浙江省金华市第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省金华市第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：12月27日8:00—10:00；命题：金建军；审核：徐志平
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1. 设集合，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意逐一考查所给选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】分别解出、，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由，得，
由，得，
又，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 下列命题正确的有（ ）
A. 若，，则．
B. 向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上
C.
D. 满足的四边形ABCD是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】利用与任意向量共线判断A，利用共线向量的基线平行或重合判断B，利用向量的线性运算法则判断C，利用平行四边形法则判断D.
【详解】对选项A，当时，与不一定平行，故选项A错误；
对选项B，因为共线向量的基线平行或重合，故选项B错误；
对选项C，因为，所以选项C正确；
对选项D，因为，
所以，
整理可得，即为直角，但是四边形不一定是正方形，故选项D错误.
故选：C.
4. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
5. 函数在区间的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
6. 已知命题p：“，使得”，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】命题p是假命题，则命题为真命题，再利用一元二次方程的判别式求出实数a的取值范围即可.
【详解】若命题p：“，使得”为假，
则命题：“，使得”为真.
所以判别式，解得.
故选：B
7. 纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度约是（ ）
A. 5℃B. 10℃C. 15℃D. 20℃
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，再根据对数的运算性质计算可得；
【详解】解：由题意可知，
整理得，
，所以，，
解得．
空气温度是．
故选：B．
8. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域,然后求出函数的奇偶性和单调性,运用函数的性质解不等式,最后求出结果.
【详解】已知函数,令,解得或,所以函数的定义域为,则其定义域关于原点对称,
又,所以函数为偶函数,当时, ,又及在时都是增函数,所以在时也是增函数,
故解不等式,即,解得即或,综上不等式成立的的取值范围为.
故选:
【点睛】本题是道较为综合的函数题目,考查了函数的单调性和奇偶性,以及解不等式,此类题目看似较难,但解法很固定,一定要能看透题目的本质:研究出函数的奇偶性和单调性,运用函数的奇偶性和单调性最后来解不等式.需要平时对函数的性质题目有一定的积累,多思考,多总结.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 下列函数中最小值为4是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
10. 已知，关丁该函数有下列四个说法，正确的为（ ）
A. 的最小正周期为π；
B. 当，时，的取值范围为；
C. 在上单调递增；
D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正弦型函数的周期、图象与性质，结合换元法以及函数图象变换法则即可判断各选项的对错.
【详解】对于选项A，因为，则的最小正周期为，所以A正确；
对于选项B，令，因为，所以，则，
所以，所以，所以B错误；
对于选项C，令，因为，所以，
则在上单调递增，故在上单调递增，所以C正确；
对于选项D，的图象向左平移个单位长度可以得到
，所以D错误
故选：AC.
11. 已知函数和在上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 方程有且只有6个不同解B. 方程有且只有3个不同的解
C. 方程有且只有5个不同的解D. 方程有且只有4个不同的解
【答案】ACD
【解析】
【分析】令，结合图象可得有3个不同的解，，，不妨设，则可知，，，令，结合图象可得有2个不同的解，，不妨设，则可知，，再数形结合求出复合函数的解的个数.
【详解】A选项，令，结合图象可得有3个不同的解，，，
不妨设，则可知，，，
由图可知有2个不同的解，有2个不同的解，有2个不同的解，
即有6个不同的解，A正确；
B选项，令，结合图象可得有2个不同的解，，
不妨设，则可知，，
由图可知有1个解，有3个不同的解，
即有4个不同的解，B错误；
C选项，令，结合图象可得有3个不同的解，，
且，，，
由图可知有1个解，有3个不同的解，有1个解，
即有5个不同的解，C正确；
D选项，令，结合图象可得有两个不同的解，
不妨设，则可知，，
由图可知有2个不同的解，有2个不同的解，
即有4个不同的解，D正确．
故选：ACD．
12. 已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（ ）
A. B. 为偶函数
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用赋值法即可判断；对于B，利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；对于C，利用换元法结合的奇偶性即可判断；对于D，先推得的一个周期为6，再依次求得，从而利用的周期性即可判断.
【详解】对于A，因为，
令，则，故，则，故A正确；
对于B，因为的定义域为，关于原点对称，
令，则，又不恒为0，故，
所以为奇函数，故B错误；
对于C，因为为偶函数，所以，
令，则，故，
令，则，故，
又为奇函数，故，
所以，即，故C正确；
对于D，由选项C可知，
所以，故的一个周期为6，
因为，所以，
对于，
令，得，则，
令，得，则，
令，得，
令，得，
令，得，
所以，
又，
所以由的周期性可得：
，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于利用赋值法与函数奇偶性的定义推得的奇偶性，再结合题设条件推得为周期函数，从而得解.
三、填空题（木题共4小题，每小题5分，共20分．第16题第1空2分，第2空3分）
13. 设函数， 则等于______．
【答案】##6.5
【解析】
【分析】根据指对函数的运算法则即可求解.
【详解】根据函数可得，
，
所以.
故答案为：.
14. 已知函数在闭区间上的值域为，则的最大值为________.
【答案】3
【解析】
【分析】画出函数图像,分析要使函数在闭区间上的值域为,必有,,或,再根据求的最大值最好是正值,可得, ,即的最大值为.
【详解】
画出函数的图像可知,要使其在闭区间上的值域为,
由于有且仅有,所以,
而,所以有,或,
又∵,的最大值为正值时,,
∴,
所以,当取最小值时,,有最大值.
