专题六　第4讲　母题突破4　探究性问题--高三高考数学复习-PPT

这是一份专题六　第4讲　母题突破4　探究性问题--高三高考数学复习-PPT，共47页。PPT课件主要包含了母题突破4，探究性问题，规律方法，又∵M是AB的中点，∵MN⊥x轴，专题强化练，所以直线PN的斜率，所以直线NQ的斜率等内容，欢迎下载使用。

　　(2023·廊坊质检)已知椭圆C： ＝1(a>b>0)经过点A(－2,0)，且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设P，Q为椭圆C上两个不同的点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，且P，O，Q三点共线.其中O为坐标原点.问：在x轴上是否存在点M，使得∠AME＝∠EFM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
思路分析❶代入点，结合面积求方程和离心率❷设点P，Q，表示出直线AP，AQ的方程❸求出E，F的坐标,❹由∠AME＝∠EFM得 ＝0,❺利用向量运算求点M的坐标
(2)因为P，O，Q三点共线，根据椭圆的对称性可知P，Q关于O点对称，如图，设点P(x1，y1)，则Q(－x1，－y1)(x1≠±2)，所以直线AP的方程为
假设存在M使∠AME＝∠EFM，因为∠MOE＝∠FOM＝90°，所以∠OMF＝∠OEM，又∠OEM＋∠OME＝90°，所以∠OME＋∠OMF＝90°，即ME⊥MF，
　　(2023·西安模拟)已知椭圆C：　 　＝1，过点T 的直线交该椭圆于P，Q两点，若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在定点S(s,0)，使得∠PST＝∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，请说明理由.
假设在x轴上存在定点S(s,0)，使得∠PST＝∠QST恒成立，
因为∠PST＝∠QST，所以kPS＋kQS＝0，
整理得(x2－s)y1＋(x1－s)y2＝0，
　　已知双曲线C：　　 ＝1(a>0，b>0)，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4).(1)求C的方程；
点A的坐标为(6,4)，得c＝4，不妨设焦点F1(0,4)，F2(0，－4)，
所以a＝2，b2＝c2－a2＝12，
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q两点，与线段AB交于点N(N，D不重合)， 均成立？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
如图，设l的方程为y＝2m(m>1)，则D(0,2m)，故M(0，m)，由已知得直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
直线PQ的方程与双曲线方程联立得(3k2－1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，由已知得3k2≠1，Δ>0，
探索性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律.(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论.
1.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，点P(2,8)在抛物线上，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.(1)求点P到抛物线焦点的距离；
将点P(2,8)代入抛物线方程，
点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，
把y＝kx＋2代入y＝2x2得2x2－kx－2＝0，Δ＝k2＋16>0，
两边同时平方得k2＋16＝4(k2＋1)，解得k＝±2，即存在k＝±2，
2.(2023·池州模拟)如图，点A为椭圆E： ＋y2＝1的上顶点，圆C：x2＋y2＝1，过坐标原点O的直线l交椭圆E于M，N两点.(1)求直线AM，AN的斜率之积；
设M(x0，y0)，则N(－x0，－y0)，
(2)设直线AM：y＝kx＋1(k≠0)，AN与圆C分别交于点P，Q，记直线MN，PQ的斜率分别为k1，k2，探究是否存在实数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
消去y可得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，因为A，M均在椭圆E上，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
消去y可得(1＋k2)x2＋2kx＝0，
因为A，P均在圆C上，
1.(2023·郑州模拟)过点M(t,0)(t<0)，斜率为 的直线l与抛物线C：y2＝2px(p>0)相切于点N，且|MN|＝(1)求抛物线C的方程；
整理得3p＋2t＝0，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)斜率为 的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线l′，使得点Q关于l′的对称点Q′恒与P，N共线，若存在，求出l′的方程，若不存在，说明理由.
假设存在直线l′，使得点Q关于l′的对称点Q′恒与P，N共线，则直线NP，NQ关于l′对称，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
所以存在直线l′，使得点Q关于l′的对称点Q′恒与P，N共线，
(1)求双曲线C的方程；
又直线l：y＝x＋m，与双曲线方程联立得2x2－2mx－m2－3a2＝0，①设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以(－x1，m－y1)＝3(x2，y2－m).故x1＝－3x2.结合x1＋x2＝m，
＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－3a2＝3a2＝3，从而a2＝1.
显然，该方程有两个不相等的实根.因此，a2＝1符合要求.
(2)设Q为双曲线C右支上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴负半轴上是否存在定点M，使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
假设满足条件的点M(t,0)(t<0)存在.由(1)知双曲线右焦点为F(2,0).由双曲线的对称性，不妨设点Q(x0，y0)在第一象限，
因为∠QFM＝2∠QMF，
当x0＝2时，∠QFM＝90°，而当t＝－1时，∠QMF＝45°，符合∠QFM＝2∠QMF.所以满足条件的点M(－1,0)存在.