+河北省承德市平泉市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份+河北省承德市平泉市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共32页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．方程x2＝3x的解是（ ）
A．x＝3B．x＝0
C．x1＝3，x2＝0D．x1＝﹣3，x2＝0
3．抛物线y＝（x+4）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（4，﹣1）D．（4，1）
4．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
5．如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y＝（k＞0）的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y＝的图象上的点是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
6．已知x＝﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣5＝0的一个根，且点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1和y2满足（ ）
A．y1＞y2＞0B．0＞y1＞y2C．y2＞y1＞0D．0＞y2＞y1
7．如图，量角器外缘上有A，B两点，它们所表示的读数分别是80°、50°，则∠ACB应为（ ）
A．25°B．15°C．30°D．50°
8．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转α，得到△EBD，若点E恰好在AC的延长线上，则∠CED的度数为（ ）
A．αB．2αC．90°﹣αD．180°﹣α
9．如图，将⊙O的圆周12等分，圆内接矩形ABCD的面积为20，则圆内接正六边形面积为（ ）
A．25B．30C．35D．40
10．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，并有以下结论：①函数图象与y轴正半轴相交；②当x＞0时，y随x的增大而减小．则坐标系的原点O可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
11．若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0
12．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
A．B．C．πD．
13．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
14．已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（4，﹣2）
B．图象分别在二、四象限
C．y≤1时，x≤﹣8或x＞0
D．在每个象限内y随x增大而减小
15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB，，则k的值为（ ）
A．3B．3C．4D．6
16．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
二、填空题（本题共10分.17题每空2分，18、19第一空2分、第二空1分）
17．如图9矩形ABCD中A（2，3），C（a，1），BC∥x轴．
（1）若反比例函数图象的一支恰好经过A、C两点，a＝ ．
（2）若反比例函数图象的一支与矩形ABCD有交点，则k的取值范围是 ．
18．点P为⊙O外一点，它到⊙O最大距离与最小距离为18、8，PA与⊙O相切于点A，则
（1）⊙O的半径为 ；
（2）切线长PA为 ．
19．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n﹣3，y1），B（n+1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则
（1）抛物线对称轴为 ；
（2）n的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．如图，数轴上点A代表的数为4x﹣3，点B代表的数为x2+2x．
（1）若AB＝6，求x的值．
（2）A、B之间距离能否为1，并说明理由．
21．嘉嘉和琪琪周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图．嘉嘉和琪琪分别从两入口进入参观．
（1）参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是 ．
（2）参观结束后，通过画树状图或列表求嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率．
22．如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
①将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②将①中的△A1B1C1绕点A1逆时针旋转90°，得到△A1B2C2，画出△A1B2C2；
③求出AB在①②过程中所扫过的面积．（结果保留π）
23．抛物线y1顶点（3，2），与x轴交于A、B两点，且A（1，0）．
（1）求y1的解析式及A、B间距离．
（2）将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、D两点，且CD＝8．求出新坐标系下抛物线y2的解析式及n值．
