CFM）=12×300°＝150°，
∴∠EPF＝150°．