北师大版七年级数学下册举一反三 专题1.7 整式的乘除章末重难点突破（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份北师大版七年级数学下册举一反三 专题1.7 整式的乘除章末重难点突破（举一反三）（原卷版+解析），共41页。


【考点1 幂的运算】
【例1】(2023春•叶集区期末）下列计算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5B．x3•x5＝x15
C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3D．x6÷x3＝x2
【变式1-1】(2023春•海陵区校级月考）计算
（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2
【变式1-2】(2023春•安庆期中）计算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）
【变式1-3】(2023春•沙坪坝区校级月考）计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于 ．
【考点2 幂的逆运算】
【例2】(2023秋•岳麓区校级月考）解答下列问题
（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值；
（2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；
（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x•81y的值．
【变式2-1】(2023春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【变式2-2】(2023春•邗江区校级月考）（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值
【变式2-3】(2023•河北模拟）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；
（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
【考点3 巧用幂的运算进行大小比较】
【例3】(2023春•邗江区校级期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（ ）
A．m＞nB．m＜n
C．m＝nD．大小关系无法确定
【变式3-1】(2023春•淮阴区期中）比较255、344、433的大小（ ）
A．255＜344＜433B．433＜344＜255
C．255＜433＜344D．344＜433＜255
【变式3-2】(2023春•玄武区期中）233、418、810的大小关系是（用＞号连接） ．
【变式3-3】(2023春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较322和411的大小．
解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2
∴322＞222，即322＞411
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较28和82的大小
解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6
∴28＞26，即28＞82
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
（1）比较344、433、522的大小
（2）比较8131、2741、961的大小
（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小
（4）比较312×510与310×512的大小
【考点4 幂的运算中的新定义问题】
【例4】(2023秋•开州区期末）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝lg216，对数式2＝lg39可以转化为指数式32＝9．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：lga（M•N）＝lgaM+lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设lgaM＝m，lgaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝lga（M•N）．
又∵m+n＝lgaM+lgaN，
∴lga（M•N）＝lgaM+lgaN．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①lg264＝ ，②lg327＝ ，③lg71＝ ；
（2）求证：lgaMN=lgaM﹣lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算lg464+lg57﹣lg535．
【变式4-1】(2023秋•杜尔伯特县期末）阅读下列材料，并解决下面的问题：
我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子23＝8可以变形为lg28＝3，lg525＝2也可以变形为52＝25．在式子23＝8中，3叫做以2为底8的对数，记为lg28．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lgab（即lgab＝n），且具有性质：
①lgabn＝nlgab；②lgaan＝n；③lgaM+lgaN＝lga（M•N），其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0．
根据上面的规定，请解决下面问题：
（1）计算：lg31＝ ，lg1025+lg104＝ （请直接写出结果）；
（2）已知x＝lg32，请你用含x的代数式来表示y，其中y＝lg372（请写出必要的过程）．
【变式4-2】(2023春•宜兴市月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（4，64）＝ ，（﹣2，4）＝ ，（−12，﹣8）＝ ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），
他给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
∴3x＝4，即（3，4）＝x．
∴（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．
（4，5）+（4，6）＝（4，30）．
（3）拓展应用：计算（3，9）×（3，20）﹣（3，5）．
【变式4-3】(2023春•岳麓区月考）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝ ，D（16）＝ ．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（qp）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（53），D（108），D（2720）的值（用a、b、c表示）．
【考点5 整式乘法中的求值问题】
【例5】(2023春•灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（ ）
A．3B．2C．﹣3D．﹣2
【变式5-1】(2023春•浑南区校级期中）若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（ ）
A．﹣1，﹣1B．﹣1，1C．1，﹣1D．1，1
【变式5-2】(2023秋•晋安区期中）在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12．
（1）求出a的值；
（2）在（1）的条件下，且b＝﹣3时，计算（x+a）（x+b）的结果．
【变式5-3】(2023秋•耒阳市校级月考）已知多项式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M•N+P的值与x的取值无关，求字母a的值．
【考点6 巧用乘法公式求值】
【例6】(2023春•邗江区校级期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；
（2）x4+y4；
（3）x﹣y．
【变式6-1】(2023春•灌云县期中）已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2﹣b2﹣8．
【变式6-2】(2023春•广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，
（1）求a2+b2的值；
（2）求（a+1）（b+1）的值；
（3）求（a﹣b）2的值．
