中考数学几何模型专项复习 模型14 全等三角形——平行线中点模型-（原卷版+解析）

这是一份中考数学几何模型专项复习 模型14 全等三角形——平行线中点模型-（原卷版+解析），共18页。

◎结论：如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，P为AB上一点，则△POE≌△QOF

【证明】延长PO交CD于Q,
∵AB∥CD
∴∠OPE＝∠OQF,∠OEP＝∠OFQ
在△POE和△QOF中，
∠POE＝∠QOF
OE＝OF
∠OEP＝∠OFQ
∴△POE≌△QOF
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
有中点，有平行，轻轻延长就能行
1．(2023·全国·八年级专题练习）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _____．
2．(2023·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：
如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且．
①求证：；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
3．(2023·全国·九年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．
1．(2023·浙江湖州·一模）我们把有一个直角，而且其中一条对角线平分一个内角的四边形叫做直分四边形．
（1）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，矩形的四个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别在图1和图2的边上找出不同的点E，使得四边形是一个直分四边形．
（2）如图3，在直分四边形中，和互补，且，请求出的长度．
（3）如图4，在边长为2的正方形中，点E为的中点，F为上一点，使得，点G在的延长线上，连结交于点H，且．
①请证明四边形为直分四边形．
②求证：．
2．(2023·浙江湖州·二模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）．
A．2B．C．D．3
全等三角形
模型（14）——平行线中点模型

◎结论：如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，P为AB上一点，则△POE≌△QOF

【证明】延长PO交CD于Q,
∵AB∥CD
∴∠OPE＝∠OQF,∠OEP＝∠OFQ
在△POE和△QOF中，
∠POE＝∠QOF
OE＝OF
∠OEP＝∠OFQ
∴△POE≌△QOF
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
有中点，有平行，轻轻延长就能行
1．(2023·全国·八年级专题练习）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数．
【详解】解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，
∵四边形ABCF是平行四边形，
∴AB∥CF，AB＝CF，
∴∠NAE＝∠F，
∵点E是的AF中点，
∴AE＝FE，
在△NAE和△CFE中，
，
∴△NAE≌△CFE（ASA），
∴NE＝CE，NA＝CF，
∵AB＝CF，
∴NA＝AB，即BN＝2AB，
∵BC＝2AB，
∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，
∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，
∴DE＝NC＝NE，
∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，
∴∠B＝80°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．
2．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析根据平行四边形的性质可以得到，且为的中点，所以,由此可判断选项；再结合平行线的性质可以得到，由此可判断选项；同时延长和交于点， 可以证得，所以,由此可以判断选项；由于，所以，由此可以判断选项；
【详解】四边形是平行四边形


由于条件不足，所以无法证明,故选项错误；





故选项错误；
同时延长和交于点


在和 中：


由于条件不足，并不能证明，故选项错误；


为的中点

故选项正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.
1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _____．
答案:
分析由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，
∵l1⊥l3，l2⊥l3，
∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，
∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，
∴∠PAC＝∠BCQ，
在△ACP和△CBQ中，
，
∴△ACP≌△CBQ（AAS），
∴AP＝CQ，PC＝BQ，
∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝，
∵AP∥BQ，
∴∠OAP＝∠OBH，
∵点O是斜边AB的中点，
∴AO＝BO，
在△APO和△BHO中，
，
∴△APO≌△BHO（AAS），
∴AP＝BH，OP＝OH，
∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ，
∴PQ＝QH＝，
∵∠PQH＝90°，
∴PH＝PQ＝12，
∵OP＝OH，∠PQH＝90°，
∴OQ＝PH＝6．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形和直角三角形的性质定理是解题的关键．
2．(2023·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：
如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且．
①求证：；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
答案:感知：（1）；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或
分析（1）根据相似三角形的性质，即可求解；
（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；
②根据相似三角形的性质计算，即可求解；
（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．
【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，
∴，
∴，
故答案为：；
应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，
∴∠BAP=∠CPD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；
②BC=12，点P为BC中点，
∴BP=PC=6，
·∵△ABP∽△PCD，
∴，即，
解得：CD=3.6；
拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，
∴PC=AB=10，
∴BP=BC-PC=12-10=2；
当AP=AD时，∠ADP=∠APD，
∵∠APD=∠B=∠C，
∴∠ADP=∠C，不合题意，
∴AP≠AD；
当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△BCA∽△ACP，
∴，即，
解得：，
∴，
综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ．
【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．(2023·全国·九年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．
答案:28°
分析过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．
【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°-∠AED=62°，
∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°．
【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．
1．(2023·浙江湖州·一模）我们把有一个直角，而且其中一条对角线平分一个内角的四边形叫做直分四边形．
（1）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，矩形的四个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别在图1和图2的边上找出不同的点E，使得四边形是一个直分四边形．
（2）如图3，在直分四边形中，和互补，且，请求出的长度．
（3）如图4，在边长为2的正方形中，点E为的中点，F为上一点，使得，点G在的延长线上，连结交于点H，且．
①请证明四边形为直分四边形．
②求证：．
答案:（1）图见解析；（2）2或或；（3）①证明见解析；②证明见解析．
分析（1）根据直分四边形定义可知，使得四边形是一个直分四边形则可能BE平分或AC平分,由此构造图形即可解答；
（2）由直分四边形定义可知符合条件的直分四边形中，，再分AC平分、DB平分、DB平分三种情况求解即可；
（3）①根据相似三角形性质求出，进而证明，，从而可得BH平分，即可解得；②在BC上取一点M使BM=BF，利用角平分线构造再证明，由全等三角形性质即可得出结论．
【详解】解：（1）当BE平分时，，如图1，此时点E为所求，四边形是一个直分四边形，
当AC平分时, ，故AE=CE，点E在AC垂直平分线上，如图2，此时点E为所求，四边形是一个直分四边形；
（2）∵，，
∴，
又∵在直分四边形中有一个内角是直角，
∴，
I．当AC平分时，如解图2-1，
∵，，，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴；
II．当BD平分时，如解图2-2，过B点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
III．当BD平分时，如解图2-3，过D点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述：BD长为2或或；
（3）①在正方形中，，，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为直分四边形．
②由①得：，，
在BC上取一点M使BM=BF，
由①得，
又∵BH=BH，
∴（SAS），
∴FH=MH，
∴，
∴，
在和中，

∴（SAS），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了四边形综合，涉及网格作图、正方形性质、勾股定理与解三角形、三角形全等的性质及判定等知识点；解题关键是掌握阅读材料中直分四边形定义，利用角平分线构造全等进行解题．
2．(2023·浙江湖州·二模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）．
A．2B．C．D．3
答案:C
分析延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长．
【详解】解：延长BE交CD延长线于P，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠ECP，
在△AEB和△CEP中，
∴△AEB≌△CEP（ASA）
∴BE＝PE，CP＝AB＝5
又∵CD＝3，
∴PD=2，
∵
∴
∴BE＝BP＝．
故选：C．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP．