2023-2024学年吉林省长春市北湖学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春市北湖学校九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共24分）

1.  下列方程中，属于一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  生物学家发现了一种病毒，其长度约为，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，在▱中，，，的平分线交于点，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  年年无锡居民人均可支配收入由万元增长至万元，设人均可支配收入的平均增长率为，下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，数轴上，，、两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知点，，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D. 或

二、填空题（本题共6小题，共18分）

9.  计算： ______ ．

10.  一组数据：，，，，，，，，，，它们的平均数为______，众数为______，中位数为______．

11.  如图，在中，，中线、相交于点若，，则的长为______ ．

12.  若关于的方程会产生增根，则的值为______ ．

13.  若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______．

14.  如图，已知四边形是边长为的正方形，点是边的中点，连接，将沿翻折得到，连接，则的长为______ ．

三、解答题（本题共10小题，共78分）

15.  先化简，再求值，其中．

16.  解方程：．

17.  某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔，已知毛笔单价是钢笔单价的倍，购买钢笔用了元，购买毛笔用了元，购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多支，求钢笔的单价．

18.  为迎接年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有名学生进入综合素质展示环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了名学生的综合素质展示成绩百分制，并对数据成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
甲学校学生成绩的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，，．

甲学校学生成绩在这一组是：
                  
               
乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率分及以上为优秀如下：

根据以上信息，回答下列问题：
甲学校学生，乙学校学生的综合素质展示成绩同为分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是______填“”或“”；
根据上述信息，推断______学校综合素质展示的水平更高，理由为______至少从两个不同的角度说明推断的合理性．
若每所学校综合素质展示的前名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到______分的学生才可以入选．

19.  如图，在▱中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
求证：；
若，，求的长．

20.  图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画
出相应图形．
在网格中画出中点，中点为．
在网格中画出，使为钝角等腰三角形，点在格点上．
在网格中画出以、、、为顶点的四边形，使这个四边形为中心对称图形，且，点、点均在格点上．

 

21.  甲、乙两个工程队修筑一条公路，甲队从南向北方向修筑，乙队从北向南方向修筑甲、乙两队同时开工，乙队施工几天后因另有任务提前离开，甲队继续修筑公路当乙队任务完成后，因赶时间，乙队回来继续修筑公路，直到公路修通在修路过程中，甲、乙两队的工作效率保持不变设甲、乙两队修筑公路的长度为米，施工时间为天，与之间的函数图象如图所示．
甲队每天修筑公路______ 米，乙队每天修筑公路______ 米；
求乙队离开的天数；
求乙队回来后修筑公路的长度与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
求这条公路的总长度．

22.  综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，且、、三点共线．
如图，若为边的中点，，点与点重合，则 ______ ， ______ ；
如图，若为的中点，平分，，，求的度数及的长．
，，若为的三等分点，请直接写出的长．

 

23.  如图，在中，，边上高为，点为边的中点，点从点出发，沿折线向点运动，在、上的速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度当点不与点重合时，连接，以、为邻边作▱设点的运动时间为秒线段的长为______ ；
用含的代数式表示线段的长；
当点在内部时，求的取值范围；
当▱是菱形时，求的值；
作点关于直线的对称点，连接，当时，直接写出的值．

24.  如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，点是直线上一动点，且点不与点重合，连接、设点的纵坐标为，的面积为．
点的坐标为______ ；
求的值；
求与之间的函数关系式；
当时，以点为直角顶点作等腰直角，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程含有两个未知数，选项A不符合题意；
B.原方程可整理得，
方程是一元一次方程，
选项B不符合题意；
C.方程是一元二次方程，选项C符合题意；
D.方程的未知数的最高次数是，选项D不符合题意．
故选：．
利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

3.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C符合题意；
，
故D不符合题意，
故选：．
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变，分别判断即可．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
，
．
故选：．
根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般．

