期中必刷真题03（解答易错60道提升练，七下苏科）-【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】

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一．解答题（共60小题）
1．（2022春•泰兴市期中）计算或化简：
（1）；
（2）x3•x5÷x2﹣（﹣2x3）2．
2．（2022春•淮安区期中）计算：
（1）a2•a4+（﹣a2）3；
（2）0.252022×（﹣4）2022．
3．（2022春•淮安区期中）若22m+7＝26×24m，求m．
4．（2022春•淮阴区校级期中）已知am＝2，an＝4．
（1）填空：a2n＝ ，am﹣n＝ ；
（2）m+n与2n相等吗？请说明理由．
5．（2022春•邳州市期中）规定m*n＝3m×3n．求：
（1）0*2；
（2）如果2*（x﹣1）＝81，求x的值．
6．（2022秋•如东县期中）已知（2m）n＝4，（am）2÷an＝a3．
（1）求mn和2m﹣n的值；
（2）已知4m2﹣n2＝15，求m+n的值．
7．（2022春•高新区期中）（1）已知am＝3，an＝4，求a2m+3n的值：
（2）已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．
8．（2022春•工业园区校级期中）（1）已知a+3b＝4，求3a×27b的值；
（2）已知n是正整数，且x3n＝2，求（3x3n）2+（﹣2x2n）3的值．
9．（2022春•江宁区校级期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．
你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？
（1）若2×8x×16x＝222，求x的值；
（2）若（27x）2＝312，求x的值．
10．（2022春•秦淮区期中）规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2．
（1）根据上述规定，填空：2※16＝ ， ※36＝﹣2；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明；
设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：5※7+5※9＝5※63；
②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝ ※ （结果化成最简形式）．
11．（2022春•金坛区期中）已知x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12．
（1）求xy的值；
（2）求x3y+2x2y2+xy3的值．
12．（2022春•仪征市期中）计算：
（1）﹣3a（2a﹣4b+2）+6a；
（2）（x﹣2y）（2x+y）．
13．（2022春•高新区期中）计算：
（1）（﹣a2）3÷a4+（a+2）（2a﹣3）．
（2）（3a+2b﹣5）（3a﹣2b+5）
14．（2019秋•相城区校级期中）在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果：x2+x﹣6．
（1）求出a，b的值；
（2）在（1）的条件下，计算（x+a）（x+b）的结果．
15．（2022春•高新区期中）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．
（1）求正确的a、b的值．
（2）计算这道乘法题的正确结果．
16．（2019春•沭阳县期中）观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（1）根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ；
（2）你能否由此归纳出一般规律（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝ ；
（3）根据以上规律求32018+32017+32016+…32+3+1的结果．
17．（2022春•泰兴市期中）先化简再求值：2a（a﹣b）﹣3（a+c）（a﹣c）+（a+b）2，其中a＝2022，b＝﹣2，c＝2．
18．（2022春•邳州市期中）如图，是由两个宽为a、长为b的长方形和两个边长分别为a、b的小正方形围成的图形，若两个小正方形的边长的差是5cm，面积的差35cm2．
（1）求围成后的正方形HBKF的面积；
（2）求宽为a，长为b的长方形ADGH的面积．
19．（2022春•邳州市期中）因式分解：
（1）4m2﹣9n2；
（2）9a2b﹣6ab2+b3．
20．（2022春•淮阴区校级期中）【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
（1）写出图1中所表示的数学等式 ．
（2）如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是 ．
（3）【知识应用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；
（4）【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和 ．
21．（2022春•海陵区校级期中）用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．
（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；
（2）利用（1）中的结论计算：a+b＝3，ab＝，求a﹣b的值（a＞b）．
22．（2022春•玄武区校级期中）如图①，有边长为a与边长为b的两种正方形纸片．