24．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，把AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到A′B，连接AA′，过B点作BE⊥AA′于E点，交矩形ABCD边于F点，连接A′F．
（1）求证：△BAF≌△BA′F；
（2）①当B、A′、D共线时，则AF＝ ；
②当C、A′、F共线时，则CF＝ ；
（3）若点A′到直线BC的距离为3，求点A所经过的路径长．
25．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，AB＝1.5m，DA＝2m，若在y轴P（0，c）处吊球，羽毛球的飞行路线C1：y＝a（x﹣1）2+3.2．小林分析此时羽毛球恰好落在点D处；若在y轴E（0，c﹣1）处吊球，羽毛球的飞行路线C2：y＝﹣x+c﹣1．
（1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）小林分析，若羽毛球沿路线C2飞行落在AD之间，求符合条件的n的整数值．
26．某水槽的截面是以AB为直径的半圆O，放置于桌面GH上，水槽中装有一些液体（图中阴影部分），其中液面截线MN∥GH，已知液面截线MN宽48cm，液体的最大深度为18cm．
（1）求直径AB的长；
（2）如图1，在同一截面内，将水槽（半圆O）在桌面MN上向右缓慢摆动，始终保持半圆O与GH相切，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．
①在滚动中圆心O到桌面GH的距离 （填“改变”或“不变”）；
②求此时长及操作后水面高度下降了多少；
③求圆心O向右移动的距离．
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1～6小题各3分，7～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：B是轴对称图形又是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．方程x2＝3x的解是（ ）
A．x＝3B．x＝0
C．x1＝3，x2＝0D．x1＝﹣3，x2＝0
【分析】先移项得到x2﹣3x＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
3．抛物线y＝（x+4）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（4，﹣1）D．（4，1）
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
解：∵y＝（x+4）2﹣1为抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（﹣4，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
4．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
解：①“水中捞月”是不可能事件，符合题意；
②“守株待兔”是随机事件，不合题意；
③“百步穿杨”，是随机事件，不合题意；
④“瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y＝（k＞0）的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y＝的图象上的点是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的图象进行判断即可．
解：如图，反比例函数y＝的图象是双曲线，若点在反比例函数的图象上，则其纵横坐标的积为常数k，即xy＝k，
通过观察发现，点P、Q、N可能在图象上，点M不在图象上，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象以及图象上点的坐标特征是正确判断的前提．
6．已知x＝﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣5＝0的一个根，且点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1和y2满足（ ）
A．y1＞y2＞0B．0＞y1＞y2C．y2＞y1＞0D．0＞y2＞y1
【分析】先利用方程的解求得a的值，即可判断反比例函数的图象所在的象限，然后利用反比例函数的性质解决问题即可．
解：∵x＝﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣5＝0的一个根，
∴2×（﹣1）2﹣a﹣5＝0，
∴a＝﹣3，
∴a＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，
∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，
∴点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在第二象限，
∵x1＞x2，
∴y1＞y2＞0，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解，反比例函数的图象上的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
7．如图，量角器外缘上有A，B两点，它们所表示的读数分别是80°、50°，则∠ACB应为（ ）
A．25°B．15°C．30°D．50°