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：．
故选：．
根据年的人均可支配收入年平均增长率年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：设点所表示的数是，
数轴上，、两点对应的实数分别是和，
，
，点表示的实数是，点在点的右侧，
，
．
点所对应的实数是．
故选：．
求出的距离，再求出点所表示的数．
本题考查用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离．掌握数轴上两点间的距离是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：连接，
由尺规作图过程可知，，为的平分线，
，
，
≌，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
设，
则，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
长为．
故选：．
连接，由尺规作图过程可知，，为的平分线，可证明≌，则，由矩形的性质及勾股定理可得，，设，则，在中，由勾股定理可列方程为，解方程即可．
本题考查作图基本作图、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

8.【答案】 

【解析】解：，
在各个象限内，随的增大而减小，
，，
点，在同一象限内，
或，即或，
故选：．
由反比例函数性质：当时，在各个象限内随的增大而减小，即可得出答案．
本题考查了反比例函数的图象和性质，运用反比例函数性质：当时，在各个象限内随的增大而减小是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案是：．
首先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可求解．
主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行二次根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．

10.【答案】     

【解析】解：平均数为；
众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是；
将这组数据从小到大的顺序排列，，，，，，，，，处于中间位置的数是，，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故填；；．
根据平均数、众数与中位数的定义求解．所有数据的和除以得平均数；将这组数据从小到大的顺序排列，第、个数的平均数为中位数；出现的次数最多为众数．
本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

11.【答案】 

【解析】解：为的中点，
，
，
连接，
则是的中位线，
，
，，
∽
，
．
故答案为：．

先运用勾股定理求出，再根据三角形的中位线得到，进而得到∽解题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】【解析】
解：方程两边都乘，得
，
原方程有增根，
最简公分母，即增根是，
把代入整式方程，得，
故答案为：．

【分析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．原方程有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
根据最简公分母确定增根的值；
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得未知字母的值．

13.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零．
根据根的判别式即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：，
，
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，过点作于点，
正方形的边长为，是边的中点，
，
在中，根据勾股定理得，
由翻折可知：垂直平分，
，
，
，
，
由折叠可得，，
是直角三角形，
，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
连接，，过点作于点，根据勾股定理可得长，再根据垂直平分，利用三角形面积求出，然后证明∽，得，求出，，再根据勾股定理求出的长即可．
本题考查了翻折变换，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到∽．

15.【答案】解：原式．
当时，原式． 

【解析】根据分式的加减计算括号内的，然后根据分式的除法进行计算，最后将代入进行计算即可求解．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．

16.【答案】解：

，
则，
解得：，． 

【解析】此题主要考查了配方法解方程，正确配方是解题关键．
直接利用配方法解方程的步骤解方程得出答案．

17.【答案】解：设钢笔的单价为元支，则毛笔的单价为元支，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：钢笔的单价为元支． 

【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设钢笔的单价为元支，则毛笔的单价为元支，根据数量总价单价，结合购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多支，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

18.【答案】解：甲学校学生成绩的中位数为，
乙学校学生成绩的中位数为，
故这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是，
故答案为：；
根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，理由为：与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；甲校的优秀率为，乙校的优秀率为，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多；
故答案为：乙学校；与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多；
，
故甲学校分数至少达到分的学生才可以入选，
故答案为：． 

【解析】本题考查频数分布直方图，中位数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
求得甲校的中位数即可得到结论；
根据频数分布直方图和表中信息即可得到结论；
求得每所学校被取了名学生的综合素质展示的前名学生将被选入志愿服务团队，于是得到结论．

19.【答案】证明：，
，
▱是菱形，
；
解：由可知，▱是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
即的长为． 

【解析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
证，得▱是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；
由菱形的性质得，，再由勾股定理得，然后证∽，得，即可得出结论．

20.【答案】解：如图：

如图，点即为所求；
如图，即为所求；
如图，四边形即为所求． 

【解析】作的垂直平分线与的交点即为所求；
根据网格线的特点作图；
作，再以，为邻边作平行四边形即可．
本题考查了作图的应用与设计，掌握线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．