（1）将两种正方形纸片各一张如图②放置，其未叠合部分（阴影）面积为S1，若再在图②中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图③），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
①用含a，b的代数式分别表示S1＝ ，S2＝ ．
②若a+b＝10，ab＝15，求S1+S2的值；
（2）将两种正方形纸片各一张按图④的方式放置在一个边长为m的正方形桌面上（a+b＞m），若两个正方形叠合部分（阴影）的面积为S3，桌面上未被这两张正方形纸片覆盖部分（点状阴影）的面积为S4，求S3﹣S4（结果用含a，b，m的代数式表示）．
23．（2022秋•通州区期中）关于x的整式，当x取任意一组相反数m与一m时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：x2是“偶整式”，x3是“奇整式”．
（1）若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与﹣1时，对应的整式值分别为A1，A2，则A1+A2＝ ；
（2）判断式子（x﹣2）2﹣（x+2）2是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由；
（3）对于整式x5﹣x3+x2+x+1，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和．
①这个“偶整式”是 ，“奇整式”是 ；
②当x分别取﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是 ．
24．（2022秋•镇江期中）现有3张卡片，它们可以拼成一个大的长方形（如图1）．
（1）你还能用三张卡片拼成其他的四边形吗？请画出草图；
（2）小明写出图1中大的长方形的周长为2（a+b）+2b，小红写出大长方形的周长为2（a+2b）+2（b+a）﹣2a﹣2b，两位同学写的算式结果一样吗？为什么？
（3）如图2，有四张边长分别为a，b，c的直角三角形纸片，将它们拼成一个大的空心的正方形，利用这个大正方形解决问题：①请根据（2）中蕴含的思想方法写出一个关于a，b，c的等式；②已知小直角三角形纸片的面积为6，两条直角边之和为7，求中间小正方形的边长．
25．（2022秋•玄武区期中）一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作．
（1）（+）能被11整除吗？请说明理由；
（2）小明发现：如果（x+y+z）能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．
26．（2022秋•崇川区期中）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）通过计算图2中阴影部分的面积可以得到的数学等式是 ；
（2）利用图3解决下面问题若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝32，则a2+b2+c2＝ ．
（3）如图4，四边形ABCD，NGDH，MEDQ是正方形，四边形PQDH和EFGD是长方形，其中EFGD的面积是200，AE＝10，CG＝20，求图中阴影部分的面积．
27．（2022秋•句容市期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，末被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1，S2，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．
（1）当a＝7，b＝2，AD＝30时，求长方形ABCD的面积；
（2）当AD＝30时，请用含a，b的式子表示S1﹣S2的值．
（3）若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而S1﹣S2的值总保持不变，则a，b满足的关系是 ．
28．（2022秋•大丰区期中）我们用表示一个三位数，其中x表示百位上的数，y表示十位上的数，z表示个位上的数，即．
（1）说明一定是111的倍数；
（2）①写出一组a、b、c的取值，使能被11整除，这组值可以是a＝ ，b＝ ，c＝ ；②若能被11整除，则a、b、c三个数必须满足的数量关系是 ．
29．（2022秋•如皋市期中）在学习“平方差公式”时，张老师出了一道题：计算9×11×101．嘉嘉发现把9写成（10﹣1），把11写成（10+1）后可以连续运用平方差公式进行计算．
请根据上述思路，计算：
（1）9×11×101；
（2）．
30．（2022秋•苏州期中）如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）．
（1）请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：图①阴影部分面积为： ；
图②阴影部分面积为： ；
（2）请探究并直接写出a2﹣b2、a+b、a﹣b这三个式子之间的等量关系；
（3）利用（2）中的结论，求542.72﹣457.32的值．
31．（2022春•徐州期中）通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题．
（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ；
（2）利用（1）中的结论对下列多项式进行因式分解：x2+5x+6＝ ；
（3）类似地，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图3中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式： .
