统考版2024高考数学二轮专题复习第三篇关键能力为重专题七鸭系列第2讲不等式选讲文

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习第三篇关键能力为重专题七鸭系列第2讲不等式选讲文，共7页。
算术—几何平均不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b为正数，则 eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a，b，c为正数，则 eq \f(a＋b＋c,3)≥ eq \r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则 eq \f(a1＋a2＋…＋an,n)≥ eq \r(n,a1a2…an)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
例 1[2022·全国乙卷]已知a，b，c都是正数，且a eq \s\up6(\f(3,2))＋b eq \s\up6(\f(3,2))＋c eq \s\up6(\f(3,2))＝1，证明：
(1)abc≤ eq \f(1,9)；
(2) eq \f(a,b＋c)＋ eq \f(b,a＋c)＋ eq \f(c,a＋b)≤ eq \f(1,2\r(abc)).
归纳总结
证明不等式的常用方法
不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等．
(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法．
(2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的．
(3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出矛盾．
对点训练
[2022·全国甲卷]已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明：
(1)a＋b＋2c≤3；
(2)若b＝2c，则 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,c)≥3.
考点二 含绝对值不等式的解法——掀起“绝对值”的盖头
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法
(1)c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可．
(2)c