【变式6-3】(2023春•新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．
（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．
【考点7 整式乘除的计算与化简】
【例7】(2023春•淄川区期中）（1）计算：
①a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．
②−4xy3⋅(12xy)÷(xy2)2．
③（﹣4x﹣3y）2．
④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2
（2）先化简，再求值：
①(x+y)2−(x+y)(y−x)−12x(2x−y)，其中x＝﹣1，y=15．
②[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a，b满足2a﹣8b﹣6＝0．
【变式7-1】(2023春•郓城县期末）计算：
（1）（﹣2ab）2•3b÷（−13ab2）
（2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92
（3）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y=−12．
【变式7-2】(2023春•竞秀区期末）计算题：
（1）82019×（﹣0.125）2020
（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；
（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．
【变式7-3】(2023春•南山区校级期中）（1）化简：2x（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2；
（2）计算：20092﹣2010×2008；
（3）化简：（﹣3a2）3+（﹣4a3）2；
（4）已知a2﹣3a+1＝0，求代数式（3a﹣2）2﹣3a（2a﹣1）+5的值；
（5）已知m＝﹣1，n＝﹣2，求代数式（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）的值．
【考点8 整式乘法的应用】
【例8】(2023秋•旅顺口区期中）长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中a＞b＞1，如果将原长方形的长增加3厘米，宽减少1厘米，得到的新长方形面积记为S1；如果将原长方形的长和宽各增加1厘米，得到的新长方形面积记为S2．
（1）试比较S1与S2的大小，并说明理由；
（2）如果S1＝2S2﹣10，求将原长方形的长减少1，宽增加3厘米后得到的新长方形面积．
【变式8-1】(2023春•宽城县期末）有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．
（1）①计算：S甲＝ ，S乙＝ ；
②用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲 S乙．
（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．
①该正方形的边长是 （用含m的代数式表示）；
②小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．
【变式8-2】(2023春•雁塔区校级期中）如图1，有A、B、C三种不同型号的卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a、宽为b的长方形．
（1）小明选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，剪出中间的正方形D型卡片，由此可验证的等量关系为 ；
（2）小亮想用这三种卡片拼成一个如图3所示的长为2a+b，宽为a+b的长方形，那么需要A型卡片2张，B型卡片 张，C型卡片 张，并在图3中画出一种拼法．（图中标上卡片型号）
【变式8-3】(2023秋•揭西县期末）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【考点9 乘法公式的几何背景】
【例9】(2023秋•邓州市期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1，
所以（a+b）2＝9，2ab＝2．
所以a2+b2+2ab＝9，得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝30，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝ ；
②若（3﹣x）（5﹣x）＝6，则（3﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，求图中阴影部分面积．
【变式9-1】(2023秋•龙港区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．
方法1 ；
方法2 ．
（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为 ；
（3）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为a2+3ab+2b2的长方形，这个长方形相邻两边长为 ；
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；
②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．
【变式9-2】(2023春•龙华区月考）【探究】
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；
【应用】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
【拓展】
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝ ，DF＝ ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【变式9-3】(2023秋•永春县期中）如图，正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与端点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a＞b）．
（1）求图1和图2中阴影部分的面积S1、S2（用含a，b的代数式表示）；
（2）如果a+b＝8，ab＝6，求S1的值；
（3）当S1＝S2时，求a与b满足的数量关系．
【考点10 整式乘除中的规律问题】
【例10】(2023秋•恩施市期末）观察下列式子：
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；
（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1；
（1）根据以上式子，请直接写出（xn﹣1）÷（x﹣1）的结果（n为正整数）；
（2）计算：1+2+22+23+24+…+22021．
【变式10-1】(2023春•龙岗区月考）观察下列等式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
…
（1）猜想规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）＝ ；
（2）有以上情形，你能求出下面式子的结果吗？（x6﹣1）÷（x﹣1）＝ ；
（3）已知x3+x2+x+1＝0，分别求出x4和x2020的值．
【变式10-2】(2023春•安徽月考）【操作】填空：
（1）（x﹣1）（x+1）＝ ；
（2）（x﹣1）（x+1）（x2+1）＝ ；
（3）（x﹣1）（x+1）（x2+1）（x4+1）＝ ；
…
【猜想】根据上述等式的规律，猜想（x﹣1）（x+1）（x2+1）…（x2n+1）＝ （用含n的式子表示，不用说理）；
【应用】请根据猜想完成下列各题（直接写出结果，不用化简）：
计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）＝ ；
【变式10-3】(2023秋•大连期末）如图1，是2022年2月份的日历，选择其中所示的方框部分，将这四个数字按照：“右上角数字×左下角数字﹣左上角数字×右下角数字”进行计算．
（1）计算：7×13﹣6×14＝ ，19×25﹣18×26＝ ；
（2）请猜想方框里的四个数字计算结果的规律，并用整式运算对猜想的规律加以证明；
（3）如图2，是2022年4月份的日历，选择任意的十六个数字方框，将四个角上的数字，仍按照题中的运算方法计算，（2）中的规律还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想并证明．