又∵,
∴的最大值为；
故答案为：3.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和定义域与值域之间的关系,分析双变量的最值时,可先确定正负,再看是否有办法将其中一值取到定值,以此消元.本题为中等题.
15. 设函数在区间上恰有4个，使得，则ω的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质可以得出，解出ω的取值范围即可.
【详解】设因为且，所以，
函数化为，
又因为在区间上恰有4个，使得，
所以在区间上恰有4个，使得，即，
解得或，其中.
结合图象可得
，解得，故ω的取值范围是.
故答案为：
16. 已知向量满足，则的最大值是______，最大值是______．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】综合应用平面向量的数量积和三角函数的知识即可解决.
【详解】设向量的夹角为，，因为，
所以，
故的最大值是3；
同理，所以，
则，因为，所以，故.
因为，所以，故最大值是.
故答案为：3；.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．其中17题10分，18—22题各12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 已知全集，集合，
（1）当时，求;
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合，然后根据集合的交集概念求解出的结果；
（2）根据确定出之间的包含关系，由此列出不等式求解出的取值范围.
【详解】（1）时，，解得或，所以或，
因为，所以，解得，所以，
所以；
（2）由得或，又或
由可知，所以，
即，所以的取值范围是.
【点睛】结论点睛：根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系：
（1）若，则有；
（2）若，则有.
18. 如图，在直角坐标系中，作射线，分别交单位圆于点，，且在第一象限，在第二象限，且．记．
（1）若，求；
（2）分别过，作轴的垂线，垂足依次为，，求梯形面积的取值范围．
【答案】18. ；
19.
【解析】
【分析】（1）先根据任意角的三角函数的定义得，，再利用同角三角函数的基本关系式以及两角和的余弦公式即可得答案；
（2）根据任意角的三角函数的定义求出梯形相关量，再利用两角和与差的正余弦公式以及辅助角公式得，通过角的范围得答案.
【小问1详解】
设锐角的顶点是原点，始边与轴的非负半轴重合，终边为射线，
则，点在第一象限，所以，
又因为，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，
，，
即，，，，
，
因为在第一象限，在第二象限，，所以角，
，
，
，，
即.
19. 汤姆今年年初用16万元购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，经估算，每年可有16万元的总收入，已知使用x年()所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计为万元（今年为第一年）．
（1）该出租车第几年开始赢利（总收入超过总支出）？
（2）该车若干年后有两种处理方案：
①当赢利总额达到最大值时，以1万元价格卖出；
②当年平均赢利达到最大值时，以10万元卖出.
试问哪一种方案较为合算？请说明理由．
【答案】（1）从第二年开始盈利；（2）两个方案盈利总数一样，但是方案二时间短，比较合算.理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意得列出不等式，解之可得结论；
（2）分别求得方案①：，7年时间共赢利34万，方案②：，4年时间共赢利34万，由此可得结论.
【详解】（1）由题意得，且，解得且，
所以该出租车从第二年开始盈利；
（2）方案①：，7年时间共赢利34万，
方案②：，4年时间共赢利34万，
两个方案盈利总数一样，但是方案二时间短，比较合算.
20. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形.
（1）求的值及函数的值域；
（2）若，且，求的值.
【答案】（2），函数的值域为;（2）.
【解析】
【分析】(1)将函数化简整理，根据正三角形的高为，可求出，进而可得其值域；
(2)由得到，再由求出，进而可求出结果.
【详解】(1)由已知可得，
又正三角形的高为，则，
所以函数的最小正周期，即，得，
函数的值域为．
(2)因为，由(1)得
，
即，
由，得，
即＝，
故
.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，熟记正弦函数的性质即可求解，属于基础题型.
21. 已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）设，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数定义求参数值．
（2）函数有唯一的零点，转化为方程有唯一实数解，且，令，又等价于方程只有一个正实根，且.，先讨论；再讨论；在时方程一正一负根．从而可得结论．
【详解】解：（1）是偶函数，，
，
.
此式对于一切恒成立，
（2）函数与的图像有且只有一个公共点，等价于方程有唯一的实数解，等价于方程有唯一实数解，且，
令，则此问题等价于方程只有一个正实根，且.
当，即时，则成立；
当，即时，①若，即或，
当时，代入方程得成立；当时，得，不符合题意；
②若方程有一个正根和一个负根，即，即，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性，考查函数零点个数问题．解题关键是转化．函数零点个数就是相应方程解的个数，由对数函数性质化简后再利用换元法转化，转化为多项式方程有一个正根．此时要注意分类讨论思想的应用．
22. 已知，函数，.
（1）若，恒成立，求实数的最小值；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）3；（2）.
【解析】
【分析】
(1) 恒成立，只需即可，故只需求出当时，分段函数的最大值即可；
(2)函数可化为，对两段中的二次函数的对称性，，分段点与区间的位置关系分类讨论，即可求出的最大值.
【详解】(1)当时，，
当时，，所以；
当时，，所以，
所以函数在上的最大值为，
因为恒成立，所以只需即可，所以，
所以最小值为.
（2）由已知得，
因为，所以，
①当且，即时，
a.当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数，
所以，
b.当时，，此时，
c.当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时，所以，
d.当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，
②当且，即时，
函数在上单调递增，在上单调递减，此时，
③当，即时，函数在上单调递增，此时函数，
综上：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查求含参分段函数的最值，解决本题的关键是确定分类讨论的讨论点，准确的划分讨论段.