辽宁省朝阳市建平县实验中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案）

这是一份辽宁省朝阳市建平县实验中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合A={x|x>1},B={x|y=3−x}，则A∩B=（ ）
A．[1,3)B．[3,+∞)C．(1,+∞)D．(1,3]
2．函数y=lg1−x的定义域是（ ）
A．0,1B．0,1
C．−∞,1D．−∞,1
3．若a>0且a≠1，则函数fx=ax−1+1的图象一定过点（ ）
A．0,2B．0,−1C．1,2D．1,−1
4．“a>c>0且b>d>0”是“ab>cd”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知幂函数f(x)=a2+a−1xa2−2a−3(a∈R)在(0,+∞)上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．1或−2B．−2C．1D．(−2,1)
6．若t>1，则关于x的不等式t−xx−1t>0的解集是（ ）
A．x|1ttC．x|x1tD．x|t7．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.假设在2022年以后，我国每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP翻两番的目标的年份为（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（ ）
A．2032B．2035C．2038D．2040
8．已知函数f(x)=lnx,x>02ex−1,x≤0，若关于x的方程fx=a有且仅有一个实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．0,1B．[1,+∞)C．(−∞,1)D．−1,0
二、多选题
9．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．命题p：∃x∈R，x2+bx+1≤0是假命题，则实数b的值可能是（ ）
A．−74B．−32C．2D．52
11．设函数f(x)=lgx2+1+x，则（ ）
A．f79>flg85B．−f−23C．flg85>f79D．−f−23>f79
12．已知函数fx的定义域为A，若对任意x∈A，存在正数M，使得fx≤M成立，则称函数fx是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A．f(x)=3+x4−xB．f(x)=1−x2
C．f(x)=5x2−2x+2D．fx=x+4−x
三、填空题
13．函数f(x)=x-1,x<2,-2x,x≥2,则f(f(2))= .
14．已知函数fx=lg3x+2x−6的零点为a，则a∈n,n+1n∈N，则n= ．
15．若a>0，b>0，且2a+b=4，则lg2a+lg2b的最大值为 ．
16．已知定义在R上的偶函数fx满足fx=x3+2x(x≥0)，若f1−m≥fm，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题
17．（1）比较2x2−x与x2+x−2的大小；
（2）已知c>a>b>0，求证：ac−a>bc−b.
18．已知集合A=x1≤2x+1≤8，B=xx−ax−a−1<0，a∈R.
（1）若1∈B，求实数a取值范围；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
19．已知二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+4.
(1)若f(x)为偶函数，求f(x)在[−3,1]上的值域；
(2)当x∈[1,2]时，f(x)>ax恒成立，求实数a的取值范围.
20．已知函数f(x)=lga1−m3xx−1（a>0，且a≠1）的图象关于坐标原点对称．
（1）求实数m的值；
（2）比较f2与f3的大小，并请说明理由．
21．某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数y1（单位：百万元）：y1=27x10+x，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数y2（单位：百万元）：y2=0.3x.设分配给植绿护绿项目的资金为x（单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y（单位：百万元）.
(1)将y表示成关于x的函数；
(2)为使生态收益总和y最大，对两个生态项目的投资分别为多少？
22．已知指数函数fx的图象过点12,22．
(1)求fx的解析式；
(2)若函数gx=f2x−mfx−1+1，且在区间−1,+∞上有两个零点，求m的取值范围．
参考答案：
1．D
【解析】首先求出集合B，再根据交集的定义计算可得；
【详解】解：因为A={x|x>1},B={x|y=3−x}
所以A=(1,+∞),B=(−∞,3]，所以A∩B=1,3．
故选：D．
2．C
【分析】由对数函数定义域求法解不等式可得结果.
【详解】利用对数函数定义域求法可知1−x>0，易得x∈−∞,1，
故选：C．
3．C
【分析】令x−1=0求出定点的横坐标，即得解.
【详解】解：令x−1=0,∴x=1.
当x=1时，f1=a1−1+1=2，
所以函数fx的图象过点1,2.
故选：C.
4．A
【分析】根据不等式的性质结合充分条件、必要条件的定义即可判断作答.
【详解】若a>c>0且b>d>0，根据不等式的性质知不等式ab>cd成立，
若ab>cd，如a=−5，b=−3，c=d=2，而a>c>0且b>d>0不成立，
所以“a>c>0且b>d>0”是“ab>cd”的充分不必要条件
故选：A
5．C
【解析】利用幂函数定义得a2+a−1=1，解得：a=1或a=−2，再分别代入检验函数的单调性，即可得解.
【详解】由幂函数定义得a2+a−1=1，解得：a=1或a=−2．
当a=1时，f(x)=x−4，利用幂函数性质知：f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当a=−2时，f(x)=x5，利用幂函数性质知：f(x)在(0,+∞)上单调递增，不符题意舍去.
