【中考一轮专项复习】2023年中考数学通用版培优专项训练 14 全等三角形 平行线中点模型（原卷版+解析卷）

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◎结论：如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，P为AB上一点，则△POE≌△QOF

【证明】延长PO交CD于Q,
∵AB∥CD
∴∠OPE＝∠OQF,∠OEP＝∠OFQ
在△POE和△QOF中，
∠POE＝∠QOF
OE＝OF
∠OEP＝∠OFQ
∴△POE≌△QOF
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
有中点，有平行，轻轻延长就能行
1．（2021·全国·八年级专题练习）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _____．
2．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：
如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且．
①求证：；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
3．（2020·全国·九年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．
1．（2022·浙江湖州·一模）我们把有一个直角，而且其中一条对角线平分一个内角的四边形叫做直分四边形．
（1）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，矩形的四个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别在图1和图2的边上找出不同的点E，使得四边形是一个直分四边形．
（2）如图3，在直分四边形中，和互补，且，请求出的长度．
（3）如图4，在边长为2的正方形中，点E为的中点，F为上一点，使得，点G在的延长线上，连结交于点H，且．
①请证明四边形为直分四边形．
②求证：．
2．（2021·浙江湖州·二模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）．
A．2B．C．D．3