2024届辽宁省朝阳市建平县实验中学等校高三上学期12月联考数学试题含答案

这是一份2024届辽宁省朝阳市建平县实验中学等校高三上学期12月联考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，证明题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．___________，横线上可以填入的符号有（ ）.
A．只有B．只有C．与都可以D．与都不可以
【答案】C
【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系即可求解.
【详解】是集合的一个元素，所以，
因为，所以，
所以横线上可以填入的符号有与都可以，
故选：C.
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用复数的乘方和乘法运算化简，再利用共轭复数的定义求解.
【详解】解：因为，
所以.
故选：B
3．空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）
A．4或6或7个部分B．4或6或7或8个部分
C．4或7或8个部分D．6或7或8个部分
【答案】B
【分析】将空间不重合的三个平面位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平面平行；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点，分情况分析求解即可.
【详解】空间不重合的三个平面，
若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；
若三个平面有两个平面平行，则第三个平面与其它两个平面相交，可将空间分为6部分；
若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分.
所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分.


故选：B.
4．在二项式的展开式中，二项式系数最大的是（ ）
A．第3项B．第4项
C．第5项D．第3项和第4项
【答案】B
【分析】根据二项式系数的性质分析求解.
【详解】二项式的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.
故选：B.
5．已知双曲线的离心率为，若点与点都在双曲线上，则（ ）
A．B．或
C．2或3D．
【答案】D
【分析】代入两点坐标，得到方程组，求出，得到，求出或，检验后得到，得到离心率.
【详解】由点，在双曲线上，得，
则，即，整理得，
解得或，
当时，，此时方程无解，不满足题意；
当时，，而，解得，，满足题意.
所以，
故选：D.
6．数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，，，，，，，…，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用新定义得出，然后结合换元法求出结果即可.
【详解】由，
得
，
即，
整理得，
令，则，
解得，
因为，所以，
，所以.
故选：A
7．函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，若关于x的方程在内有两个不同的解，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到关于原点对称，求得，得到，再由，得到，结合，根据正弦型函数的性质，得到且，再由，即可求解.
【详解】由函数的图象向右平移个单位长度后，
得到函数的图象，
因为所得函数图象关于原点对称，所以，可得，
又因为，所以，所以，
因为，所以，
由，可得，
根据三角函数的性质，可得，且，
则，所以.
故选：B.
8．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的上凸和下凸性质得到，，结合得到，设，求导得到在上单调递减，得到，同理可得，，相加后求出，得到答案.
【详解】设，画出的图象，
故为下凸函数，
当时，
所以，.
设，画出图象，
故为上凸函数，当时，
所以，
同一坐标系内画出和的图象，
又在R上单调递减，故，所以.
设，则，在上单调递减，
所以时，
所以，，
所以，
同理可得，，
相加得，，
所以.
故选：A
【点睛】结合函数图象得到函数的凹凸性，进而可根据此性质得到以下结论，
若函数为上凸函数，则有，
若函数为下凸函数，则有，
本题中可以此性质比较出的大小.
二、多选题
9．人均国内生产总值是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具，即“人均GDP”，常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是最重要的宏观经济指标之一.在国家统计局的官网上可以查询到我国2013年至2022年人均国内生产总值（单位：元）的数据，如图所示，则（ ）
A．2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增
B．2013年至2022年人均国内生产总值的极差为42201
C．这10年的人均国内生产总值的80%分位数是71828
D．这10年的人均国内生产总值的增长量最小的是2020年
【答案】ABD
【分析】根据图中数据和极差、百分位数、增长量的定义判断.
【详解】由图可知，2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增，A正确；2013年至2022年人均国内生产总值的极差为85698-43497=42201，B正确；因为10×80%=8，所以这10年的人均国内生产总值的80%分位数是.C不正确；由图中数据分析可知，2020年人均同内生产总值的增长为71828-70078=1750（元），是这10年中增长量最小的，D正确.
故选：ABD.
10．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．在上单调递减D．在上单调递减
【答案】BD
【分析】利用函数奇偶性的定义可以判断选项A，B；对于选项C，举出反例即可判断；利用奇函数、偶函数的图象性质及函数单调性的定义可以判断选项D.