专题1.7 整式的乘除章末重难点突破
【北师大版】

【考点1 幂的运算】
【例1】(2023春•叶集区期末）下列计算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5B．x3•x5＝x15
C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3D．x6÷x3＝x2
【解题思路】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答过程】解：A．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；
B．x3•x5＝x8，故本选项不合题意；
C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3，故本选项符合题意；
D．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意．
故选：C．
【变式1-1】(2023春•海陵区校级月考）计算
（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2
【解题思路】（1）根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方的法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法、积的乘方的法则计算即可．
【解答过程】解：（1）原式＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8
（2）原式＝﹣8x6+9x6+x6＝2x6
【变式1-2】(2023春•安庆期中）计算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）
【解题思路】先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．
【解答过程】解：原式＝an﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），
＝a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），
＝a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，
＝0．
【变式1-3】(2023春•沙坪坝区校级月考）计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于 ．
【解题思路】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答过程】解：原式＝82×42×42019×（﹣0.25）2019
＝82×42×（4×﹣0.25）2019
＝82×42×（﹣1）
＝﹣1024．
故答案为：﹣1024．
【考点2 幂的逆运算】
【例2】(2023秋•岳麓区校级月考）解答下列问题
（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值；
（2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；
（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x•81y的值．
【解题思路】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）由3x+4y﹣3＝0可得3x+4y＝3，再据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答过程】解：（1）∵2x＝a，2y＝b，
∴2x+y＝2x•2y＝ab；
（2）∵3m＝5，3n＝2，
∴33m+2n+1＝（3m）3•（3n）2×3＝53×22×3＝125×4×3＝1500；
（3）由3x+4y﹣3＝0可得3x+4y＝3，
∴27x•81y
＝33x•34y
＝33x+4y
＝33
＝27．
【变式2-1】(2023春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【解题思路】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；
（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式然后代入进行计算即可．
【解答过程】解：（1）∵m+4n﹣3＝0
∴m+4n＝3
原式＝2m•24n
＝2m+4n
＝23
＝8．
（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，
＝43﹣2×42，
＝32，
【变式2-2】(2023春•邗江区校级月考）（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值
【解题思路】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答过程】解：（1）∵4a+3b＝3，
∴92a•27b＝34a•33b＝33＝27；
（2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，
∴1+2m+3m＝21，
解得m＝4．
【变式2-3】(2023•河北模拟）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；
（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
【解题思路】（1）根据幂的乘方运算法则把8x与16x化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1＝24变形为2x（22+2）＝24即可解答；
（3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．
【解答过程】解：（1）2÷8x•16x＝2÷（23）x•（24）x＝2÷23x•24x＝21﹣3x+4x＝25，
∴1﹣3x+4x＝5，
解得x＝4；
（2）∵2x+2+2x+1＝24，
∴2x（22+2）＝24，
∴2x＝4，
∴x＝2；
（3）∵x＝5m﹣3，
∴5m＝x+3，
∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，
∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．
【考点3巧用幂的运算进行大小比较】
【例3】(2023春•邗江区校级期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（ ）
A．m＞nB．m＜n
C．m＝nD．大小关系无法确定
【解题思路】先根据幂的乘方进行变形，再比较即可．
【解答过程】解：m＝272＝（23）24＝824，n＝348＝（32）24＝924，
∵8＜9，
∴m＜n，
故选：B．
【变式3-1】(2023春•淮阴区期中）比较255、344、433的大小（ ）
A．255＜344＜433B．433＜344＜255
C．255＜433＜344D．344＜433＜255
【解题思路】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可．
【解答过程】解：255＝（25）11＝3211，
344＝（34）11＝8111，
433＝（43）11＝6411，
∵32＜64＜81，
∴255＜433＜344．
故选：C．
【变式3-2】(2023春•玄武区期中）233、418、810的大小关系是（用＞号连接） ．
【解题思路】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而比较得出答案．
【解答过程】解：∵233、418＝236、810＝（23）10＝230，
∴236＞233＞230，
∴418＞233＞810．
【变式3-3】(2023春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较322和411的大小．
解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2
∴322＞222，即322＞411
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较28和82的大小
解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6
∴28＞26，即28＞82
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
（1）比较344、433、522的大小
（2）比较8131、2741、961的大小
（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小