故选：C.
6．A
【分析】首先根据不等式的性质可得1t【详解】因为t−1t=t+1t−1t，t>1，所以t−1t>0，所以t>1t.
原不等式t−xx−1t>0可化为所以x−tx−1t<0，解得1t所以，不等式t−xx−1t>0的解集为x|1t故选：A.
7．D
【分析】由题意，建立方程，根据对数运算性质，可得答案.
【详解】设2022年我国GDP（国内生产总值）为a，在2022年以后，每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，则经过n年以后的GDP（国内生产总值）为a1+8%n，
由题意，经过n年以后的GDP（国内生产总值）实现翻两番的目标，则a1+8%n=4a，
所以n=lg4lg1.08=2×0.3010lg2725=2×0.30103lg3−2lg5 =2×0.30103lg3−2(1−lg2)=2×0.30103lg3+2lg2−2=2×0.30103×0.4771+2×0.3010−2=≈18，
所以到2040年GDP基本实现翻两番的目标.
故选：D.
8．D
【分析】画出fx的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果.
【详解】作出函数f(x)=lnx,x>02ex−1,x≤0的图象如下，

由图可知，当−1即关于x的方程fx=a有且仅有一个实数根，
所以−1故选：D.
【点睛】方法点睛：
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
9．ACD
【分析】根据指数函数的定义，列出方程，得出a的值.
【详解】由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.
故选：ACD.
10．AB
【分析】根据特称命题与全称命题的真假可知：∀x∈R，x2+bx+1>0，利用判别式小于即可求解.
【详解】因为命题p：∃x∈R，x2+bx+1≤0是假命题，
所以命题：∀x∈R，x2+bx+1>0是真命题，也即对∀x∈R，x2+bx+1>0恒成立，
则有Δ=b2−4<0，解得：−2故选：AB.
11．AB
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，最后结合换底公式进行判断即可.
【详解】解：函数f(x)=lgx2+1+x，定义域为R，
f(−x)=lgx2+1−x=lg1x2+1+x=−lgx2+1+x=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，所以−f−23=f23，
当x∈0,+∞时，由复合函数的单调性可知f(x)=lgx2+1+x单调递增，
因为23=lg84所以f23结合选项可知A，B正确.
故选：AB.
【点睛】方法点睛：比较函数值的大小一般从函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性等性质方面进行判断.
12．BCD
【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.
【详解】对于A，f(x)=3+x4−x=−(4−x)+74−x=−1+74−x，由于74−x≠0，所以fx≠−1，所以fx∈0,+∞，故不存在正数M，使得fx≤M成立.
对于B，令u=1−x2，则u∈0,1，fx=u，所以fx∈0,1，故存在正数1，使得fx≤1成立.
对于C，令u=x2−2x+2=(x−1)2+1，则fx=5u，易得u≥1.所以0对于D，令t=4−x，则t∈0,2，x=4−t2，则f(x)=−t2+t+4=−t−122+174t∈0,2，易得2≤fx≤174，所以fx∈2,174，故存在正数174，使得fx≤174成立.
故选：BCD.
13．−2
【分析】根据分段函数的定义域求解.
【详解】解：因为函数f(x)=x-1,x<2,-2x,x≥2,，
所以f(2)=−1，则f(f(2))=f(−1)=−2，
故答案为：−2
14．2
【分析】根据函数的单调性及零点存在定理即得.
【详解】∵函数fx=lg3x+2x−6，函数在0,+∞上单调递增，
又f2=lg32+22−6=lg32−2<0,f3=lg33+23−6=3>0，
∴a∈2,3，即n=2.
故答案为：2.
15．1
【分析】利用对数运算性质将lg2a+lg2b转化为lg2ab，再利用基本不等式求出ab的最大值即可.
【详解】∵a>0，b>0，
∴2a+b=4≥22ab，解得ab≤2，
∴lg2a+lg2b=lg2ab≤1，
当且仅当a=1，b=2时取等号，
故lg2a+lg2b的最大值为1．
故答案为：1.
16．−∞,12
【解析】判断函数的单调性，结合单调性和奇偶性即可得关于实数m的不等式，从而可求出其取值范围.
【详解】因为y=x3,y=2x在[0,+∞)上递增，所以fx在[0,+∞)上递增.
因为fx为偶函数，所以f1−m≥fm等价于f1−m≥f|m|，
即1−m≥m，解得m≤12，
故答案为: −∞,12.
17．（1）2x2−x>x2+x−2；（2）证明见解析
【分析】（1）通过做差来比较大小即可；
（2）通过做差来证明即可.
【详解】（1）2x2−x−x2+x−2=x2−2x+2=x−12+1>0,
∴2x2−x>x2+x−2；
（2）ac−a−bc−b=ac−b−bc−ac−ac−b=ca−bc−ac−b，
∵c>a>b>0，
∴c−a>0,c−b>0,a−b>0，
∴ac−a−bc−b>0，
即ac−a>bc−b，证毕.
