专题54 巧作三线合一构造全等三角形-2024年中考数学重难点专项突破（全国通用）

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三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
【模型展示】
如右图，在中，
①若AB=AC,,则,
②若AB=AC, ,则,;
③若AB=AC, ,则,;
④若, ,则AB=AC, ;
⑤若, ,则,, AB=AC;
⑥若, ,则AB=AC,;
等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义，可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或的倍分关系。在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时需要作高或中线，这要视具体情况而定。
【精典例题】
1.如图,已知房屋的顶角∠BAC=100∘，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
解答：
∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=100∘
∴∠B=∠C=(180∘−∠BAC)=(180∘−100∘)=40∘
∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=100∘
∴AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=50.
2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DB=BC，DE⊥AB于点E，若CD=4，且△BDC的周长为24，求AE的长。
解答：
∵AD=DB=BC，CD=4，且△BDC的周长为24
∴AD=DB=BC=10
∴AC=14
∵AB=AC
∴AB=14
∵AD=DB，DE⊥AB
∴AE=BE=AB=7.
3.已知：三角形ABC中,∠A=90∘，AB=AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形。
解答：
证明：连接AD
∵AB=AC,∠A=90∘，D为BC中点
∴AD=BC2=BD=CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=45∘
在△BDE和△ADF中，BD=AD，∠B=∠DAF=45∘，BE=AF
∴△BDE≌△ADF
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF
∵∠BDE+∠ADE=90∘
∴∠ADF+∠ADE=90∘
即：∠EDF=90∘
∴△EDF为等腰直角三角形。
4.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.
解答：
证明：作EF⊥AC于F，
∵EA=EC，
∴AF=FC=AC
∵AC=2AB
∴AF=AB
∵AD平分∠BAC交BC于D
∴∠BAD=∠CAD
在△BAE和△FAE中，AB=AF，∠BAD=∠CAD，AE=AE
∴△ABE≌△AFE(SAS)
∴∠ABE=∠AFE=90∘
∴EB⊥AB.
5.如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF=2CD.
解答：
证明：延长BA交CD的延长线于点E.
∵BF是∠CBA的角平分线
∴∠CBF=∠DBA
∵BD⊥CE
∴∠BDC=∠EDB
∵∠CBF=∠DBA，BD=BD，∠BDC=∠EDB
∴△BDC≌△BDE
∴CD=DE
∵∠BAC=90°
∴AC⊥AB，即△BAF是直角三角形
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°
∴∠BAC=∠BDC
∵∠DBA+∠BED=∠BDC，∠ECA+∠AEC=∠BAC，∠BAC=∠BDC，∠AEC=∠BED
∴∠DBA=∠ECA
∵∠DBA=∠ECA，AB=AC，∠BAC=∠CAE=90°
∴△CAE≌△BAF
∴BF=CE
∵CD+DE=CE，CD=DE，BF=CE
∴BF=2CD.
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC=2∠C.
求证：CD=AB+BD.
解答：
证明：在DC上找一点M，使得DM=DB，连接AM.
∵AD⊥BC，DM=BD
∴AD是BM的垂直平分线
∴AB=AM
∴∠B=∠AMB
∵∠B=2∠C，∠AMB=∠C+∠MAC
∴∠MAC=∠C
∴AM=CM
∴CM=AB
∴CD=DM+MC=BD+AB.
7、已知：如图，AB=CD，AC与BD交于点O，且AC=BD．
求证：∠ABO=∠DCO．
证明：如图，连接AD
在△ABD和△DCA中，
∴△ABD≌△DCA（SSS）
∴∠ABO=∠DCO（全等三角形对应角相等）
8、已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．
求证：AB=CD且AD=BC．
证明：如图，连接AC
∵AB∥CD
∴∠CAB=∠ACD
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA
在△ABC和△CDA中，

∴△ABC≌△CDA（ASA）
∴AB=CD，BC=DA（全等三角形对应边相等）
9、已知：如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，F是CD的中点．
求证：AF⊥CD．
证明：如图，连接AC，AD
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD（全等三角形对应边相等）
∵F是CD的中点
∴CF=DF
在△ACF和△ADF中，
∴△ACF≌△ADF（SSS）
∴∠CFA=∠DFA（全等三角形对应角相等）
∵∠CFA+∠DFA=180°
∴∠CFA=90°
∴AF⊥CD
10、已知：在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC（AAS）
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）
11、已知：如图，在△ABC中，点D，E在AC上，∠ABD=∠CBE，∠A=∠C．求证：BD=BE．
证明：如图，过点B作BF⊥AC于点F
∵BF⊥AC
∴∠BFA=∠BFC=90°
在△ABF和△CBF中，
∴△ABF≌△CBF（AAS）
∴AB=CB（全等三角形对应边相等）
在△ABD和△CBE中，
∴△ABD≌△CBE（ASA）
∴BD=BE（全等三角形对应边相等）
12、已知：如图，在△ABD中，BC⊥AD于点C，E为BC上一点，AE=BD，EC=CD，延长AE交BD于点F．求证：AF⊥BD．
证明：如图，
∵BC⊥AD
∴∠ACE=∠BCD=90°
在Rt△ACE和Rt△BCD中
∴Rt△ACE≌Rt△BCD（HL）
∴∠CAE=∠CBD（全等三角形对应角相等）
∵∠ACE=90°
∴∠CAE+∠AEC=90°
∵∠AEC=∠BEF
∴∠CBD+∠BEF=90°
∴∠BFE=90°
∴AF⊥BD