（4）比较312×510与310×512的大小
【解题思路】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）根据题目中的例子可以解答本题；
（3）根据题目中的例子可以解答本题；
（4）根据题目中的例子可以解答本题．
【解答过程】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，
433＝（43）11＝6411，
522＝（52）11＝2511，
∵81＞64＞25，
∴8111＞6411＞2511，
即344＞433＞522；
（2）∵8131＝（34）31＝3124，
2741＝（33）41＝3123，
961＝（32）61＝3122，
∵124＞123＞122，
∴3124＞3123＞3122，
即8131＞2741＞961；
（3）∵a2＝2，b3＝3，
∴a6＝8，b6＝9，
∵8＜9，
∴a6＜b6，
∴a＜b；
（4）∵312×510＝（3×5）10×32，
310×512＝（3×5）10×52，
又∵32＜52，
∴312×510＜310×512．
【考点4 幂的运算中的新定义问题】
【例4】(2023秋•开州区期末）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝lg216，对数式2＝lg39可以转化为指数式32＝9．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：lga（M•N）＝lgaM+lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设lgaM＝m，lgaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝lga（M•N）．
又∵m+n＝lgaM+lgaN，
∴lga（M•N）＝lgaM+lgaN．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①lg264＝ 6 ，②lg327＝ 3 ，③lg71＝ 0 ；
（2）求证：lgaMN=lgaM﹣lgaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算lg464+lg57﹣lg535．
分析：（1）根据题意给出的运算法则即可求出答案．
（2）设lgaM＝m，lgaN＝n，则M＝am，N＝an，然后根据对数的定义即可求出答案．
（3）根据题意给出的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）lg264＝6，lg327＝3，lg71＝0，
故①6；②3；③0；
（2）设lgaM＝m，lgaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴MN=aman=am−n，
由对数的定义得m−n=lgaMN．
又∵m﹣n＝lgaM﹣lgaN
∴lgaMN=lgaM−lgaN．
（3）lg464+lg57﹣lg535
＝3+lg57﹣（lg55+lg57）
＝3+lg57﹣lg57﹣1
＝2．
【变式4-1】(2023秋•杜尔伯特县期末）阅读下列材料，并解决下面的问题：
我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子23＝8可以变形为lg28＝3，lg525＝2也可以变形为52＝25．在式子23＝8中，3叫做以2为底8的对数，记为lg28．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lgab（即lgab＝n），且具有性质：
①lgabn＝nlgab；②lgaan＝n；③lgaM+lgaN＝lga（M•N），其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0．
根据上面的规定，请解决下面问题：
（1）计算：lg31＝ 0 ，lg1025+lg104＝ 2 （请直接写出结果）；
（2）已知x＝lg32，请你用含x的代数式来表示y，其中y＝lg372（请写出必要的过程）．
分析：（1）先认真阅读题目，得出3x＝1，求出x即可；得出lg1025+lg104＝lg10100，求出即可；
（2）先变形得出y＝lg372，再求出即可．
【解答】解：（1）lg31＝0，lg1025+lg104＝lg10100＝2，
故答案为：0，2；
（2）∵x＝lg32，
∴y＝lg372
＝lg38+lg39
＝3lg32+2
＝3x+2．
【变式4-2】(2023春•宜兴市月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（4，64）＝ 3 ，（﹣2，4）＝ 2 ，（−12，﹣8）＝ ﹣3 ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），
他给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
∴3x＝4，即（3，4）＝x．
∴（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．
（4，5）+（4，6）＝（4，30）．
（3）拓展应用：计算（3，9）×（3，20）﹣（3，5）．
分析：（1）根据题意可得43＝64，（﹣2）2＝4，（−12）﹣3＝﹣8，进而求解．
（2）设（4，5）＝x，（4，6）＝y，（4，30）＝z，则4x＝5，4y＝6，4z＝30，进而求解．
（3）设（3，20）＝a，（3，5）＝b，则3a＝20，3b＝5，再根据（3，9）＝2及同底数幂的除法法则求解．
【解答】解：（1）∵43＝64，（﹣2）2＝4，（−12）﹣3＝﹣8，
∴（4，64）＝3，（﹣2，4）＝2，（−12，﹣8）＝﹣3．
故答案为：3，2，﹣3．
（2）设（4，5）＝x，（4，6）＝y，（4，30）＝z，
则4x＝5，4y＝6，4z＝30，
∴4x×4y＝5×6＝30，
∴4x×4y＝4z，
∴x+y＝z，即（4，5）+（4，6）＝（4，30）．
（3）设（3，20）＝a，（3，5）＝b，
∴3a＝20，3b＝5，
∵（3，9）＝2，
∴（3，9）×（3，20）﹣（3，5）＝2a﹣b，
∵32a﹣b＝（3a）2÷3b＝202÷5＝80，
∴2a﹣b＝（3，80），即（3，9）×（3，20）﹣（3，5）＝（3，80）．
【变式4-3】(2023春•岳麓区月考）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝ 1 ，D（16）＝ 4 ．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（qp）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（53），D（108），D（2720）的值（用a、b、c表示）．
分析：本题属于阅读题，根据给出的定义进行运算或化简．
【解答】解：（1）∵21＝2，
∴D（2）＝1，
∵24＝16，
∴D（16）＝4，
故答案为：1；4．
（2）①∵21＝a，
∴a＝2．
∴23＝23．
∴D（a3）＝3．
②D（15）＝D（3×5），
＝D（3）+D（5）
＝（2a﹣b）+（a+c）
＝3a﹣b+c，
D(53)=D(5)−D(3)
＝（a+c）﹣（2a﹣b）
＝﹣a+b+c．
D（108）＝D（3×3×3×2×2），
＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2）
＝3×D（3）+2×D（2）
＝3×（2a﹣b）+2×1
＝6a﹣3b+2．
D(2720)=D(27)−D(20)，
＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2）
＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）]
＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）]
＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1]
＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2
＝5a﹣3b﹣c﹣2，
【考点5 整式乘法中的求值问题】
【例5】(2023春•灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（ ）
A．3B．2C．﹣3D．﹣2
【解题思路】先进行单项式乘多项式，再合并得到原式＝﹣4x3+（a+3）x2+x，然后令二次项的系数为0即可得到a的值．
【解答过程】解：（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2＝﹣2x3+ax2+x﹣2x3+3x2
＝﹣4x3+（a+3）x2+x，
因为﹣4x3+（a+3）x2+x不含x的二次项，
所以a+3＝0，
所以a＝﹣3．
故选：C．
