辽宁省朝阳市建平县重点中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份辽宁省朝阳市建平县重点中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，若，，，则，若正数，满足，则的最大值为，下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教B版必修第一册，必修第二册第四章～第五章5.3.4。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．以上都不正确
2．某校为了了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）
A．抽签法B．随机数法
C．分层随机抽样法D．除以上方法外的其他方法
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．若正数，满足，则的最大值为（ ）
A．6B．9C．D．
7．某公司50名员工乘坐公交车、骑电动车两种方式上班所需时间统计如下：
则这50名员工通勤时间的方差为（ ）
A．48B．46C．28D．24
8．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（ ）
A．B．C．D．
10．下列说法错误的是（ ）
A．函数与函数表示同一个函数
B．若是一次函数，且，则
C．函数的图象与轴最多有一个交点
D．函数在上是单调递减函数
11．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（ ）
A．“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件
B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
D．“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件
12．已知定义域为的奇函数满足，且在上单调递减，，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．
C．
D．设，和图象的所有交点的横坐标之和为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知幂函数的图像关于轴对称，则______．
14．若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为______．
15．已知互不相等的4个正整数从小到大排序为，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为______．
16．孪生素数是指相差2的素数对，例如5和7，“孪生素数猜想”正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，则这两个数为孪生素数的概率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
（1）已知，求的值；
（2）计算：．
18．（本小题满分12分）
已知关于的不等式的解集为．
（1）求，的值；
（2）解关于的不等式．
19．（本小题满分12分）
已知定义在上的偶函数，当时，，且．
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）解不等式：．
20．（本小题满分12分）
2023年高考查分系统上线后，某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的的值，并估计该中学今年高考数学成绩的中位数；
（2）该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率．
21．（本小题满分12分）
已知是偶函数．
（1）求的值；
（2）证明：在上单调递增．
22．（本小题满分12分）
冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动．随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大．某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元）记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为．
（1）比较与的大小；
（2）求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值．
建平县重点中学2023~2024学年度上学期高一期末考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 由集合间的包含关系可知．故选B．
2．C ∵高一、高二、高三三个年级之间学生视力存在差异，且对于统计结果有影响，∴抽取部分学生进行调查时，合理的抽样方法为：分层随机抽样法．故选C．
3．A ，因为“”“”，但“”“”，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．
4．C 因为函数在区间上单调递增，即在上为增函数且函数值大于0，故，则的取值范围是．故选C．
5．B ，由是减函数得，即，因为是增函数，所以，所以．故选B．
6．D 因为，所以，，，当且仅当，时取等号．故选D．
7．A 由已知可得，乘坐公交车平均用时（分钟）：，方差；骑电动车平均用时（分钟）：，方差；乘坐公交车人数占总数的，骑电动车人数占总数的．这50名员工通勤时间的平均数为，方差为．故选A．
8．A 的定义域为，则对任意，，同时恒大于0且恒不为1，对于，若，则时，不满足题意；若，则恒成立，因为，要满足恒大于0且恒不为1，则，，所以的取值范围是．故选A．
9．BD 由题知第一次所取区间为，取中间值，则第二次所取区间可能是或．故选BD．
10．ABD 对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误；
对于B，设，则，所以解得或所以或，故B错误；
对于C，根据函数的定义可得函数的图象与轴最多有一个交点，故C正确；
对于D，函数在，上是单调递减函数，故D错误．故选ABD．
11．BD 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，可能的结果有：两个红球，一个红球一个黑球，两个黑球．对于A，“至少一个红球”和“至少有一个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥事件，故B正确；对于C，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，但是可以同时都不发生，是互斥事件，但不是对立事件，故C错误；对于D，“至少一个黑球”和“都是红球”不能同时发生，但是一定有一个要发生，是对立事件，故D正确．故选BD．
12．ABD 因为定义域为的奇函数满足，而，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；因为，即，于是有，故B正确；，故C错误；因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，所以在上单调递减，，又函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，作出函数的大致示意图和的图象，由图可知，函数和的图象共有2个交点，且关于对称，设交点的横坐标分别为，所以，即，所以和图象的所有交点横坐标之和为，故D正确．故选ABD．
13．1 由于函数是幂函数，所以，解得或．当时，，是奇函数，图象不关于轴对称；当时，，是偶函数，图象关于轴对称，符合题意，所以的值为1．
14． 由题意可知方程无实数解，所以，解得，故实数的取值范围为．
15． 这组数据的极差为，中位数为，根据题意得，即，又它们的和为12，所以，解得，．因为为正整数且互不相等，所以，，．因为，所以这4个数据的第75百分位数为．
16． 由题意分析知：不超过20的素数有，随机抽取两个不同的素数，由列举可知，共包含28个样本点，其中孪生素数有，共4对，故两个数为孪生素数的概率是．
17．解：（1）由，得，
由，得（舍负），
故．
（2）
．
18．解：（1）由题意知，不等式对应的方程的两个实数根为和，
由根与系数的关系，得
解得，．
（2）由，知不等式可化为，
即，
解得，
所以不等式的解集为．
19．解：（1）因为是定义在上的偶函数，且，
所以，即，
解得．
（2）当时，，
设，则，则，
故
（3）由题意，，
得，得，解得或，
故的解集是．
20．解：（1）由题意，得，
设今年该中学高考数学成绩的中位数为，
则，解得．
故该中学今年高考数学成绩的中位数约为．
（2）由题意可知分数在的频率为，分数在的频率为，
所以分数在的抽取人数为，记为，，；
分数在的抽取人数为，记为，．
从这5名学生中随机抽取2人，该试验的样本空间为，
．
设事件“抽取的2名学生中恰有1名成绩不低于130分”，
则，．
所求概率．
故这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率为．
21．（1）解：易知的定义域为，对，都有．
因为是偶函数，
所以
，
所以．
（2）证明：因为，所以．
设，则，
，
因为，所以，，，
所以，
所以，，，
又，所以，，
所以在上单调递增．
22．解：（1）表示2024年及2025年各投资2百万元，
由题意得，
，
，
所以．
（2）两次投资在2027年产生的利润之和为百万元，
设2024年初投资百万元，则2025年初投资百万元，
2024年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元），
2025年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元），
所以．
解法一：
，设，
则，两边平方得，
由得，所以，
当时取等号．
所以，．
所以两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元．
解法二：
，
当且仅当，即时取等号，
所以，两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元．
通勤方式
人数
平均用时（分钟）
方差
乘坐公交车
20
30
36
骑电动车
30
20
16