18．（1）0【解析】（1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.
【详解】（1）若1∈B，则−a1−a<0，得0（2）由1≤2x+1≤8，得0≤x+1≤3，即−1≤x≤2，
所以A=x−1≤x≤2，B=xx−ax−a−1<0=xa因为“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，所以B是A的真子集，
即a≥−1a+1≤2，解得−1≤a≤1.
即实数a的取值范围是−1,1.
【点睛】关键点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义将充分不必要条件转化为集合关系是解决本题的关键．
19．(1)[4,13]
(2)(−∞,2)
【分析】（1）函数f(x)=x2−2(a−1)x+4为二次函数，其对称轴为x＝a−1．由f（x）为偶函数，可得a＝1，再利用二次函数的单调性判断函数f（x）在[−1，3]上的值域；
（2）f（x）＞ax恒成立可转化为x2−(3a−2)x+4>0恒成立，可以先将参数单独提出来，再利用均值不等式判断x2+4x的范围即可．
【详解】（1）根据题意，函数f(x)=x2−2(a−1)x+4为二次函数，其对称轴为x=a−1.
若f(x)为偶函数，则a−1=0，解得a=1，
则f(x)=x2+4，又由−3⩽x⩽1，则有4⩽f(x)⩽13，
即函数f(x)的值域为[4,13].
（2）由题意知x∈[1,2]时，f(x)>ax恒成立，即x2−(3a−2)x+4>0.
所以3a−2因为x∈[1,2]，所以x2+4x=x+4x⩾2x⋅4x=4，当且仅当x=4x，即x=2时等号成立.
所以3a−2<4，解得a<2，所以a的取值范围是(−∞,2).
20．（1）m=−1；（2）当a>1时， f2>f3；当0【分析】（1）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有f−x=−fx在函数的定义域内恒成立，进而求得m的值，再进行检验；
（2）根所在（1）中求得的m值，得到f(x)=lgax+1x−1，再求得f2,f3的值，对
a分两种情况讨论，从而得到f2,f3的大小关系.
【详解】解：（1）∵f(x)=lga1−m3xx−1，∴f(−x)=lga1−m3⋅(−x)−x−1．
又∵函数fx的图象关于坐标原点对称，∴f(x)为奇函数，
∴f−x=−fx在函数的定义域内恒成立，
∴lga1−m3⋅(−x)−x−1=−lga1−m3xx−1，
∴1−m3⋅(−x)−x−1⋅1−m3xx−1=1，
∴m6−1x2=0在函数的定义域内恒成立，
∴m=−1或m=1．
当m=1时，函数的真数为−1，不成立，
∴m=−1．
（2）据（1）求解知，f(x)=lgax+1x−1，
∴f(2)=lga3，f(3)=lga2．
当a>1时，函数g(x)=lgax在(0,+∞)上单调递增，
∵2<3，∴lga2当0∵2<3，∴lga2>lga3⇒f(3)>f(2)．
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结合思想、分类讨论思想的运用，在比较大小时，注意对a分a>1和021．(1)y=27x10+x−3x10+30(0≤x≤100)
(2)分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元
【分析】（1）由题意列式化简即可；
（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.
【详解】（1）若分配给植绿护绿项目的资金为x百万元，则分配给处理污染项目的资金为100−x百万元，
∴y=27x10+x+0.3(100−x)=27x10+x−3x10+30(0≤x≤100).
（2）由（1）得y=27(10+x)−27010+x−3(x+10−10)10+30=60−27010+x+3(x+10)10
≤60−227010+x⋅3(x+10)10=42（当且仅当27010+x=3(x+10)10，即x=20时取等号），
∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y最大.
22．(1)fx=12x
(2)1,54
【分析】（1）设fx=ax（a>0，且a≠1），根据函数过点12,22，代入求出参数a的值，即可得解；
（2）首先求出gx的解析式，令t=12x， t∈0,2，令y=t2−2mt+1，t∈0,2，则问题转化为y=t2−2mt+1在t∈0,2上有两个零点，根据二次函数根的分布得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）由题意，设fx=ax（a>0，且a≠1），
∵fx的图象过点12,22，
∴a12=22=1212，解得a=12，
故函数fx的解析式fx=12x．
（2）∵gx=f2x−mfx−1+1，
∴gx=122x−2m12x+1，
令t=12x，因为x∈−1,+∞，所以t∈0,2，
∴y=t2−2mt+1，t∈0,2，
函数gx=122x−2m12x+1在−1,+∞上有两个零点，等价于y=t2−2mt+1在t∈0,2上有两个零点，
则02−2m×0+1>022−2m×2+1>0Δ=−2m2−4×1×1>00<−−2m2<2，即1>0m<54m2>10故实数m的取值范围为1,54．