【变式5-1】(2023春•浑南区校级期中）若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（ ）
A．﹣1，﹣1B．﹣1，1C．1，﹣1D．1，1
【解题思路】根据多项式乘以多项式进行恒等计算即可．
【解答过程】解：多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，
（a2﹣ma+2n）（a+1）
＝a3﹣ma2+2an+a2﹣ma+2n
＝a3+（1﹣m）a2+（2n﹣m）a+2n
所以1﹣m＝2，得m＝﹣1，
2n﹣m＝﹣1，得n＝﹣1．
或者2n＝﹣2，得n＝﹣1．
故选：A．
【变式5-2】(2023秋•晋安区期中）在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12．
（1）求出a的值；
（2）在（1）的条件下，且b＝﹣3时，计算（x+a）（x+b）的结果．
分析：（1）根据多项式乘多项式计算（x+a）（x+6），与x2+8x+12对照即可得出a的值；
（2）把a＝2，b＝﹣3代入计算即可．
【解答】解：（1）∵（x+a）（x+6）
＝x2+6x+ax+6a
＝x2+（6+a）x+6a，
∴x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，
∴6+a＝8，6a＝12，
解得a＝2；
（2）当a＝2，b＝﹣3时，
（x+a）（x+b）
＝（x+2）（x﹣3）
＝x2﹣3x+2x﹣6
＝x2﹣x﹣6．
【变式5-3】(2023秋•耒阳市校级月考）已知多项式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M•N+P的值与x的取值无关，求字母a的值．
分析：根据多项式与多项式相乘的法则计算，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：M•N+P＝（x2+5x﹣a）（﹣x+2）+（x3+3x2+5）
＝﹣x3+2x2﹣5x2+10x+ax﹣2a+x3+3x2+5
＝（10+a）x﹣2a+5，
由题意得，10+a＝0，
解得，a＝﹣10．
【考点6 巧用乘法公式求值】
【例6】(2023春•邗江区校级期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；
（2）x4+y4；
（3）x﹣y．
【解题思路】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（3）先求出（x﹣y）2的值，再根据完全平方公式求出即可．
【解答过程】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x+y）2
＝x2+y2+2xy
＝8+2×2
＝12；
（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴x4+y4
＝（x2+y2）2﹣2x2y2
＝82﹣2×22
＝64﹣8
＝56；
（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，
∴x﹣y＝±2．
【变式6-1】(2023春•灌云县期中）已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2﹣b2﹣8．
【解题思路】（1）由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab及已知条件可求得答案；
（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab及已知条件可求得a+b的值，进而得出a2﹣b2﹣8的值即可．
【解答过程】解：（1）∵a﹣b＝1，
∴（a﹣b）2
＝a2+b2﹣2ab
＝1，
∵a2+b2＝13，
∴13﹣2ab＝1，
∴ab＝6；
（2）∵a2+b2＝13，ab＝6，
∴（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝13+12
＝25，
∴a+b＝5或﹣5，
∵a2﹣b2﹣8＝（a+b）（a﹣b）﹣8，
∴当a+b＝5时，（a+b）﹣8＝﹣3；
当a+b＝﹣5时，（a+b）﹣8＝﹣5﹣8＝﹣13．
【变式6-2】(2023春•广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，
（1）求a2+b2的值；
（2）求（a+1）（b+1）的值；
（3）求（a﹣b）2的值．
【解题思路】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答过程】解：（1）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4+2×24＝52；
（2）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣24+2+1＝﹣21；
（3）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
＝（a+b）2﹣4ab
＝4+4×24
＝100．
【变式6-3】(2023春•新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．
（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．
【解题思路】（1）首先去括号，进而得出x2+y2的值，即可求出xy的值；
（2）直接利用完全平方公式配方进而得出a，b的值，即可得出答案．
【解答过程】解：（1）∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，
∴x2+2xy+y2＝25①，x2﹣2xy+y2＝9②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝34，
∴x2+y2＝17，
∴17+2xy＝25，
∴xy＝4；
（2）∵（a﹣b）2＝3，
∴a2﹣2ab+b2＝3，
∵a2+b2＝15，
∴15﹣2ab＝3，
∴﹣2ab＝﹣12，
∴ab＝6，
∵a2+b2＝15，
∴a2+2ab+b2＝15+12，
∴（a+b）2＝27．
【考点7 整式乘除的计算与化简】
【例7】(2023春•淄川区期中）（1）计算：
①a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．
②−4xy3⋅(12xy)÷(xy2)2．
③（﹣4x﹣3y）2．
④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2
（2）先化简，再求值：
①(x+y)2−(x+y)(y−x)−12x(2x−y)，其中x＝﹣1，y=15．
②[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a，b满足2a﹣8b﹣6＝0．
【解题思路】（1）①原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
②原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值；
③原式利用完全平方公式计算即可求出值；
④原式利用平方差公式及完全平方公式计算即可求出值；
（2）①原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；
②原式中括号中利用单项式乘多项式，多项式乘多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答过程】解：（1）①原式＝﹣a8+16a8
＝15a8；
②原式＝﹣4xy3•（12xy）÷x2y4
＝﹣2x2y4÷x2y4
＝﹣2；
③原式＝16x2+24xy+9y2；
④原式＝4a2﹣b2+a2+4ab+4b2
＝5a2+4ab+3b2；
（2）①原式＝x2+2xy+y2﹣y2+x2﹣x2+12xy
＝x2+52xy，
当x＝﹣1，y=15时，原式＝1−12=12；
②原式＝（ab﹣3b2﹣3a2﹣2ab+6a2﹣9ab﹣2ab+3b2）÷（﹣3a）
＝（3a2﹣12ab）÷（﹣3a）
＝﹣a+4b
＝﹣（a﹣4b），
由2a﹣8b﹣6＝0，得到a﹣4b＝3，
则原式＝﹣3．
【变式7-1】(2023春•郓城县期末）计算：
（1）（﹣2ab）2•3b÷（−13ab2）
（2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92
（3）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y=−12．
【解题思路】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（3）原式利用单项式乘以多项式，平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答过程】解：（1）原式＝4a2b2•3b÷（−13ab2）＝﹣36ab；
