浙江省金华市第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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1. 空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出B点坐标，然后直接用距离公式计算即可.
【详解】由点是点在坐标平面内的射影可得，
则.
故选：A.
2. 椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】令椭圆C的右焦点，由已知条件可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.
【详解】令椭圆C的右焦点，依题意，线段与互相平分，于是得四边形为平行四边形，
因此，而椭圆：的长半轴长，
所以.
故选：D
3. 等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. 8C. 1或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的前项和公式及等比数列通项公式即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，则
因为，所以，
即，解得或，
所以或.
故选：C.
4. 攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.
【详解】轴截面如图，其中，，所以，
所以，所以圆锥的侧面积.
故选：B
5. 已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值，
再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.
【详解】由圆：，得圆，半径为，
所以
，
所以点到圆上点的最小距离为.
故选：C.
6. 直线与曲线相切，且与圆相切，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由直线与曲线求出，再由直线与圆相切即可求出
【详解】设直线在曲线上的切点为，
则，解得，故切点坐标为，
将代入直线中，解得，
所以直线方程为，即，
又与圆相切，
则，
故选：B
7. 在数列中，，若，，则n的值为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，利用累加法可得，结合即可求出n的值.
【详解】由，得，
所以，
所以，又，
所以，又满足，所以
由，解得.
故选：B
8. 已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，为坐标原点，以为直径的圆交的一条渐近线于、两点，以为直径的圆与轴交于两点，且平分，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.
【详解】由圆的性质可知，，，所以，
因为，所以
又因为平分，所以，
由，得，
所以，即
所以
故选：B
二、多项题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9. 已知点椭圆上一点，椭圆焦点是，则下列说法中正确的是（ ）
A. 椭圆的长轴长是9B. 椭圆焦距是
C. 存在使得D. 三角形的面积的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质逐个判断即可.
【详解】，
所以，
对于A：因为，所以长轴为，A错误；
对于B：因为，所以焦距为，B正确；
对于C：当取到上顶点时此时取到最大值，
此时，，
所以，所以此时为钝角，
所以存在使得，C正确；
对于D：当取到上顶点时此时三角形的面积取到最大值，
此时，D正确，
故选：BCD
10. 等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. 数列是递减数列B.
C. 是中最小项D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得、，结合通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由，得，
解得，因，所以.
A：由，得等差数列为递增数列，故A错误；
B：，故B正确；
C：，
因为，由二次函数的性质可知
当或时，取到最小值，即为中最小项，故C正确；
D：，，
由，得，故D错误.
故选：BC
11. 如图，正方体的棱长为2，分别为的中点．则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与平面垂直
B. 直线与平面平行
C. 三棱锥的体积为
D. 点到平面的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关各点坐标，求出平面的法向量，利用向量的数量积的计算，可判断A,B；根据等体积法可求得三棱锥的体积，可判断C；利用空间距离的向量计算公式，可判断D.
【详解】如图，以D点为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ,
对于A, ,
设平面AEF的法向量为 ，则 ，
可取 ，
而，与不平行，故直线与平面不垂直，故A错；
对于B， , 平面AEF的法向量为,
,不在平面内,
故直线与平面平行，故B正确；
对于C， ,故C正确；
对于D， , 平面AEF的法向量为,,
故点到平面距离为 ，故D正确，
故选：BCD
12. 已知抛物线，点，，过点的直线交抛物线与两点，设，，下列说法正确的有（ ）
A.
B. 的最小值为
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，消去，得，
分别写出，式子，然后逐项验证，对于A直接得出，对于B利用弦长公式
再结合二次函数求最值即可，对于C，直接利用两点间的距离公式计算即可，
对于D，利用即可验证.
【详解】设直线的方程为，则
由，消去整理，得，
因为直线交抛物线与两点，设，，则
所以，，故A正确.
，m=0时等号成立，故B正确
，
同理，可得，则
，故C不正确.
.
,即，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】解决本题的关键就是设出直线的方程为，这样很大程度减小了运算量，
联立直线方程与抛物线，进而利用韦达定理写出交点纵坐标之间的关系，在逐项验证即可.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 直线的倾斜角的是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】因为直线的斜率，设直线的倾斜角为，
则，因为，所以，
故答案为：.
14. 已知函数，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求函数的导数，利用赋值法求出，即可得函数解析式，从而求得的值.
【详解】由于，所以，解得，
所以，则，所以.
故答案为：
15. 九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m连环，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，若数列满足：，且，则解下n（n为偶数）个圆环所需的最少移动次数___________.（用含n的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据通项公式得到，构造出等比数列，进而求出.
