统考版2024高考数学二轮专题复习第三篇关键能力为重专题五解析几何第1讲直线与圆文

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习第三篇关键能力为重专题五解析几何第1讲直线与圆文，共7页。试卷主要包含了直线的两种位置关系，三种距离公式，故选C等内容，欢迎下载使用。

1.直线的两种位置关系
2.三种距离公式
（1）两点间的距离：若A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
（2）点到直线的距离：点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝ eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
（3）两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两平行线的距离d＝ eq \f(|C2－C1|,\r(A2＋B2)).
例 1 (1)[2023·江西师范大学附属中学高三三模]若a为实数，则“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（2）[数学文化]我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（ ）
A．x＋（ eq \r(2)－1）y－ eq \r(2)＝0
B．（1－ eq \r(2)）x－y＋ eq \r(2)＝0
C．x－（ eq \r(2)＋1）y＋ eq \r(2)＝0
D．（ eq \r(2)－1）x－y＋ eq \r(2)＝0
归纳总结
求解直线方程的两种方法
提醒 （1）忽略直线斜率不存在的情况
在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在．
（2）忽略检验致误
求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
对点训练
1.[2023·安徽省固镇县三模]已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C.必要不充分条件
D．既不必要也不充分条件
2.[2023·北京西城高三模拟]已知直线（2t－3）x＋y＋5＝0不通过第一象限，则实数t的取值范围为 .
考点二 圆的方程——“几何”、“代数”巧选取
1.圆的标准方程
当圆心为（a，b），半径为r时，其标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2.圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心， eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．
例 2 （1）[2022·全国乙卷]过四点（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为 ．
（2）[2022·全国甲卷]设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M上，则⊙M的方程为 ．
[听课记录]
归纳总结
圆的方程的求法
（1）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程；
（2）代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．一般采用待定系数法.
对点训练
1.[2023·陕西省安康中学高三质检]圆心在直线l1：x－y－2＝0上，且与直线l2：x－y＝0相切的一个圆的方程为__________________．
2．[2023·天津市河西区高三一模]与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是____________．
考点三 直线（圆）与圆的位置关系——紧扣“距离”与“半径”
1.直线与圆的位置关系的判定
（1）代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离；
（2）几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．
2.圆与圆的位置关系的判定
（1）d＞r1＋r2⇔两圆外离；
（2）d＝r1＋r2⇔两圆外切；
（3）|r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔两圆相交；
（4）d＝|r1－r2|（r1≠r2）⇔两圆内切；
（5）0≤d＜|r1－r2|（r1≠r2）⇔两圆内含．
例 3 (1)[2023·全国乙卷]已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ eq \f(3\r(2),2) B．4
C．1＋3 eq \r(2) D．7
(2)[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B． eq \f(\r(15),4)
C． eq \f(\r(10),4) D． eq \f(\r(6),4)
(3)[2023·新课标Ⅱ卷]已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为 eq \f(8,5)”的m的一个值________．
(4)[2023·四川省成都市高三模拟]已知圆C1：x2＋(y－1)2＝1与圆C2：x2＋(y－m)2＝4相内切，则实数m的值为______．
[听课记录]
归纳总结
1．求解圆的弦长的三种方法
2.与圆的切线有关的结论
（1）过圆x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
（2）过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）外一点P（x0，y0）引圆的切线，切点为T，
则切线长为|PT|＝ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋Dx0＋Ey0＋F).
（3）过圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r>0）外一点P（x0，y0）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2.
对点训练
1.直线l：3x＋4y－1＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0所截得的弦长为（ ）
A．2 eq \r(5) B．4
C．2 eq \r(3) D．2 eq \r(2)
2．[2023·辽宁省沈阳市高三五模]已知M是圆C：(x－1)2＋y2＝4上的动点，以点M为圆心，|OM|为半径作圆M，设圆M与圆C交于A，B两点，则下列点中，直线AB一定不经过( )
A．( eq \f(3,4)， eq \f(1,2)) B．( eq \f(3,2)，1)
C．( eq \f(1,2)， eq \f(1,2)) D．( eq \f(1,2)， eq \f(\r(2),2))
第1讲 直线与圆
考点一
[例1] 解析：（1）若“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”，
则a2－1＝0，解得a＝1或a＝－1，
当a＝1时，直线l1：x＋y＋2＝0，l2：x＋y－4＝0，此时l1∥l2，符合题意；
当a＝－1时，直线l1：－x＋y＋2＝0，即l1：x－y－2＝0，l2：x－y－2＝0，
此时l1，l2重合，不符合题意；
综上所述：“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”等价于a＝1.