（2）原式＝912﹣（90﹣2）×（90+2）＝912﹣902+4＝181+4＝185；
（3）原式＝x2﹣4xy+4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2＝x2﹣2y2，
当x＝﹣2，y=−12时，原式＝4−12=312．
【变式7-2】(2023春•竞秀区期末）计算题：
（1）82019×（﹣0.125）2020
（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；
（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．
【解题思路】（1）将原式变形为（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125），再逆用积的乘方变形、计算可得；
（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；
（3）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（5）原式中括号中利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答过程】解：（1）82019×（﹣0.125）2020
＝（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×8）2019×（﹣0.125）
＝0.125；
（2）20202﹣2019×2021
＝20202﹣(2023﹣1）×(2023+1）
＝20202﹣20202+1
＝1；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）
＝（3x﹣y）（3x+y）（9x2+y2）
＝（9x2﹣y2）（9x2+y2）
＝81x4﹣y4；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2
＝a2﹣b2﹣（a2﹣4ab+4b2）
＝a2﹣b2﹣a2+4ab﹣4b2
＝4ab﹣5b2；
（5）[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x）
＝（x2+6xy+9y2﹣3x2+xy﹣6xy+2y2﹣11y2）÷2x
＝（﹣2x2+xy）÷2x
＝﹣x+12y，
当x＝﹣2，y＝1时，原式=52．
【变式7-3】(2023春•南山区校级期中）（1）化简：2x（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2；
（2）计算：20092﹣2010×2008；
（3）化简：（﹣3a2）3+（﹣4a3）2；
（4）已知a2﹣3a+1＝0，求代数式（3a﹣2）2﹣3a（2a﹣1）+5的值；
（5）已知m＝﹣1，n＝﹣2，求代数式（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）的值．
【解题思路】（1）利用单项式乘多项式法则和完全平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可得；
（2）2010×2008变形为（2009+1）（2009﹣1），再利用平方差公式计算可得；
（3）先利用单项式的乘方的运算法则计算，再合并同类项即可得；
（4）先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出3a2﹣9a＝﹣3，代入计算可得；
（5）先根据多项式除以单项式法则化简原式，再将n的值代入计算可得．
【解答过程】解：（1）原式＝4x2﹣2xy﹣（4x2﹣4xy+y2）
＝4x2﹣2xy﹣4x2+4xy﹣y2
＝2xy﹣y2；
（2）原式＝20092﹣（2009+1）×（2009﹣1）
＝20092﹣20092+1
＝1；
（3）原式＝﹣27a6+16a6＝﹣9a6；
（4）原式＝9a2﹣12a+4﹣6a2+3a+5
＝3a2﹣9a+9，
∵a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，
∴3a2﹣9a＝﹣3，
则原式＝﹣3+9＝6；
（5）原式＝6m2n÷（﹣3m2）﹣6m2n2÷（﹣3m2）﹣3m2÷（﹣3m2）
＝﹣2n+2n2+1，
当n＝﹣2时，原式＝﹣2×（﹣2）+2×（﹣2）2+1
＝4+2×4+1
＝4+8+1
＝13．
【考点8 整式乘法的应用】
【例8】(2023秋•旅顺口区期中）长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中a＞b＞1，如果将原长方形的长增加3厘米，宽减少1厘米，得到的新长方形面积记为S1；如果将原长方形的长和宽各增加1厘米，得到的新长方形面积记为S2．
（1）试比较S1与S2的大小，并说明理由；
（2）如果S1＝2S2﹣10，求将原长方形的长减少1，宽增加3厘米后得到的新长方形面积．
分析：（1）根据多项式乘多项式，分别计算出S1，S2，作差即可；
（2）根据S1＝2S2﹣10，得到ab+3a﹣b﹣5＝0，从而求得新长方形的面积．
【解答】解：（1）S1＝（a+3）（b﹣1）＝ab﹣a+3b﹣3，
S2＝（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1，
S1﹣S2＝（ab﹣a+3b﹣3）﹣（ab+a+b+1）
＝ab﹣a+3b﹣3﹣ab﹣a﹣b﹣1
＝﹣2a+2b﹣4
＝﹣2（a﹣b）﹣4，
∵a＞b＞1，且a、b为正整数，
∴a﹣b＞0，
∴﹣2（a﹣b）﹣4＜0，
∴S1＜S2；
（2）∵S1＝2S2﹣10，
∴ab﹣a+3b﹣3＝2（ab+a+b+1）﹣10，
∴ab﹣a+3b﹣3＝2ab+2a+2b+2﹣10，
∴ab+3a﹣b﹣5＝0，
∴新长方形的面积＝（a﹣1）（b+3）
＝ab+3a﹣b﹣3
＝5﹣3
＝2．
【变式8-1】(2023春•宽城县期末）有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．
（1）①计算：S甲＝ m2+12m+27 ，S乙＝ m2+10m+24 ；
②用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲 ＞ S乙．
（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．
①该正方形的边长是 m+5 （用含m的代数式表示）；
②小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．
分析：（1）①根据长方形的面积公式以及多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
②通过作差法比较大小．
（2）①根据一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，求出正方形的边长．
②先用含有m的代数式表示出S正与S乙的差，进而判断S正与S乙的差与m的关系．
【解答】解：（1）①S甲＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24．
故答案为：m2+12m+27，m2+10m+24．
②∵S甲﹣S乙
＝m2+12m+27﹣（m2+10m+24）
＝2m+3＞0，
∴S甲＞S乙．
故答案为：＞．
（2）①∵C乙＝2（m+6+m+4）＝4m+20，
∴C正＝4m+20．
∴该正方形的边长为4m+204=m+5．
故答案为：m+5．
②正确，理由如下：
∵S正=(m+5)2=m2+10m+25，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24，
∴S正﹣S乙＝（m2+10m+25）﹣（m2+10m+24）＝1．
∴S正与S乙的差是1，故与m无关．
【变式8-2】(2023春•雁塔区校级期中）如图1，有A、B、C三种不同型号的卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a、宽为b的长方形．
（1）小明选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，剪出中间的正方形D型卡片，由此可验证的等量关系为 （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ；
（2）小亮想用这三种卡片拼成一个如图3所示的长为2a+b，宽为a+b的长方形，那么需要A型卡片2张，B型卡片 1 张，C型卡片 3 张，并在图3中画出一种拼法．（图中标上卡片型号）
分析：（1）剪出中间的正方形的边长为a﹣b，面积为（a﹣b）2，这个正方形的面积还可以根据大正方形的面积减去4个长方形的面积计算，根据两种方法的面积相同，即可得到等量关系；
（2）三种卡片拼成一个大长方形，面积不变．大长方形的面积为（2a+b）（a+b），根据多项式乘以多项式的法则展开即可知道需要的卡片数．
【解答】解：（1）剪出中间的正方形D的边长为a﹣b，面积为（a﹣b）2，
