数学必修 第二册4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质集体备课课件ppt

这是一份数学必修 第二册4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质集体备课课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了温故知新，学习目标，定义域，周期性，单调性，思考交流，sinα，cosα，综合练习等内容，欢迎下载使用。

1. 通过单位圆研究正弦函数、余弦函数的基本性质. （重点）2. 掌握正弦函数、余弦函数的基本性质(定义域、最大(小)值，值域、周期性、单调性).（难点）3. 掌握正弦函数值域余弦函数值的符号.（重点）
观察图，设任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v) ，当自变量α变化时，点P的横坐标、纵坐标也在变化.因此.根据正弦函数v =sinα和余弦函数u=csα的定义，不难看出它们具有以下基本性质.
正弦函数、余弦函数的定义域均是R.
当自变量α∈R时，0≤|sinα| ≤ 1，0 ≤|csα| ≤1.当α=2kπ+ ，k∈Z时，正弦函数v=sinα取得最大值1；当α=2kπ- ，k∈Z时，正弦函数取得最小值-1.
当自变量α∈R时，0≤|sinα| ≤ 1，0 ≤|csα| ≤1.当α=2kπ，k∈Z时，余弦函数u=csα取得最大值1；当α=(2k+1) π， k∈Z时，余弦函数取得最小值-1.
因为函数v =sinα，u=csα均能取到-1和1之间的任意值，所以它们的值域均为[-1，1].
根据正弦函数、余弦函数的定义(如图).有终边相同的角的正弦函数值相等，即对任意k∈Z，sin(α+2kπ)=sinα，α∈R；终边相同的角的余弦函数值相等，即对任意k∈Z，cs(α+2kπ)=csα，α∈R.
上述两个等式说明：对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变，所以正弦函数v= sinα和余弦函数u=csα均是周期函数.对任何k∈Z且k≠0，2kπ均是它们的周期，最小正周期为2π. 周期性是正弦函数、余弦函数最重要的性质.
根据正弦函数的定义，在单位圆中，如图①，当角α由 增加到 时，sinα的值由-1增加到1；
如图②，当角α由 增加到 时，sinα的值由1减小到-1.因此正弦函数在区间[ ， ]上单调递增，在区间[ ， ]上单调递减.
由正弦函数的周期性可知，对任意的k∈Z ，正弦函数在区间[2kπ- ， 2kπ+ ]上单调递增，在区间[2kπ+ ， 2kπ+ ]上单调递减.
请借助单位圆，讨论余弦函数的单调性.
由余弦函数的周期性可知，对任意的k∈Z ，余弦函数在区间[2kπ-π， 2kπ]上单调递增，其值从-1增大到1；在区间[2kπ， 2kπ+π]上单调递减，其值从1减到-1.
正弦函数值和余弦函数值的符号
根据正弦函数和余弦函数的定义，如图，在平面直角坐标系中，当点P(u，v)在上半平面时，正弦函数(v= sinα)值为正，即点P在第一、第二象限或y轴的正半轴时，正弦函数值为正；
当点P在x轴上时，正弦函数值为零；当点P在平面直角坐标系的下半平面时，正弦函数值为负，即点P在第三、第四象限或y轴的负半轴时，正弦函数值为负.
同理，当点P在平面直角坐标系的右半平面时，余弦函数值为正，即点P在第一、第四象限或x轴的正半轴时，余弦函数值为正；当点P在y轴上时，余弦函数值为零；当点P在左半平面时，余弦函数值为负，即点P在第二、第三象限或x轴的负半轴时，余弦函数值为负.
正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号如图所示：
例3：借助单位圆，讨论函数v=sinα在给定区间上的单调性. (1) ( ， ]； (2) [ ， ].
解：画出图，可知：(1)函数v=sinα在区间( ， ]上单调递增；
(2)函数v=sinα在区间) [ ， ]上单调递增， 在区间[ ， ]上单调递减.
例4：求函数v=csα在区间[ ， ]上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α的值.
解：画出图，可知：当α= 时，函数v=csα取得最大值，最大值为 ；
当α=π时，函数v=csα取得最小值，最小值为csπ=-1.
不等式sinx＜0，x∈[ ， ]的解集为_______________________.