所以“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的充要条件．
故选C.
（2）如图所示，可知A（ eq \r(2)，0），B（1，1），C（0， eq \r(2)），D（－1，1），所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝ eq \f(1－0,1－\r(2)))·（x－ eq \r(2)），y＝（1－ eq \r(2)）x＋ eq \r(2)，
y＝（ eq \r(2)－1）x＋ eq \r(2).
整理为一般式即
x＋（ eq \r(2)－1）y－ eq \r(2)＝0，
（1－ eq \r(2)）x－y＋ eq \r(2)＝0，
（ eq \r(2)－1）x－y＋ eq \r(2)＝0.故选C.
答案：（1）C （2）C
对点训练
1．解析：若l1⊥l2，则（3－a）×（－ eq \f(a,2)）＝－1，
解得a＝1或a＝2.
故a＝1是l1⊥l2的充分不必要条件．
故选B.
答案：B
2．解析：由题意得直线（2t－3）x＋y＋5＝0恒过定点（0，－5），且斜率为－（2t－3），
∵直线（2t－3）x＋y＋5＝0不通过第一象限，
∴－（2t－3）≤0，解得t≥ eq \f(3,2)，
故实数t的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).
答案： eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
考点二
[例2] 解析：（1）设点A（0，0），B（4，0），C（－1，1），D（4，2）.①若圆过A，B，C三点，则圆心在直线x＝2上，设圆心坐标为（2，a），则4＋a2＝9＋（a－1）2，解得a＝3，则半径r＝ eq \r(4＋a2)＝ eq \r(13)，所以圆的方程为（x－2）2＋（y－3）2＝13.②若圆过A，B，D三点，设圆心坐标为（2，a），则4＋a2＝4＋（a－2）2，解得a＝1，则半径r＝ eq \r(4＋a2)＝ eq \r(5)，所以圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.③若圆过A，C，D三点，易求线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5.联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,y＝－2x＋5，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(7,3)，))则半径r＝ eq \r(\f(16,9)＋\f(49,9))＝ eq \f(\r(65),3)，所以圆的方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(7,3))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(65,9).④若圆过B，C，D三点，易求线段BD的中垂线方程为y＝1，线段BC的中垂线方程为y＝5x－7.联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝1，,y＝5x－7，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝1，))则半径r＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)－4))\s\up12(2)＋（1－2）2)＝ eq \f(13,5)，所以圆的方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,5))) eq \s\up12(2)＋（y－1）2＝ eq \f(169,25).
（2）因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设M（a，1－2a）.由点（3，0），（0，1）均在⊙M上，可得点（3，0），（0，1）到圆心M的距离相等且为⊙M的半径，所以r＝ eq \r(（a－3）2＋（1－2a）2)＝ eq \r(a2＋（1－2a－1）2)，解得a＝1.所以M（1，－1），r＝ eq \r(5)，所以⊙M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
答案：（1）（x－2）2＋（y－3）2＝13[或（x－2）2＋（y－1）2＝5或（x－ eq \f(4,3)）2＋（y－ eq \f(7,3)）2＝ eq \f(65,9)或（x－ eq \f(8,5)）2＋（y－1）2＝ eq \f(169,25)]
（2）（x－1）2＋（y＋1）2＝5
对点训练
1．解析：因为直线l1：x－y－2＝0与直线l2：x－y＝0平行，设圆心坐标为（a，a－2），因为圆心到直线l2的距离等于圆的半径r，
所以r＝ eq \f(|a－a＋2|,\r(2))＝ eq \r(2)，取a＝1，则圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2.
答案：（x－1）2＋（y＋1）2＝2（答案不唯一）
2．解析：因为圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心C（－1，1），半径为 eq \r(2)，
圆心C（－1，1）到直线x－y－4＝0的距离d＝ eq \f(|－1－1－4|,\r(12＋（－1）2))＝3 eq \r(2)，
可知所求最小圆的半径r＝ eq \f(3\r(2)－\r(2),2)＝ eq \r(2)，
设与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为l：x＋y＋m＝0，
又因为直线l过圆心C（－1，1），则－1＋1＋m＝0，
即m＝0，则l：x＋y＝0，
联立方程 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0,x－y－4＝0))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝－2))，
即x＋y＝0与x－y－4＝0的交点M（2，－2），
设所求圆的圆心为（a，－a）（a<2），则 eq \f(|a－（－a）－4|,\r(12＋（－1）2))＝ eq \r(2)，解得a＝1或a＝3（舍去），
即圆心为（1，－1），
故所求圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2.