【分析】连接OA、OB，根据量角器的读数，可得出∠AOB的度数；根据圆周角定理即可求出∠ACB的度数．
解：设量角器的圆心是O，连接OA、OB，
则∠AOB＝80°﹣50°＝30°，
由圆周角定理，得∠ACB＝30°÷2＝15°．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理的应用能力．
8．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转α，得到△EBD，若点E恰好在AC的延长线上，则∠CED的度数为（ ）
A．αB．2αC．90°﹣αD．180°﹣α
【分析】由将△ABC绕点B顺时针旋转α，得到△EBD，可知∠ABE＝α，AB＝EB，∠A＝∠BED，即可得∠A＝∠AEB＝＝90°﹣α，故∠AED＝∠AEB+∠BED＝180°﹣α．
解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转α，得到△EBD，
∴∠ABE＝α，AB＝EB，∠A＝∠BED，
∴∠A＝∠AEB＝＝90°﹣α，
∴∠BED＝∠A＝90°﹣α，
∴∠AED＝∠AEB+∠BED＝90°﹣α+90°﹣α＝180°﹣α，
故选：D．
【点评】本题考查三角形的旋转问题，涉及等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握旋转的性质．
9．如图，将⊙O的圆周12等分，圆内接矩形ABCD的面积为20，则圆内接正六边形面积为（ ）
A．25B．30C．35D．40
【分析】连接AC，BD交于O，根据矩形的性质得到∠DAB＝∠ABC＝90°，求得∠AOB＝2×＝60°，推出△AOB是等边三角形，得到边AB即为圆内接正六边形的边，于是得到结论．
解：连接AC，BD交于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴AC，BD是⊙O的直径，
∵将⊙O的圆周12等分，
∴∠AOB＝2×＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴边AB即为圆内接正六边形的边，
∵圆内接矩形ABCD的面积为20，
∴△AOB的面积＝×20＝5，
∴圆内接正六边形面积为6×5＝30，
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形与圆，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
10．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，并有以下结论：①函数图象与y轴正半轴相交；②当x＞0时，y随x的增大而减小．则坐标系的原点O可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【分析】由条件①可确定y轴在抛物线与x轴的两个交点之间，由条件②可确定y轴在顶点左侧，进而求解．
解：∵函数图象与y轴正半轴相交，
∴y轴在抛物线与x轴的两个交点之间，
∴点B，C可能是原点，
∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴y轴在抛物线顶点右侧，
∴点C可能是原点．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
11．若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0
【分析】由一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，a≠0，继而可求得a的范围．
解：∵一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1且a≠0，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0．
12．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
A．B．C．πD．
【分析】利用扇形的面积公式，求出扇形的半径，圆心角即可．
解：由题意，扇形的半径AD＝＝，∠EAF＝45°，
∴扇形AEF的面积＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出阴影部分的面积，根据概率是即可求出概率．
解：设16个相同的小正方形的边长为a，则4个相同的大正方形的边长为1.5a，
∴点P落在阴影部分的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题考查几何概率的求法，注意结合概率的性质进行计算求解．用到的知识点为：概率＝阴影面积与整个图形面积之比．
14．已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（4，﹣2）
B．图象分别在二、四象限
C．y≤1时，x≤﹣8或x＞0
D．在每个象限内y随x增大而减小
【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项进行分析判断即可．
解：A、4×（﹣2）＝﹣8，图象经过点（4，﹣2），正确，不符合题意；
B、k＝﹣8＜0，图象分布在第二、四象限，正确，不符合题意；
C、反比例函数，y≤1时，x≤﹣8或x＞0，正确，不符合题意；
D、反比例函数，在每个象限内y随x增大而增大，不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB，，则k的值为（ ）
A．3B．3C．4D．6
【分析】依据题意，可得A（k，1），B（1，k），再由AB＝3，从而2（k﹣1）2＝18，进而得解．