21.【答案】   

【解析】解：甲：天米，
乙：天米．
故答案为：，；
天；
米，
设乙队的函数解析式为，
把，和，代入，
得，
解之得，
；
当时，
米，
米．
用甲队修米路除以用的时间天即可求出甲队每天修筑公路的长度，用甲队修米路除以用的时间天即可求出乙队每天修筑公路的长度；
用甲修米用的天数减去，即可求出乙队离开的天数；
设乙队的函数解析式为，用待定系数法求解；
把代入中求得的解析式中，求出乙队修的长度，再把甲、乙修的长度相加即可．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，以及待定系数法确定函数关系式，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图是解的关键；熟练掌握待定系数法是解的关键；掌握一次函数图象上点的坐标特征是解的关键

22.【答案】   

【解析】解：，四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
为的中点，
，
将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，
，，
设，则，
，
，
，
，
．
将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，
，，
，
．
故答案为：；；
如图，延长，交于点，

平分，
．
由折叠的性质可知，，．
，
．
，，
和均为等腰直角三角形，
，，
，
即，
解得．
或．
分两种情况：当时，
如图，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，，

由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，，，
，
解得，
．
当时，
如图，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，，

由折叠的性质可知，，，
，
，
．
设，，，
，
，
解得，
．
综上可知，的长为或．
证明四边形是正方形，由正方形的性质得出，，由勾股定理及折叠的性质可得出答案；
延长，交于点，证明和均为等腰直角三角形，得出，，则可求出的长，由折叠的性质得出，，则可得出答案；
分两种情况：当时，如图，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，，证明≌，由全等三角形的性质得出，设，，，得出，则可得出答案；当时，如图，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，，设，，，由勾股定理得出，求出则可得出答案．
本题是几何变换综合题，主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

23.【答案】 

【解析】解：如图中，过点作于点．

，，
，
，
，
故答案为：；

当时，．
当时，；

如图中，当时，，此时点落在上，
观察图象可知，当时，点在内部．
如图中，当时，，此时点落在上，

观察图象可知当时，点在内部．
综上所述，当或时，点在内部；

如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点．

在中，，，，
，
，
．

如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点．

在中，，，，

，
．
综上所述，满足条件的的值为或．

如图中，当点在上时，过点作于点．

，
，
，
，
，
．
如图中，当点在上时，过点作于点．

同法可证，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
如图中，过点作于点解直角三角形求出，，再利用勾股定理求出即可；
分两种情形：当时，当时，分别求解即可；
分别判断出点落在，上的时间，结合图形判断可得结论；
分两种情形：如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点分别构建方程求解即可；
分两种情形：如图中，当点在上时，过作于点如图中，当点在上时，过点作于点分别构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

24.【答案】 

【解析】解：由，令得，，
；
故答案为：；
点在一次函数的图象上，
，
解得：；
由知，，
直线的解析式为，
由，
解得：，
，
，
，
，
，
，
点不与点重合，
，
；
当时，即，
解得：或，
或，
当点的坐标为时，如图，过点作轴于点，

此时，
为等腰直角三角形，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
；
为等腰直角三角形，
，
，
，
；
当点的坐标为时，如图，过点作，交于点，过点作轴于点，

此时，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
同理可证：≌，
，，
．
综上，满足条件的点坐标为或或或．
令中的，求解即可；
将点的坐标代入以此函数解析式中即可求出的值；
由可得直线的解析式为，进而求得点，于是，则；
利用中的结论可求得或，分两种情况讨论：当点的坐标为时，过点作轴于点，易得四边形为矩形，为等腰直角三角，为等腰直角三角形，以此即可得出，的坐标；当点的坐标为时，过点作，交于点，过点作轴于点，易证≌，得到，，≌，得到，，以此即可得到，的坐标．
本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质，解题关键是学会利用分类讨论和数形结合思想解决问题．