答案：（x－1）2＋（y＋1）2＝2
考点三
[例3] 解析：（1）将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为（x－2）2＋（y－1）2＝9，其表示圆心为（2，1），半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取得最大值，此时 eq \f(|2－1－z|,\r(2))＝3，解得z＝1±3 eq \r(2)，故z＝x－y的最大值为1＋3 eq \r(2)，故选C.
（2）
如图，x2＋y2－4x－1＝0得（x－2）2＋y2＝5，所以圆心坐标为（2，0），半径r＝ eq \r(5)，所以圆心到点（0，－2）的距离为 eq \r(（2－0）2＋（0＋2）2)＝2 eq \r(2)，由于圆心与点（0，－2）的连线平分角α，所以sin eq \f(α,2)＝ eq \f(r,2\r(2))＝ eq \f(\r(5),2\r(2))＝ eq \f(\r(10),4)，所以cs eq \f(α,2)＝ eq \f(\r(6),4)，所以sin α＝2sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝2× eq \f(\r(10),4)× eq \f(\r(6),4)＝ eq \f(\r(15),4).故选B.
（3）设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C（1，0），半径R＝2，C到直线l的距离d＝ eq \f(2,\r(1＋m2))，|AB|＝2 eq \r(R2－d2)＝2 eq \r(4－（\f(2,\r(1＋m2))）2)＝ eq \f(4|m|,\r(1＋m2)).由S△ABC＝ eq \f(8,5)，得 eq \f(1,2)× eq \f(4|m|,\r(1＋m2))× eq \f(2,\r(1＋m2))＝ eq \f(8,5)，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝± eq \f(1,2)，故答案可以为2.
（4）圆C1的圆心为（0，1），半径为r1＝1，
圆C2的圆心为（0，m），半径为r2＝2，
所以两圆的圆心距d＝ eq \r(02＋（m－1）2)，
又因为两圆内切，有|m－1|＝|1－2|⇒m＝0或m＝2.
答案：（1）C （2）B （3）2 （4）0或2
对点训练
1．解析：由题意圆心C（1，2），圆C的半径为3，
故C到l：3x＋4y－1＝0的距离为 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3＋8－1)),\r(32＋42))＝2，
故所求弦长为2 eq \r(32－22)＝2 eq \r(5).故选A.
答案：A
2．解析：设M（a，b），则|OM|＝ eq \r(a2＋b2)，
所以圆M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝a2＋b2，又圆C：（x－1）2＋y2＝4，
两式相减，得（2a－2）x＋2by－3＝0，即为直线AB的方程，
设直线AB上的点为（m，n），则（2a－2）m＋2bn－3＝0，整理得2ma＋2nb－（2m＋3）＝0，
又M是圆C：（x－1）2＋y2＝4上的动点，则（a－1）2＋b2＝4，
以a，b为主元，则2ma＋2nb－（2m＋3）＝0表示直线，（a－1）2＋b2＝4表示以（1，0）为圆心，2为半径的圆，
由题意，二者有公共点，则（1，0）到直线2ma＋2nb－（2m＋3）＝0的距离d≤2，
即 eq \f(|2m＋0－（2m＋3）|,\r(4m2＋4n2))≤2，得m2＋n2≥ eq \f(9,16)，
对于A，（ eq \f(3,4)）2＋（ eq \f(1,2)）2＝ eq \f(13,16)> eq \f(9,16)，
对于B，（ eq \f(3,2)）2＋（1）2＝ eq \f(13,4)> eq \f(9,16)，
对于C，（ eq \f(1,2)）2＋（ eq \f(1,2)）2＝ eq \f(1,2)< eq \f(9,16)，
对于D，（ eq \f(1,2)）2＋（ eq \f(\r(2),2)）2＝ eq \f(3,4)> eq \f(9,16)，
则各选项的点中，直线AB一定不经过（ eq \f(1,2)， eq \f(1,2)）.故选C.
答案：C
直线l1
y＝k1x＋b1
A1x＋B1y＋C1＝0
直线l2
y＝k2x＋b2
A2x＋B2y＋C2＝0
直线平行或重合的充要条件
k1＝k2
A1B2－A2B1＝0
直线垂直的充要条件
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
直接法
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．
待定
系数法
①设出所求直线方程的恰当形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式或一般式）；
②由条件建立所求参数的方程（组）；
③解这个方程（组）求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程．
关系法
根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋ eq \f(l2,4)（其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离）
公式法
根据公式l＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|求解（其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标， k为直线的斜率）
距离法
联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解