解：由题意，得A（k，1），B（1，k）．
∵AB＝3，
∴由两点距离公式可得：2（k﹣1）2＝18．
∴（k﹣1）2＝9．
∴k＝﹣2或4．
又k＞0，
∴k＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要熟练掌握并理解．
16．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
【分析】令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可．
解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+k，
∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），
∴二次函数的对称轴是：直线，
∵a＞0，
∴y有最小值，
当时，y最小，
即，
当k＝2时，函数y的最小值为；
当k＝4时，函数y的最小值为，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键．
二、填空题（本题共10分.17题每空2分，18、19第一空2分、第二空1分）
17．如图9矩形ABCD中A（2，3），C（a，1），BC∥x轴．
（1）若反比例函数图象的一支恰好经过A、C两点，a＝ 6 ．
（2）若反比例函数图象的一支与矩形ABCD有交点，则k的取值范围是 2≤k≤18 ．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得2×3＝a×1，解得a＝6；
（2）根据条件，分别求出点D（6，3），B（2，1），根据反比例函数图象和性质可得2≤k≤18．
【解答】解；（1）∵反比例函数图象的一支恰好经过A、C两点，
∴2×3＝a×1，解得a＝6，
故答案为：6．
（2）∵A（2，3），C（6，1），BC∥x轴，ABCD是矩形，
∴D（6，3），B（2，1），
∵反比例函数图象的一支与矩形ABCD有交点，
∴2≤k≤18．
故答案为：2≤k≤18．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握矩形性质是解答本题的关键．
18．点P为⊙O外一点，它到⊙O最大距离与最小距离为18、8，PA与⊙O相切于点A，则
（1）⊙O的半径为 5 ；
（2）切线长PA为 12 ．
【分析】（1）设⊙O的半径为R，根据圆外一点与圆的关系建立方程求解即可得出答案；
（2）连接OA，由切线的性质可得∠PAO＝90°，运用勾股定理即可求得答案．
解：（1）设⊙O的半径为R，
由题意得：8+2R＝18，
解得：R＝5，
故答案为：5；
（2）如图，连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO＝90°，OA＝5，OP＝5+8＝13，
∴PA＝＝＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用切线的性质和勾股定理解决问题．
19．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n﹣3，y1），B（n+1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则
（1）抛物线对称轴为 1 ；
（2）n的取值范围是 ﹣1＜n＜0． ．
【分析】（1）根据二次函数的性质即可解答；
（2）由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，开口向上，再分点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧和点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧两种情况求解即可．
解：（1）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，
故答案为：1；
（2）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y1＜y2，
∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：，
不等式组无解；
若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：，
解得：﹣1＜n＜0，
∴n的取值范围为：﹣1＜n＜0．
故答案为：﹣1＜n＜0．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标的特征，能根据题意正确列出不等式组是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．如图，数轴上点A代表的数为4x﹣3，点B代表的数为x2+2x．
（1）若AB＝6，求x的值．
（2）A、B之间距离能否为1，并说明理由．
【分析】（1）先根据数轴上两点间的距离公式求AB，再根据AB＝6，列出关于x的方程，解方程即可；
（2）先求出AB，再假设AB＝1，列出关于x的方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况，从而判断即可．
解：（1）∵点A代表的数为4x﹣3，点B代表的数为x2+2x，AB＝6，
∴x2+2x﹣（4x﹣3）＝6，
x2+2x﹣4x+3＝6，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
解得：x＝3或﹣1；
（2）不能为1，理由如下：
∵若点A代表的数为4x﹣3，点B代表的数为x2+2x，AB＝1，
则x2+2x﹣（4x﹣3）＝1，
x2+2x﹣4x+3＝1，