32．（2022春•吴江区校级期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．
（1）由图1中的大正方形的两种面积表示方法可得到因式分解的等式 ；
（2）先画出一个面积为2a2+5ab+2b2的几何图形，再根据图形的面积将代数式因式分解：2a2+5ab+2b2＝ ；
（3）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2是棱长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
①用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，这个等式是： ；
②已知a+b＝5，ab＝3，请利用上面的等式求a3+b3．
33．（2022春•工业园区校级期中）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．
（1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系： ；
（2）利用（1）中的结论，若x+y＝4，，则（x﹣y）2的值是 ；
（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式： ；
（4）两个正方形ABCD，AEFG如图④摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积和．
34．（2022春•常州期中）如图，将边长为a+3的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：
（1）分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；
（2）若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．
35．（2022春•钟楼区期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．
（1）在学习乘法公式时，我们通过对图1的面积“算两次”得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．请设计一个图形说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立；（画出示意图，并标上字母）
（2）如图2，两个直角边长分别为a、b、斜边长为c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c有什么数量关系吗？（注：写出解答过程）
（3）根据（2）中的结论回答，当a＝4，b＝3时，c的值为 ．
36．（2022秋•金湖县期中）如图，在△ABC中，DE∥AB，交AC，BC分别于点D、E，已知∠1＝∠2．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）当AC＝BC时，请判断DE与BE的大小关系，并说明理由．
37．（2020春•邗江区期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
38．（2019春•梁溪区期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B及∠2的度数．
39．（2022春•东台市期中）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．
40．（2022春•泰兴市期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在小正方形的顶点处，将△ABC沿某一方向平移后得到△A'B'C'，图中已标出点B的对应点B'．
（1）在给定的方格纸中画出平移后的△A'B'C'；
（2）在BC边上画出格点P，使得S△ACP＝S△A′B′C′；
（3）求平移过程中线段AB扫过的面积．
41．（2022春•亭湖区校级期中）图1是苏教版七年级下册数学书封底上的一幅几何图形，本学期同学们已经对这幅图形有了一定认识，小明同学在复习的时候又进行了变式研究，请解决下列问题．
【课本问题】（1）如图1，△ABC中，点D在BC边上，直线DG∥AB交AC于点G，E在AB边上，F在BC边上，∠ADG与∠AEF互补，AD与EF平行吗？为什么？
【变式探究】（2）在（1）的条件下，如图2，AD是△ABC的角平分线，延长CA与FE，交于点H，直线DG与EF的延长线交于点K，∠K＝∠H相等吗？为什么？
42．（2022春•泰兴市期中）已知：如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，∠ABE，∠ADF是四边形ABCD的外角．
（1）求∠ABE+∠ADF的度数；
（2）直线l1，l2分别经点B，D，且l1，l2分别平分∠ABE，∠ADF，
①如图2，若l1∥l2，求∠C的度数；
②若l1与l2相交于点M，设∠C＝α，∠BMD＝β，试探究α与β的数量关系，并说明理由．
43．（2022春•宿豫区期中）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1＝∠2．
（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
（2）如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角∠ABC为多少度？
44．（2022春•东台市期中）（问题背景）
∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（问题思考）
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ ．
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝70°，则∠D＝ °．
②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（问题拓展）
（3）在图②的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝ ．（用含α的代数式表示）
45．（2020春•高港区期中）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
请写出具体求解过程．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
46．（2020春•建邺区校级期中）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是 °，当DP⊥OE时，x＝ ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
47．（2022春•邳州市期中）如图，在△ABC中．
（1）如图1，若∠A＝80°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．求∠BOC的度数；
（2）如图2，若∠A＝n°，△ABC的外角∠DBC与∠ECB的平分线交于点O′．求∠BO′C的度数（用n来表示）；
（3）如图3，∠ABC的m等分线（∠ABO′＝∠ABC）与外角∠ACD的m等分线（∠ACO″＝∠ACD）交于点O″，若∠A＝80°，∠BO″C＝60°，则m＝ ．
48．（2022春•亭湖区校级期中）问题：若CD∥PQ，点A在直线CD上，点B在直线PQ上，点E为CD，PQ之间一点，探∠AEB，∠EAD与∠EBQ之间的关系．
（1）如图1，延长AE与PQ交于点F（方法一）；如图2，过点E作GH∥CD（方法二），发现：∠AEB＝∠EAD+∠EBQ．请选择一种方法说明．