【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
所以，
对于选项A，因为，所以是偶函数，故选项A错误；
对于选项B，，故为偶函数，故选项B正确；
对于选项C，设，则在上单调递增，故选项C错误；
对于选项D，因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
又，在上单调递减，所以，在上分别单调递增、单调递减，
不妨设，则，，
所以在上单调递减，故选项D正确.
故选：BD.
11．已知，，，则（ ）
A．的最小值为9B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】CD
【分析】A应用基本不等式“1”的代换求最值，注意取等条件；B由，应用二次函数性质求最值；C、D利用基本不等式及指数运算性质求最值，注意取等条件.
【详解】A：因为，，，
所以，
当且仅当时取等号，取得最小值，错；
B：，二次函数的性质知，当，时取得最小值，错；
C：因为，所以，当且仅当，即，时取等号，对；
D：，当且仅当，即，时取等号，对.
故选：CD
12．如图，棱长为2的正四面体的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线，，上，则（ ）
A．三棱锥的体积为B．直线平面
C．直线与所成的角是D．平面
【答案】ACD
【分析】直接由垂直求得，计算出四面体体积判断A，将正四面体放入正方体中，从而利用正方体的性质判断BCD．
【详解】对于A，易知，可得，
则，故A正确；
对于B，结合A中结论，将正四面体放入正方体中，如图所示，
因为，平面，所以与平面不平行，故B错误；
对于C，显然与平行，所以为异面直线与所成的角，
又，所以直线与所成的角是，故C正确；
对于D，由C选项的分析可知在正方体中，平面，
而平面，则，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
同理，而平面，
所以平面，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将图形补形成正方体，从而得解.
三、填空题
13．已知为椭圆：的右焦点，P为C上一点，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】结合椭圆的相关知识，求出，，，利用计算即可.
【详解】依题意，，，
所以.
故答案为：.
14．已知是数列的前项和，，，数列是公比为2的等比数列，则 .
【答案】341
【分析】由等比数列定义写出通项公式，再由并应用等比数列前n项和公式求结果.
【详解】由数列是公比为2的等比数列，，，
则，
所以.
故答案为：
15．已知16个边长为1的小菱形的位置关系如图所示，且每个小菱形的最小内角为60°，图中的A，B，C，D四点均为菱形的顶点，则 .
【答案】
【分析】以图形的对称轴为y轴，过点A作对称轴的垂线为x轴，建立平面直角坐标系.写出各点坐标进而求得向量的坐标，即可求得数量积.
【详解】因为每个小菱形的最小内角为60°，所以每个小菱形都可以分为两个正三角形.
以该图形的对称轴为y轴，过点A作对称轴的垂线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，
所以.
故答案为：
16．半径为的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高，球缺的体积公式为.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，在圆锥内部放置一个小球，使其与圆锥侧面和底面都相切，过小球与圆锥侧面的切点所在的平面将小球分成两部分，则较小部分的球缺的体积与球的体积之比为 .
【答案】
【分析】依题意作圆锥轴截面图，按球缺的定义结合几何条件即可求解.
【详解】如图所示为圆锥轴截面，,为小球与圆锥侧面的切线上两点，圆锥母线，
设内切球的半径为.由题意是等边三角形，则，，
所以小球的半径.
又，所以，则，
解得，则是中点，
同理可得是中点，所以，
故到的距离为，则上部分球缺的高，
上部分即较小部分球缺的体积为，
则较小部分球缺的体积与球的体积之比为.
故答案为：.
四、证明题
17．已知分别为的三个内角的对边，.
(1)求A；
(2)若，证明：.
【答案】(1).
(2)证明见解析.
【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，可得，利用余弦定理即可求得答案；
（2）利用正弦定理边化角，化简，可得，结合辅助角公式化简可求得角B以及角C，利用直角三角形性质即可证明结论.
【详解】（1）由题意，由正弦定理可得，
即，
故 ，
而，故.
（2）证明：因为，由正弦定理可得，
即,
所以，即，
因为，则，
故，
故在中，.
18．在数列中，，.
(1)求证：为等差数列；
(2)求的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用构造法，结合等差数列的定义可得证；
（2）法一：利用并项求和的方法可得解，法二：分组求和的方法可得解.
【详解】（1）由，得，
又，
所以数列是以为首项，的等比数列，
即，即，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
法一：
当为偶数时，
；
当为奇数时，
；
综上所述，；
法二：
当为偶数时，
；
当为奇数时，
；
综上所述.