x2﹣2x+2＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝2，
∴b2﹣4ac
＝22﹣4×1×2
＝4﹣8
＝﹣4＜0，
∴原方程无解，
∴A，B之间的距离不能为1．
【点评】本题主要考查了数轴和有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式．
21．嘉嘉和琪琪周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图．嘉嘉和琪琪分别从两入口进入参观．
（1）参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是 ．
（2）参观结束后，通过画树状图或列表求嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）由图可知，有C出口、D出口、E出口，共3个出口，
∴参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果有3种，
∴嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
①将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②将①中的△A1B1C1绕点A1逆时针旋转90°，得到△A1B2C2，画出△A1B2C2；
③求出AB在①②过程中所扫过的面积．（结果保留π）
【分析】①根据平移的性质作图即可．
②根据旋转的性质作图即可．
③利用勾股定理求出A1B1的长，进而可利用扇形面积公式求出扇形A1B1B2的面积，再根据平行四边形的面积公式求出平行四边形ABB1A1面积，与扇形A1B1B2的面积相加即可．
解：①如图，△A1B1C1即为所求．
②如图，△A1B2C2即为所求．
③由勾股定理得A1B1＝＝，
∴AB在①②过程中所扫过的面积为＝4×4+＝16+5π．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换、扇形面积的计算，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键．
23．抛物线y1顶点（3，2），与x轴交于A、B两点，且A（1，0）．
（1）求y1的解析式及A、B间距离．
（2）将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、D两点，且CD＝8．求出新坐标系下抛物线y2的解析式及n值．
【分析】（1）由待定系数法求出函数的表达式，即可求解；
（2）由题意得，y2＝﹣（x﹣3）2+2+n，求出x＝3±，则CD＝2＝8，即可求解．
解：（1）函数的表达式为：y1＝a（x﹣3）2+2，
将点A的坐标代入上式得：0＝4a+2，
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+2，
根据函数的对称性，点B（5，0），
则AB＝5﹣1＝4；
（2）由题意得，y2＝﹣（x﹣3）2+2+n，
令y2＝﹣（x﹣3）2+2+n＝0，
则x＝3±，
则CD＝2＝8，
解得：n＝6，
则y2＝﹣（x﹣3）2+8．
【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，熟悉二次函数的性质和平移的特点是解题的关键．
24．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，把AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到A′B，连接AA′，过B点作BE⊥AA′于E点，交矩形ABCD边于F点，连接A′F．
（1）求证：△BAF≌△BA′F；
（2）①当B、A′、D共线时，则AF＝ 3 ；
②当C、A′、F共线时，则CF＝ 8 ；
（3）若点A′到直线BC的距离为3，求点A所经过的路径长．
【分析】（1）由旋转得AB＝A′B，由BE⊥AA′，根据等腰三角形的“三线合一”得∠ABF＝∠A′BF，而BF＝BF，即可根据“SAS”证明△BAF≌△BA′F．
（2）①当B、A′、D共线时，由勾股定理得BD＝＝10，由旋转得A′B＝AB＝6，可求得A′D＝BD﹣A′B＝4，∠DA′F＝90°，于是得AF2+42＝（8﹣AF）2，求得AF＝3，于是得到问题的答案．
②当C、A′、F共线时，由AD∥BC，得∠AFB＝∠CBF，由全等三角形的性质得∠AFB＝∠A′FB，所以∠CBF＝∠A′FB，则CF＝BC＝AD＝8，于是得到问题的答案．
（3）取AB的中点H，作HG⊥AB交CD于点G，则BH＝AH＝AB＝3，HG∥BC，所以当点A′落在HG上时，点A′到直线BC的距离为3，此时A′A＝A′B＝AB，则∠ABA′＝60°，可知点A在以点B为圆心，以AB长为半径的圆上从点A运动到点A′，由弧长公式求得＝2π，则点A所经过的路径长为2π．
【解答】（1）证明：由旋转得AB＝A′B，
∵BE⊥AA′于E点，交矩形ABCD的边于F点，
∴∠ABF＝∠A′BF，
在△BAF和△BA′F中，
，
∴△BAF≌△BA′F（SAS）．
（2）解：①当B、A′、D共线时，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝10，
由旋转得A′B＝AB＝6，
∵△BAF≌△BA′F，
∴A′F＝AF，∠BA′F＝∠BAF＝90°，
∴A′D＝BD﹣A′B＝10﹣6＝4，∠DA′F＝90°，
∴A′F2+A′D2＝DF2，
∴AF2+42＝（8﹣AF）2，
解得AF＝3，
故答案为：3．
②当C、A′、F共线时，如图2，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵△BAF≌△BA′F，
