广东省中山市三鑫学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份广东省中山市三鑫学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法、去括号、幂的乘方、合并同类项法则分别运算即可判断求解，掌握同底数幂的乘法、去括号、幂的乘方、合并同类项法则是解题的关键．
【详解】解：A．，选项错误，不合题意；
B．，选项错误，不合题意；
C．，选项错误，不合题意；
D．，正确，符合题意；
故选：．
2. 用3个完全相同的小正方体组成如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了简单组合体的三视图，根据三视图的画法解答即可．
【详解】从上边看左边一个小正方形，右边一个小正方形，故B符合题意．
故选B．
3. 在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：从装有3个白球和5个红球的布袋中随机摸出一个球，
摸到红球的概率是．
故选：D．
4. 在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义，依次判断即可求解，本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键是：找到对称中心．
【详解】解：正方形、矩形、菱形、平行四边形是中心对称图形，共4个，
故选： ．
5. 如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
A. 3 cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm
【答案】B
【解析】
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出答案．
【详解】连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AC=AB=3cm，
∴OC==4．
故选：B．
6. 如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm
【答案】C
【解析】
【分析】利用线段垂直平分线的性质证得AN=BN即可求解.
【详解】∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC=7（cm），
∴AN+NC+BC=7（cm），
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=7（cm），
又∵AC=4cm，
∴BC=7﹣4=3（cm）．
故选C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键.
7. 遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克？设原计划每亩平均产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为( )
A. －＝20B. －＝20C. －＝20D. ＋＝20
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数﹣改良后种植的亩数=20亩，根据等量关系列出方程即可．
详解】解：设原计划每亩平均产量x万千克，由题意得：
，
故选A．
【点睛】本题考查列分式方程，掌握题目数量关系是解题关键．
8. 二次函数（）的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由二次函数的开口方向，对称轴，以及二次函数与的交点在轴的上方，与轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．
【详解】解：①二次函数的开口向下，
，对称轴在1的右边，
，
，故①正确；
②观察图象，抛物线与轴的交点在轴下方，
，
又对称轴为在轴的正半轴上，故，
，
．
，故②错误．
③二次函数与轴有两个交点，
△，故③正确．
④观察图象，当时，函数值，故④错误；
⑤观察图象，当时，函数值，故⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，满分20分）
9. 把用科学记数法表示为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义：将一个数写成（，n为整数）的方法叫科学记数法直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：；
【点睛】本题考查科学记数法的定义：将一个数写成（，n为整数）的方法叫科学记数法．
10. 一个n边形的内角和为1080°，则n=________．
【答案】8
【解析】
【分析】直接根据内角和公式计算即可求解．
【详解】解：（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8．
故答案为8．
【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：．
11. 某射击运动员在一次射击训练中，共射击了6次，所得成绩（单位：环）为：6、8、7、7、8、9，这组数据的中位数是_____．
【答案】7.5．
【解析】
【分析】试题分析：根据中位数的概念求解．
【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：6、7、7、8、8、9，
则中位数为：=7.5．
故答案为7.5．
12. 在半径为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为______cm．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：L==．故答案为．
考点：弧长的计算．
13. 如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为___________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，

∵，
∴，
∵于点D，于点E，，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时线段的值最小，
此时，，
代入数据：，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
三、解答题（共56分）
14. 先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15. 解不等式组并将解集数轴上表示出来．
【答案】，在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
故此不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