这个正方形D的面积还可以表示为：（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）（2a+b）（a+b）
＝2a2+2ab+ab+b2
＝2a2+b2+3ab，
∵a2表示卡片A的面积，b2表示卡片B的面积，ab表示卡片C的面积，
∴需要A型卡片2张，B型卡片1张，C型卡片3张，
故答案为：1，3．
【变式8-3】(2023秋•揭西县期末）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
分析：（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m；
（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得出5y﹣2＝0，即可得出答案；
（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2关于x的代数式，根据取值与x可得a＝2b．
【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x
＝2mx﹣3m+2m2﹣3x
＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m，
∵其值与x的取值无关，
∴2m﹣3＝0，
解得，m=32，
答：当m=32时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关；
（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，
∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）
＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6
＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6
＝15xy﹣6x﹣9
＝3x（5y﹣2）﹣9，
∵3A+6B的值与x无关，
∴5y﹣2＝0，即y=25；
（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），
∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，
∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变．
∴S1﹣S2取值与x无关，
∴a﹣2b＝0
∴a＝2b．
【考点9 乘法公式的几何背景】
【例9】(2023秋•邓州市期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1，
所以（a+b）2＝9，2ab＝2．
所以a2+b2+2ab＝9，得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝30，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若（4﹣x）x＝3，则（4﹣x）2+x2＝ 10 ；
②若（3﹣x）（5﹣x）＝6，则（3﹣x）2+（5﹣x）2＝ 16 ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，求图中阴影部分面积．
分析：（1）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab=(a+b)2−(a2+b2)2可求得此题结果；
（2）①由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可求得此题结果；
②由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2得，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab可求得此题结果；
（3）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab=(a+b)2−(a2+b2)2，利用AC+BC和AC•BC的值可求得此题结果．
【解答】解：（1）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab=(a+b)2−(a2+b2)2，
∴当x+y＝8，x2+y2＝30时，
xy=82−302=64−302=342=17；
（2）①由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴当（4﹣x）x＝3时，
（4﹣x）2+x2＝[（4﹣x）+x]2﹣2（4﹣x）x
＝42﹣2×3
＝16﹣6
＝10，
故答案为：10；
②由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2得，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，
∴当（3﹣x）（5﹣x）＝6时，
（3﹣x）2+（5﹣x）2＝[（3﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（3﹣x）（5﹣x）＝（﹣2）2+2×6＝4+12＝16，
故答案为：16；
（3）由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab2=(a+b)2−(a2+b2)4，
∴当AC+BC＝AB＝10，AC2+BC2＝S1+S2＝52时，
图中阴影部分面积=AC⋅BC2=(AC+BC)2−(AC2+BC2)4=102−524=100−524=484=12．
【变式9-1】(2023秋•龙港区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．
方法1 a2+2ab+b2 ；
方法2 （a+b）2 ．
（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为 （a+b）2＝a2+b2+2ab ；
（3）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为a2+3ab+2b2的长方形，这个长方形相邻两边长为 a+b，a+2b ；
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；
②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．
分析：（1）从图2大正方形面积的整体和各部分求和两方面列式表示即可；
（2）根据（1）中两个结果可得（a+b）2＝a2+b2+2àb；
（3）根据因式分解a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）可得此题结果；
（4）由（2）题结果（a+b）2＝a2+b2+2àb可得ab=(a+b)2−(a2+b2)2，利用以上两个结论可分别求解①，②小题．
【解答】解：（1）由题意，图2面积可分别表示为：（a+b）2和a2+b2+2àb，
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2àb；
（2）根据（1）中两个结果可得，（a+b）2＝a2+b2+2àb，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2àb；
（3）∵a2+3ab+2b2可分解为（a+b）（a+2b），
∴可拼成边长各为a+b，a+2b的长方形，
故答案为：a+b，a+2b；
（4）①由（2）题结果（a+b）2＝a2+b2+2àb可得，
ab=(a+b)2−(a2+b2)2=62−142=36−142=222=11，
②设x﹣2020＝a，x﹣2022＝b，则a2+b2＝34，a﹣b＝（x﹣2020）﹣（x﹣2022）＝x﹣2020﹣x+2022＝2，a+b＝（x﹣2020）+（x﹣2022）＝x﹣2020+x﹣2022）＝2x﹣4042＝2（x﹣2021），
又∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴ab=(a2+b2)−(a−b)22=34−222=302=15，
∴[2（x﹣2021）]2＝4（x﹣2021）2＝（a+b）2＝a2+b2+2àb＝34+2×15＝34+30＝64，
∴（x﹣2021）2=644=16．
【变式9-2】(2023春•龙华区月考）【探究】
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；
【应用】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
【拓展】
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝ x﹣1 ，DF＝ x﹣3 ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
