数学北师大版 (2019)3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理多媒体教学课件ppt

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掌握基本事实及推论，并能运用它们去解决有关问题．(重点、难点)
在初中平面几何学习中，曾经学过以下一些基本事实：(1)两点确定一条直线.(2)两点之间线段最短.(3)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
类似地，人们把经过长期观察与实践总结出的平面的一些最基本性质当作基本事实，作为进一步学习空间中位置关系的基础.
两点确定一条直线，那么怎样确定一个平面呢? 在日常生活中，照相机的三脚架，施工用的支脚架等，都是由不在同一条直线的三个脚(点)支撑，这样可以使这些物体平稳放置.
这些事实与类似的经验可以概括为下面的基本事实： 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 例如， 一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了.
基本事实1刻画了平面的基本性质，它给出了确定一个平面的依据.不在同一条直线上的三个点A,B,C所确定的平面，可以记作平面ABC (如图).
如何判断直线在平面内呢? 如图，在长方体中，A，B两点在平面ABCD内，那么整条直线AB都在平面ABCD内；A，D₁两点在平面A₁ADD₁内，那么直线AD₁上的所有点都在平面A₁ADD₁内 .
基本事实2表达了平面的特点以及直线和平面的位置关系. 由基本事实1和基本事实2,再结合初中学的“两点确定一条直线”容易得到以下三个推论：
推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面；推论2 两条相交直线确定一个平面；推论3 两条平行直线确定一个平面.基本事实1及以上推论给出了确定平面的依据.
例如，长方体中，不共线的三点A,C,D₁确定平面ACD₁(如图) ; 直线BC₁和直线外一点A确定平面ABC₁D₁(如图).
长方体的任意两个面，要么平行，要么交于一条直线. 由此可以抽象出下面的基本事实. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
如图，基本事实3可以用符号表示为：P∈α，P∈β⇔ α∩β=l，且P∈l，其中l 表示一条直线 .
基本事实3表明，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线 . 基本事实3表达了不重合的平面与平面有两种位置关系：两个平面相交于一条直线，两个平面平行 .
在初中平面几何中，我们曾学习过“平行于同一条直线的两条直线平行”.这一事实可以推广到空间： 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
这个基本事实表明，空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.这一性质通常称为空间平行线的传递性.
根据基本事实4,空间两条直线的位置关系可以是：相交，如图(1),a∩b=A;平行，如图(2),a//b. 由推论2和推论3可知，无论相交还是平行，这两条空间直线都在同一平面内(即共面).
空间两条直线还有第三种位置关系，如图的长方体中，直线AD与直线BB₁, 直线 AD与直线BD₁, 它们不能处在同一个平面内. 不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线.
为了表示异面直线a,b不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托(如图).
这样，空间两条直线的位置关系有且只有三种：
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
相交直线：在同一平面内，有且只有 一个公共点.
平行直线：在同一平面内，没有公共点.
思考： 1.分析图中的长方体ABCD-A1B1C1D1中点、线、面的位置关系，并总结空间点、线、面的基本关系. 2.如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角的大小有什么关系？
在平面上，角的边是射线，射线是有方向的.在平面内，两条射线平行时它们的方向有如下三种不同的情形:
情形1 两个角的两条边分别平行，并且方向相同；
情形2 两个角的两条边分别平行，并且方向相反； 情形3 两个角的两条边分别平行，其中一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反.
对于平面上的两个角，在前两种情形下两个角相等，在情形3下两个角互补 . 这个结论(如图)在空间仍然成立吗?
在空间中也有这样的结论： 定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为它们的夹角.夹角刻画了一条直线相对于另一条直线的位置关系.两条异面直线之间也存在位置关系的问题，为此引入“异面直线所成的角”的概念，它是刻画两条异面直线位置关系的基本量之一.
如图,已知两条异面直线a,b, 过空间任一点O作直线a'//a,b'//b, 这时a',b'共面，我们把a'与b'所成的不大于90°的角称为异面直线a,b 所成的角(或夹角). 若两条异面直线a,b 所成的角是直角，则称这两条直线互相垂直，记作：a⊥b.
研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题.
至此，我们了解了空间点、直线和平面的基本位置关系 .这些位置关系，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁(如图)中都可以看到，可以用数学符号来表示：
例1：四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形，如图，在空间四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
例2：如图,已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a.(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC₁是异面直线?(2)求异面直线AA₁与BC所成的角；(3)求异面直线BC₁与AC所成的角.
解： (1)正方体共有12条棱，与BC₁相交的棱有6条，与BC₁平行的棱不存在.因此余下的6条棱所在的直线分别与直线BC₁是异面直线，它们是A₁A，A₁B₁，A₁D₁，DA，DC，DD₁.
(2)因为AD//BC, 所以∠A₁AD即为异面直线AA₁ 与BC所成的角 .显然∠A₁AD=90°,故异面直线AA₁与BC所成的角为90°.
(3)如图,连接A₁C₁,A₁B.因为AA₁ CC₁, 所以四边形AA₁C₁C是平行四边形，AC//A₁C₁,故∠BC₁A₁就是异面直线BC₁与AC所成的角.
因为A₁B ，BC₁与A₁C₁都是该正方体的面对角线，所以A₁B=BC₁=A₁C₁，△A₁BC₁是等边三角形.从而 ∠BC₁A₁=60°，即异面直线BC₁与AC所成的角为60°。