∴∠AFB＝∠A′FB，
∴∠CBF＝∠A′FB，
∴CF＝BC＝AD＝8，
故答案为：8．
（3）解：如图4，取AB的中点H，作HG⊥AB交CD于点G，则BH＝AH＝AB＝3，
∵∠AHG＝∠ABC＝90°，
∴HG∥BC，
∵BH⊥BC，且BH＝3，
∴两条平行线HG与BC之间的距离为3，
∴直线HG上的点到直线BC的距离为3，
∴当点A′落在HG上时，点A′到直线BC的距离为3，
∵HG垂直平分AB，
∴A′A＝A′B，
∴A′A＝A′B＝AB，
∴△ABA′是等边三角形，
∴∠ABA′＝60°，
∵点A在以点B为圆心，以AB长为半径的圆上从点A运动到点A′，
∴＝＝2π，
∴点A所经过的路径长为2π．
【点评】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、两条平行线之间的距离处处相等、等边三角形的判定与性质、弧长公式等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
25．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，AB＝1.5m，DA＝2m，若在y轴P（0，c）处吊球，羽毛球的飞行路线C1：y＝a（x﹣1）2+3.2．小林分析此时羽毛球恰好落在点D处；若在y轴E（0，c﹣1）处吊球，羽毛球的飞行路线C2：y＝﹣x+c﹣1．
（1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）小林分析，若羽毛球沿路线C2飞行落在AD之间，求符合条件的n的整数值．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，求出a和c，由函数表达式求出顶点坐标；
（2）将点A、D的坐标分别代入C2的函数表达式，求出n即可．
解：（1）由题意得：点A、D的坐标分别为：（3，0）、（5，0），
将点D的坐标代入函数C1的表达式得：0＝a（5﹣1）2+3.2．
解得：a＝﹣0.2，
则C1的表达式为：y＝﹣0.2（x﹣1）2+3.2．
当x＝0时，y＝﹣0.2（x﹣1）2+3.2＝3＝c，
则a＝﹣0.2，c＝3，C1的最高点为：（1，3.2）；
（2）由（1）得：c﹣1＝2，
则C2的函数表达式为：y＝﹣x2+nx+2，
∵点A、D的坐标分别为：（3，0）、（5，0），
将点A、D的坐标分别代入C2的函数表达式得：
0＝﹣×9+n×3+2，解得：n＝﹣，
y＝﹣×25+n×5+2，解得：n＝，
则符合条件的n的整数值为﹣1或0或1或2．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，理解题意，确定函数表达式是解题的关键．
26．某水槽的截面是以AB为直径的半圆O，放置于桌面GH上，水槽中装有一些液体（图中阴影部分），其中液面截线MN∥GH，已知液面截线MN宽48cm，液体的最大深度为18cm．
（1）求直径AB的长；
（2）如图1，在同一截面内，将水槽（半圆O）在桌面MN上向右缓慢摆动，始终保持半圆O与GH相切，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．
①在滚动中圆心O到桌面GH的距离 不变 （填“改变”或“不变”）；
②求此时长及操作后水面高度下降了多少；
③求圆心O向右移动的距离．
【分析】（1）设半圆O与桌面GH相切于点F，连接OF交MN于P，利用垂径定理得出MP＝PN＝24cm，由勾股定理计算即可得出答案；
（2）①由切线的性质证明OE＝圆的半径，可得在滚动中圆心O到桌面GH的距离不变；
②连接OM，利用圆周角定理得∠AOM＝2∠ANM＝60°，利用弧长公式即可求解；根据含30°角的直角三角形的性质求出OD＝OB＝，可得DE＝，即可得操作后水面高度下降了多少；
③画出图形，可得圆心O向右移动的距离为O′O，证明O′O＝EF，求出EF的长即可．
解：（1）设半圆O与桌面GH相切于点F，连接OM，
∴OF⊥GH，
∵MN∥GH，
∵OF⊥MN，
∴MP＝PN＝24cm，
设半圆O的半径为r，
由题意得PF＝18cm．
∴OP＝r﹣18，
在Rt△OMP中，OM2＝OP2+MP2，
∴r2＝（r﹣18）2+242，解得r＝25，
∴半圆O的直径AB的长为50cm；
（2）①由图1得，圆心O到桌面GH的距离为半圆O的半径，
由图2得，圆心O到桌面GH的距离为半圆O的半径OE，
∴在滚动中圆心O到桌面GH的距离不变，
故答案为：不变；
②连接OM，
∵∠ANM＝30°，
∴∠AOM＝2∠ANM＝60°，
∴长为＝，
∵GH与半圆的切点为E，
∴OE⊥GH，
∵MN∥GH，
∴OE⊥MN于点D，
∵∠ANM＝30°，
∴OD＝OB＝，
∴DE＝，
∴操作后水面高度下降了18﹣＝（cm），
答：此时长为，操作后水面高度下降了cm；
③如图，可得圆心O向右移动的距离为O′O，证明O′O＝EF，求出EF的长即可．
∵O′F⊥GH，OE⊥GH，
∴O′F＝GH，O′F∥GH，
∴O′FEO是矩形，
∴O′O＝EF，
由旋转得∠FOB＝∠FO′B＝90°，
∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°，
∴∠EOB＝60°，
∴∠EOF＝30°，
∵OE＝25，
∴EF＝＝，
∴圆心O向右移动的距离为cm．
【点评】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，直角三角形的性质，圆的切线的性质，弧长公式和解直角三角形的知识，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
C
D
E
C
（C，C）
（C，D）
（C，E）
D
（D，C）
（D，D）
（D，E）
E
（E，C）
（E，D）
（E，E）