专题54 巧作三线合一构造全等三角形-2022年中考数学重难点专项突破（全国通用）

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专题54 巧作三线合一构造全等三角形【专题说明】三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。【模型展示】如右图，在中，①若AB=AC,,则,②若AB=AC, ,则,;③若AB=AC, ,则,;④若, ,则AB=AC, ;⑤若, ,则,, AB=AC;⑥若, ,则AB=AC,;等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义，可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或的倍分关系。在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时需要作高或中线，这要视具体情况而定。 【精典例题】1.如图,已知房屋的顶角∠BAC=100∘，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。解答：∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=100∘∴∠B=∠C=(180∘−∠BAC)=(180∘−100∘)=40∘∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=100∘∴AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=50.2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DB=BC，DE⊥AB于点E，若CD=4，且△BDC的周长为24，求AE的长。解答：∵AD=DB=BC，CD=4，且△BDC的周长为24∴AD=DB=BC=10∴AC=14∵AB=AC∴AB=14∵AD=DB，DE⊥AB∴AE=BE=AB=7.3.已知：三角形ABC中,∠A=90∘，AB=AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形。解答：证明：连接AD∵AB=AC,∠A=90∘，D为BC中点∴AD=BC2=BD=CD且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45∘在△BDE和△ADF中，BD=AD，∠B=∠DAF=45∘，BE=AF∴△BDE≌△ADF∴DE=DF，∠BDE=∠ADF∵∠BDE+∠ADE=90∘∴∠ADF+∠ADE=90∘即：∠EDF=90∘∴△EDF为等腰直角三角形。4.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.解答：证明：作EF⊥AC于F，∵EA=EC，∴AF=FC=AC∵AC=2AB∴AF=AB∵AD平分∠BAC交BC于D∴∠BAD=∠CAD在△BAE和△FAE中，AB=AF，∠BAD=∠CAD，AE=AE∴△ABE≌△AFE(SAS)∴∠ABE=∠AFE=90∘∴EB⊥AB.5.如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF=2CD.解答：证明：延长BA交CD的延长线于点E.∵BF是∠CBA的角平分线∴∠CBF=∠DBA∵BD⊥CE∴∠BDC=∠EDB∵∠CBF=∠DBA，BD=BD，∠BDC=∠EDB∴△BDC≌△BDE∴CD=DE∵∠BAC=90°∴AC⊥AB，即△BAF是直角三角形∵∠BAC=90°，∠BDC=90°∴∠BAC=∠BDC∵∠DBA+∠BED=∠BDC，∠ECA+∠AEC=∠BAC，∠BAC=∠BDC，∠AEC=∠BED∴∠DBA=∠ECA∵∠DBA=∠ECA，AB=AC，∠BAC=∠CAE=90°∴△CAE≌△BAF∴BF=CE∵CD+DE=CE，CD=DE，BF=CE∴BF=2CD.6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC=2∠C.求证：CD=AB+BD.解答：证明：在DC上找一点M，使得DM=DB，连接AM.
∵AD⊥BC，DM=BD∴AD是BM的垂直平分线∴AB=AM∴∠B=∠AMB∵∠B=2∠C，∠AMB=∠C+∠MAC∴∠MAC=∠C∴AM=CM∴CM=AB∴CD=DM+MC=BD+AB.7、已知：如图，AB=CD，AC与BD交于点O，且AC=BD．求证：∠ABO=∠DCO．  证明：如图，连接AD在△ABD和△DCA中，∴△ABD≌△DCA（SSS）∴∠ABO=∠DCO（全等三角形对应角相等） 8、已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：AB=CD且AD=BC．证明：如图，连接AC∵AB∥CD∴∠CAB=∠ACD∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB=CD，BC=DA（全等三角形对应边相等）9、已知：如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，F是CD的中点．求证：AF⊥CD．证明：如图，连接AC，AD在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS）∴AC=AD（全等三角形对应边相等）∵F是CD的中点∴CF=DF在△ACF和△ADF中，∴△ACF≌△ADF（SSS）∴∠CFA=∠DFA（全等三角形对应角相等）∵∠CFA+∠DFA=180°∴∠CFA=90°∴AF⊥CD 10、已知：在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°在△ADB和△ADC中，∴△ADB≌△ADC（AAS）∴AB=AC（全等三角形对应边相等）              11、已知：如图，在△ABC中，点D，E在AC上，∠ABD=∠CBE，∠A=∠C．求证：BD=BE．证明：如图，过点B作BF⊥AC于点F∵BF⊥AC∴∠BFA=∠BFC=90°在△ABF和△CBF中，∴△ABF≌△CBF（AAS）∴AB=CB（全等三角形对应边相等）在△ABD和△CBE中，∴△ABD≌△CBE（ASA）∴BD=BE（全等三角形对应边相等）      12、已知：如图，在△ABD中，BC⊥AD于点C，E为BC上一点，AE=BD，EC=CD，延长AE交BD于点F．求证：AF⊥BD．证明：如图，∵BC⊥AD∴∠ACE=∠BCD=90°在Rt△ACE和Rt△BCD中∴Rt△ACE≌Rt△BCD（HL）∴∠CAE=∠CBD（全等三角形对应角相等）∵∠ACE=90°∴∠CAE+∠AEC=90°∵∠AEC=∠BEF∴∠CBD+∠BEF=90°∴∠BFE=90°∴AF⊥BD