【详解】因为n为偶数，当时，，即，又，所以是以为首项，4为公比的等比数列，故，所以，
故答案为：
16. 已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆_______，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求.
【详解】设，则，整理得到，
即.
因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为，
则为的中点，则，故，
解得，
故答案为：，.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列中，，且
（1）求证：数列是等差数列，并求出；
（2）数列前项和为，求．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的定义可证是等差数列，利用等差数列的通项公式可求.
（2）利用错位相减法可求.
【小问1详解】
因为，
是以为首项，为公差的等差数列，
，.
【小问2详解】
，
，
，
.
18. 如图，直三棱柱中，，，是棱的中点，
（1）求异面直线所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点的坐标,求出,利用向量的夹角公式求得答案;
(2)求出平面平面和平面的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案.
【小问1详解】
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
所以，
所以直线所成角的余弦值为；
【小问2详解】
设为平面的一个法向量， ,
则m⋅AD=12x+12y=0m·AB1=x+z=0,∴x+y=0x+z=0 ，
，
同理,
则,
可取平面的一个法向量为，
则,
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为 .
19. 已知椭圆经过点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线的倾斜角为锐角，与圆相切，与椭圆交于、两点，且的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)将点M、N的坐标代入椭圆方程计算，求出a、b的值即可；
(2)设l的方程为：，，根据直线与圆的位置关系可得，直线方程联立椭圆方程并消去y，利用韦达定理表示出，根据弦长公式求出，进而列出关于k的方程，解之即可.
【小问1详解】
椭圆经过点，．
则，解得，
【小问2详解】
设l的方程为：
与圆相切
设点，
∴（1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，
则Δ>0x1+x2=−4km1+2k2x1x2=2m2−21+2k2，
，
，
，
，
，，
，，，
故，
20. 如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中点．
（1）求直线EF与平面SCD所成角的正弦值；
（2）在直线SC上是否存在点M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，M与S重合
【解析】
【分析】（1）分别取AB，BC中点M，N，易证两两互相垂直，以为正交基底，建立空间直角坐标系，先求得平面SCD的一个法向量 ，再由求解；
（2）假设存在点M，使得平面MEF平面SCD，再求得平面MEF的一个法向量，然后由求解.
【小问1详解】
解：分别取AB，BC中点M，N，则，
又平面则两两互相垂直，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
所以，
设平面SCD的一个法向量为 ，
，，
则，
，
直线EF与平面SBC所成角的正弦值为.
【小问2详解】
假设存在点M，使得平面MEF平面SCD，
，
，
设平面MEF的一个法向量 ，
，
令，则 ，
平面MEF平面SCD，
，
，
存在点，此时M与S重合.
21. 已知数列的前项和为，且.
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求使得的最小正整数.
【答案】（1）证明见解析，
（2）4
【解析】
【分析】（1）利用与的关系式化简出，再构造成即可证明为等比数列同时求出通项公式；
（2）化简可得，再通过分组求和可得，判断的单调性即可求出的最小正整数.
【小问1详解】
因为，所以①
当时，，所以；
当时，②
①-②得，即，
则，而，
所以数列构成以1为首项，3为公比的等比数列，
则，所以.
【小问2详解】
，，
的前项和
的前项和
单调递增且，
所以使得最小正整数4.
22. 已知双曲线过点，且的渐近线方程为．
（1）求的方程；
（2）如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．
①求四边形面积的取值范围；
②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意求得，即可得解；
（2）①易知直线，的斜率均存在且不为， 设，的方程为，则的方程为，联立，消元，则，利用韦达定理求得，再根据弦长公式可求得，同理可求得的范围及，再根据整理即可得出答案；
②设直线的方程为，，联立，消元，根据求得的关系，利用韦达定理求得，再利用弦长公式求得，易求得的坐标，即可求出，再根据，为线段的三等分点，可得，结合，可得两个等量关系，从而可得出结论.
【小问1详解】
解：由题意有，则，
将点代入双曲线方程得，
联立解得，
故的方程为；
【小问2详解】
解：①，易知直线，的斜率均存在且不为，
设，
的方程为，则的方程为，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，则，
则，
则，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，解得，
则，
则，
根据对称性可知四边形为菱形，
其面积



，
，∴，∴，
∴，
；
②，假设满足题意的直线存在，
易知直线斜率存在，设直线的方程为，
，
联立，整理得，
则且，
解得且，
由韦达定理有，
则
，
不妨设为直线与渐近线的交点，
联立，解得，
，
同理可得点的坐标为，
则 ，
因为，为线段的三等分点，，
即，
整理得，①
，，
则，即，

，
整理得,②
联立①②得，无解，
故没有满足条件的直线．