．
16. 小明在学校组织的校园安全知识竞赛中，通过自己的努力，一路过关斩将，走到了最后一个环节．最后环节中，他还需要回答三道判断题，每道题只有正确和错误两种选择．由于三道题的答案小明均不确定；于是随机给出了三个结果．
（1）小明回答第一道判断题，答对的概率是 ；
（2）如果小明在最后一个环节中至少答对两道题就能获胜，那么他获胜的概率是多少？请用树状图来说明．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【小问1详解】
小明回答第一道判断题，答对概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图如下：
由树状图知共有8种等可能结果，其中至少答对两道题的有4种结果，
所以他获胜的概率为．
17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．
【答案】（1）；（2）；（3）P（，0）．
【解析】
【分析】（1）把A的坐标代入即可求出结果；
（2）先把B的坐标代入得到B（4，1），把A和B的坐标，代入即可求得一次函数的解析式；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，求出直线AB′与x轴的交点即为P点的坐标．
【详解】（1）把A（1，4）代入得：m=4，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）把B（4，n）代入得：n=1，∴B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入，得：，
∴，
∴一次函数的解析式为：；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，由作图知，B′（4，﹣1），
∴直线AB′的解析式为：，当y=0时，x=，
∴P（，0）．
18. 如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．
（1）求证：∠ADC=∠ABD；
（2）求证：AD2=AM•AB；
（3）若AM=，sin∠ABD=，求线段BN的长．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果；
（2）证明△ADM∽△ABD，即可得到结论；
（3）根据三角函数和勾股定理即可得到结果．
试题解析：（1）连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵OB=OD，∴∠3=∠4，∴∠ADC=∠ABD；
（2）∵AM⊥CD，∴∠AMD=∠ADB=90°，∵∠1=∠4，∴△ADM∽△ABD，∴，∴AD2=AM•AB；
（3）∵sin∠ABD=，∴sin∠1=，∵AM=，∴AD=6，∴AB=10，∴BD==8，∵BN⊥CD，∴∠BND=90°，∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，∴∠DBN=∠1，∴sin∠NBD=，∴DN=，∴BN==．
考点：1．切线的性质；2．相似三角形的判定与性质．
19. 如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．
（1）点A的坐标为___________，点的坐标为___________；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE=2ED，求△PBC的面积；
（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）(﹣1,0)，(3,0)
（2）3 （3）(1,4)或(−2,−5)
【解析】
【分析】(1)根据抛物线解析式令y=0，求出A，B的坐标即可；
(2)先求得点C坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE=2ED可得PD=3ED，设P(m,-m2+2m+3)，则E(m,-m+3)，用含m的式子表示出PD和DE，根据PD=3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；
(3)分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P的坐标．
【小问1详解】
解：令抛物线y=0，则−x2+2x+3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)；
故答案为：(−1,0)，(3,0)；
【小问2详解】
解：在y=−x2+2x+3中，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B(3,0)，C(0,3)代入，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
若PE=2ED，则PD=3ED，
设P(m,−m2+2m+3)，
∵PD⊥x轴于点D，
∴E(m,−m+3)，
∴−m2+2m+3=3(−m+3)，
∴m2−5m+6=0，
解得m1=2，m2=3(舍)，
∴m=2，
此时P(2,3)，E(2,1)，
∴PE=2，
∴，
∴△PBC的面积为3；
【小问3详解】
解：∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：
①点C为直角顶点，如图，过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，交x轴于点D，连接P1B，
∵B(3,0)，C(0,3)，
∴OB=OC=3，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∵P1C⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCO=45°，
又∵∠DOC=90°，
∴∠ODC=45°=∠DCO，
∴OD=OC=3，
∴D(−3,0)，
∴直线P1C的解析式为y=x+3，
联立，
解得或(舍)；
∴P1(1,4)；
②点B为直角顶点，
如图，过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，
∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，
∴，
∴设直线BP2的解析式为y=x+b，
将B(3,0)代入，得0=3+b，
∴b=−3，
∴直线BP2的解析式为y=x−3，
联立，
解得或(舍)，
∴P2(−2,−5),
综上，点P的坐标为(1,4)或(−2,−5) ．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，用待定系数法求一次函数的解析式，抛物线与三角形有关的综合问题，解题的关键是能熟练运用数形结合的思想、分类讨论的思想熟练进行转化并求解．