（2）小明同学进行了更进一步的思考：直线a∥b，点A、C在直线a上，点B、D在直线b上，直线CE，BE分别平分∠ACD，∠ABD，且交于点E．
①如图3，若∠ACD＝40°，∠ABD＝70°，则∠CEB＝ ．
②如图4，若∠ACD＝x°，∠ABD＝70°，则∠CEB＝ ．（用含x的代数式表示）
（3）如备用图，射线OP与射线OQ相交于点O，点A、C在射线OP上，∠AOB＝n°，点B、D在射线OQ上，其中A、B是定点，C、D是动点，且点D在点B右侧，直线CE，BE分别平分∠ACD，∠ABD且交于点E．若∠ABD＝70°，∠ACD＝m°，直接写出∠CEB的度数．（用含m，n的代数式表示）
49．（2022春•相城区校级期中）如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线．
（1）如图1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °；
②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由；
（2）如图2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时，将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由．
50．（2022春•丹阳市期中）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD、BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”、BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
在△ABC中，∠A＝84°，∠C＝60°，
（1）如图②，BD是“邻AB三分线”，则∠BDC的度数是 °；
（2）如图③，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的邻BC三分线，则∠D的度数是 °；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，若∠A＝m°，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的邻BC三分线，则∠D的度数是 °（用含m的代数式表示）；
【延伸拓展】
在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的邻BC三分线．
（4）如图④，直线MN经过点D，若MN∥AB，∠A＝m°，则∠NDC﹣∠MDB的度数是 °（用含m的代数式表示）；
（5）将直线MN绕点D旋转，与线段AC交于点N，与射线CB交于点M，请直接写出∠NDC与∠MDB的数量关系 °（用含m的代数式表示）．
51．（2022秋•江阴市期中）如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．
（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：
方法一： ；方法二： ；
（2）观察图②，试写出（a+b）2、a2、2ab、b2这四个代数式之间的等量关系 ；
（3）请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是6，图②的大正方形面积是49，求a2+b2的值．
（4）利用你发现的结论，求3.262+6.52×6.74+6.742的值．
52．（2022春•淮安区期中）如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝36°，∠C＝70°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．
53．（2022春•高淳区校级期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝80°，则∠H的4系补周角的度数为 °．
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE、DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）．
54．（2022春•吴江区校级期中）如图，直线AB∥CD，MN⊥AB分别交AB，CD于点M、N，射线MP、MQ分别从MA、MN同时开始绕点M顺时针旋转，分别与直线CD交于点E、F，射线MP每秒转10°，射线MQ每秒转5°，ER，FR分别平分∠PED，∠QFC，设旋转时间为t秒（0＜t＜18）．
（1）①用含t的代数式表示：∠AMP＝ °，∠QMB＝ °；
②当t＝4时，∠REF＝ °．
（2）当∠MEN+∠MFN＝130°时，求出t的值；
（3）试探索∠EFR与∠ERF之间的数量关系，并说明理由；
（4）若∠PMN的角平分线与直线ER交于点K，∠EKM的度数是 ．
55．（2022春•玄武区校级期中）在△ABC中，D是BC边上的一点，∠BDA＝∠BAC．
（1）如图①，求证：∠1＝∠C；
（2）如图②，BE平分∠ABC，分别交AC、AD于点E、F；
①求证：∠AEF＝∠AFE；
②画出∠CAD的平分线交BC于点G，则AG和BE的位置关系是 ．
56．（2022春•如皋市期中）已知，直线AB∥CD，AD与BC交于点E．
（1）如图1，∠AEC＝100°，则∠ABC+∠ADC＝ °；
（2）如图2，∠ABC，∠ADC的平分线交于点F，则∠F与∠AEC有怎样的数量关系，请说明理由；
（3）如图3，∠AEC＝α，∠ABC＝β（α＞3β），在∠ADC的平分线上任取一点P，连接PB，当∠ABP＝∠PBC时，请直接写出∠BPD的度数（用含有α、β的式子表示）．
57．（2022春•惠山区校级期中）如图1，已知∠MON＝72°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上异于点O的动点．
（1）在图1中连接AB，若AB∥OC，则∠ABE的度数为 °；
（2）如图2，连接AC，若射线AB平分∠MAC，则∠ABO与∠ACO的数量关系式是 ；
（3）如图3，连接AC交射线OE于点D（不与点B重合），当AB⊥OM且△ADB中有两个角相等时，求∠OAC的度数．
58．（2022春•如皋市期中）如图，直线MN分别与直线AB，CD交于点E，F，∠1＝∠2．作∠AEF，∠EFD的平分线分别交CD，AB于点G，H．
（1）请利用量角器、直尺补全图形；
（2）判断EG与FH的位置关系，并说明理由；
（3）若∠EHF＝40°，求∠EGF的度数．
59．（2022春•崇川区期中）已知AB∥CD，连接A，C两点．
（1）如图1，∠CAB与∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC等于 度；
（2）如图2，点M在射线AB反向延长线上，点N在射线CD上．∠AMN与∠ACN的平分线交于点E．若∠AMN＝45°，∠ACN＝70°，求∠MEC的度数；
（3）如图3，图4，M，N分别为射线AB，射线CD上的点，∠AMN与∠ACN的平分线交于点E．设∠AMN＝α，∠ACN＝β（α≠β），请直接写出图中∠MEC的度数（用含α，β的式子表示）．
60．（2022春•惠山区期中）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解概念】：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
① ；② ．
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线．
【应用概念】：
（3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数．
小明的证明思路
因为＝_①
＝② +（x+y+z），
又因为代数式②，（x+y+z）都能被3整除，
所以能被3整除．