分析：（1）仿照题中所给的解答方式进行求解即可；
（2）①分析图形可知DF＝CD﹣CF，MF＝DE＝AD﹣AE，从而可得解；
②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，
则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝32﹣2×2
＝9﹣4
＝5；
（2）①∵四边形EMFD是长方形，AE＝1，四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝x，DE＝MF，
∴MF＝DE＝AD﹣AE＝x﹣1，
DF＝CD﹣CF＝x﹣3，
故答案为：x﹣1，x﹣3；
②∵长方形EMFD的面积是8，
∴MF•DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝8，
阴影部分的面积＝MF2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝8，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×8＝36，
∴a+b＝±6，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝6，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×2＝12．
即阴影部分的面积12．
【变式9-3】(2023秋•永春县期中）如图，正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与端点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a＞b）．
（1）求图1和图2中阴影部分的面积S1、S2（用含a，b的代数式表示）；
（2）如果a+b＝8，ab＝6，求S1的值；
（3）当S1＝S2时，求a与b满足的数量关系．
分析：（1）根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可；
（2）根据完全平方公式将原式化为含有a+b，ab的代数式，再整体代入计算即可；
（3）当S1＝S2时，得出（a﹣b）（a﹣2b）＝0，再由a＞b，得出a﹣2b＝0即可．
【解答】解：（1）如图1，S1＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BEF
＝a2+b2−12a2−12b（a+b）
＝a2+b2−12a2−12ab−12b2
=12a2−12ab+12b2；
如图2，延长AD、EF交于点H，
S2＝S正方形ABCD+S四边形DGFH﹣S△ABC﹣S△AHF
＝a2+b（a﹣b）−12a2−12（a+b）（a﹣b）
＝ab−12b2；
（2）当a+b＝8，ab＝6时，
S1=12a2−12ab+12b2
=12（a2﹣ab+b2）
=12[（a+b）2﹣3ab]
=12（82﹣3×6）
＝23；
（3）当S1＝S2时，
即12a2−12ab+12b2＝ab−12b2，
也就是a2﹣3ab+2b2＝0，
∴（a﹣b）（a﹣2b）＝0，
又∵a＞b，
∴a﹣2b＝0，
即a＝2b，
答：当S1＝S2时，a与b满足的数量关系为a＝2b．
【考点10 整式乘除中的规律问题】
【例10】(2023秋•恩施市期末）观察下列式子：
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；
（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1；
（1）根据以上式子，请直接写出（xn﹣1）÷（x﹣1）的结果（n为正整数）；
（2）计算：1+2+22+23+24+…+22021．
分析：（1）根据所给等式发现规律求解．
（2）利用发现的规律求解．
【解答】解：（1）原式＝xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+⋯+x+1．
（2）∵（2﹣1）×（22021+22020+22019+…+2+1）＝22022﹣1．
∴1+2+22+23+24+…+22020+22021＝22022﹣1．
【变式10-1】(2023春•龙岗区月考）观察下列等式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ x4﹣1 ；
…
（1）猜想规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）＝ xn+1﹣1 ；
（2）有以上情形，你能求出下面式子的结果吗？（x6﹣1）÷（x﹣1）＝ x5+x4+x3+x2+x+1 ；
（3）已知x3+x2+x+1＝0，分别求出x4和x2020的值．
分析：（1）根据已知算式得出的规律求出即可；
（2）由（1）得到规律进行求解即可；
（3）由x3+x2+x+1＝0，可得（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝0，即可得出x4﹣1＝0，据此计算即可．
【解答】解：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
（1）由题意，得（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）＝xn+1﹣1；
（2）（x6﹣1）÷（x﹣1）＝x5+x4+x3+x2+x+1；
（3）∵x3+x2+x+1＝0，
∴（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝0，
∴x4﹣1＝0，
∴x4＝1，x2020＝1．
故答案为：x4﹣1；（1）xn+1﹣1；（2）x5+x4+x3+x2+x+1；（3）1；1．
【变式10-2】(2023春•安徽月考）【操作】填空：
（1）（x﹣1）（x+1）＝ x2﹣1； ；
（2）（x﹣1）（x+1）（x2+1）＝ x4﹣1 ；
（3）（x﹣1）（x+1）（x2+1）（x4+1）＝ x8﹣1 ；
…
【猜想】根据上述等式的规律，猜想（x﹣1）（x+1）（x2+1）…（x2n+1）＝ x4n﹣1 （用含n的式子表示，不用说理）；
【应用】请根据猜想完成下列各题（直接写出结果，不用化简）：
计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）＝ 264﹣1； ；
分析：根据3个例子可得规律，
【应用】（1）多次利用平方差公式计算即可；
【解答】解：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（2）（x﹣1）（x+1）（x2+1）＝（x2﹣1）（x2+1）＝x4﹣1；
（3）（x﹣1）（x+1）（x2+1）（x4+1）＝（x4﹣1）（x4+1）＝x8﹣1；
…
【猜想】根据上述等式的规律，猜想（x﹣1）（x+1）（x2+1）…（x2n+1）＝x4n﹣1；
【应用】
（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（232+1）
＝（24﹣1）（24+1）…（232+1）
＝（28﹣1）…（232+1）
＝（232）2﹣1
＝264﹣1；
故答案为：（1）x2﹣1；（2）x4﹣1；（3）x8﹣1；
【猜想】x4n﹣1；【应用】264﹣1；
【变式10-3】(2023秋•大连期末）如图1，是2022年2月份的日历，选择其中所示的方框部分，将这四个数字按照：“右上角数字×左下角数字﹣左上角数字×右下角数字”进行计算．
（1）计算：7×13﹣6×14＝ 7 ，19×25﹣18×26＝ 7 ；
（2）请猜想方框里的四个数字计算结果的规律，并用整式运算对猜想的规律加以证明；
（3）如图2，是2022年4月份的日历，选择任意的十六个数字方框，将四个角上的数字，仍按照题中的运算方法计算，（2）中的规律还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想并证明．
分析：（1）根据有理数的混合运算计算即可；
（2）方框里的四个数字计算结果是7；设左上角的数字为m，则右上角的数字是m+1，左下角的数字是m+7，右下角的数字是m+8，根据题意列出算式计算即可；
（3）不成立，方框里的四个数字计算结果是63，设左上角的数字是n，右上角的数字是n+3，左下角的数字是21，右上角的数字是n+24，根据题意列出算式计算即可．
【解答】解：（1）7×13﹣6×14＝7，19×25﹣18×26＝7．
故答案为：7；7；
（2）方框里的四个数字计算结果是7；
设左上角的数字为m，则右上角的数字是m+1，左下角的数字是m+7，右下角的数字是m+8，根据题意得：
（m+1）（m+7）﹣m（m+8）＝m2+8m+7﹣m2﹣8m＝7；
（3）不成立，方框里的四个数字计算结果是63，
左上角的数字是n，右上角的数字是n+3，左下角的数字是21，右上角的数字是n+24，根据题意得：
（n+3）（n+21）﹣n（n+24）＝n2+24n+63﹣n2﹣24n＝63．