五、解答题
19．如图，已知四边形为菱形，平面，平面，.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面平面，求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据菱形的性质得到，然后根据线面平行和面面平行的判定定理证明即可；
（2）设，然后根据平面平面列方程求解即可.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，
又平面，平面，所以平面.
因为四边形为菱形，所以，
又平面，平面，所以平面.
因为，平面，
所以平面BCF∥平面.
（2）
解：设交于点O，取中点H，连接，所以，底面.以为原点，以，，分别为x轴，y轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为，所以，
设，则，，，，，.
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得；
，；
设平面的一个法向量为，
则，
令，得.
因为平面平面，所以，解得，
故的长为1.
20．已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若对，，且在处取得极小值，求的取值范围.
【答案】(1)的单调递减区间为，；单调递增区间为.
(2)
【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）首先由恒成立得出，然后求出，求出的根，根据根的大小分类讨论得出单调性及极值，从而得参数范围．
【详解】（1）当时，，定义域为.
，
令，可得，
当变化时，和的变化情况如下：
故函数的单调递减区间为，；单调递增区间为.
（2）因为对恒成立，所以对恒成立，
显然不恒成立，不合题意，则，解得.
令，可得或，
当时，，
因为，（当且仅当时，）
所以函数在上单调递增，无极值，不满足题意；
当时，，
和的变化情况如下：
函数在处取得极小值，满足题意；
当时，，和的变化情况如下：
函数在处取得极大值，不满足题意.
综上，实数的取值范围为.
21．2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件 “了解亚运会项目”， “学生为女生”，据统计，.
附：，.
(1)根据已知条件，填写下列2×2列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关?
(2)现从该校了解亚运会项目的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)列联表见解析，该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）根据题中所给条件填写表格，写出零假设，根据列联表中数据计算出值，与比较，得出结论即可.
（2）根据题意知其服从超几何分布，列出分布列，求出数学期望即可.
【详解】（1）因为，，
所以对杭州亚运会项目了解的女生为，了解亚运会项目的学生为，
结合男生和女生各50名，填写2×2列联表为：
零假设：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据，
依据的独立性检验，可以推断成立，
即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关.
（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，
其中男生人数为（人）；
女生人数为（人），
由题意可得，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
随机变量的分布列如下：
则.
22．已知抛物线：经过，，，中的2个点，且焦点为，中的一个点.
(1)求的方程；
(2)判断是否存在定直线，过直线上任意一点P作的两条切线，切点分别为M，N，恒有且直线过的焦点?若存在，求出的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定直线：
【分析】（1）由抛物线C关于x轴对称，可得，都在C上，或都不在C上，讨论即可求解；
（2）先由对称性知，直线也关于x轴对称，再从特殊情况轴时入手， 求得定直线，再证明即可.
【详解】（1）由抛物线C关于x轴对称，可得，都在C上，或都不在C上，
若，都不在C上，则，都在C上，
得即矛盾，
所以，都在C上，，，焦点坐标为.
若C的焦点为，则，，可得C的方程为；
若C的焦点为，则，，不满足题意.
综上，C的方程为.
（2）由（1）知C的焦点为，假设存在符合条件的直线，
由抛物线C关于x轴对称，可得直线也关于x轴对称，
设，，，
当轴时，由过，得，，
由对称性可知点P在x轴上，知.
又，所以，得，
此时，的方程分别为，，
与联立得，
因为，所以，与都相切，满足题意，
所以直线的方程为.
下面证明对直线上的任意一点，都有，且直线过点.
设直线，的斜率分别为，
则直线的方程为，与联立得：，
所以，整理得，
当时，，，即.
同理可得，.
所以，是关于的方程的两个根，
所以，即，
又，，
所以点，，共线，即直线过的焦点.
综上，存在定直线：，过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，，恒有且直线过的焦点.
.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：1、从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；2、直接推理、计算，并在推理过程中消去变量，得到定值.
0
-
-
0
+
单调递减
单调递减
单调递增
0
+
0
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+
单调递增
单调递减
单调递增
0
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0
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0
+
单调递增
单调递减
单调递增
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
了解
不了解
合计
男生
女生
合计
了解
不了解
合计
男生
15
35
50
女生
30
20
50
合计
45
55
100
0
1
2
3