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专题6.6 位似【十大题型】-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）
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这是一份专题6.6 位似【十大题型】-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版），文件包含专题66位似十大题型举一反三苏科版原卷版docx、专题66位似十大题型举一反三苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17807" 【题型1 位似图形的识别】 PAGEREF _Tc17807 \h 1
\l "_Tc1260" 【题型2 判断位似中心】 PAGEREF _Tc1260 \h 2
\l "_Tc9735" 【题型3 根据位似概念判断正误】 PAGEREF _Tc9735 \h 4
\l "_Tc29964" 【题型4 求两个位似图形的相似比】 PAGEREF _Tc29964 \h 5
\l "_Tc16683" 【题型5 格点中作位似图形】 PAGEREF _Tc16683 \h 6
\l "_Tc184" 【题型6 求位似图形的坐标】 PAGEREF _Tc184 \h 8
\l "_Tc10248" 【题型7 求位似图形的长度】 PAGEREF _Tc10248 \h 9
\l "_Tc19238" 【题型8 求位似图形的周长】 PAGEREF _Tc19238 \h 10
\l "_Tc30161" 【题型9 求位似图形的面积】 PAGEREF _Tc30161 \h 11
\l "_Tc23598" 【题型10 位似图形的规律探究】 PAGEREF _Tc23598 \h 13
【知识点 位似图形】
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P’所在的直线都经过同一点O，且有OP’=k·OP，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：
（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点； = 3 \* GB3 ③描出新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数k(k≠0)，
所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|
【题型1 位似图形的识别】
【例1】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）下图所示的四种画法中，能使得△DEF是△ABC位似图形的有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③④
【变式1-1】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和④D．②和④
【变式1-2】（2023春·河北保定·九年级校考期末）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（ ）
A．2B．3C．4D．1
【变式1-3】（2023春·河南平顶山·九年级校考期中）在如图所示的网格中，△ABC的位似图形是 ．
【题型2 判断位似中心】
【例2】（2023春·河北邯郸·九年级统考期末）把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则位似中心可以是（ ）
A．G点B．F点C．E点D．D点
【变式2-1】（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）
A．原图形的外部B．原图形的内部C．原图形的边上D．任意位置
【变式2-2】（2023春·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
【变式2-3】（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点MB．点NC．点OD．点P
【题型3 根据位似概念判断正误】
【例3】（2023春·江西吉安·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△DEF，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△DEFB．AB∥DEC．OA:OD=1:2D．EF=4BC
【变式3-1】（2023春·河北保定·九年级统考期末）下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③B．①②C．③④D．②③④
【变式3-2】（2023春·安徽·九年级统考期中）如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )
A．△ABC∽△A1B1C1B．△A1B1C1的周长为6+32
C．△A1B1C1的面积为3D．点B1的坐标可能是(6，6)
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）
A．△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
D．MO∥BC且BM＝CO
【题型4 求两个位似图形的相似比】
【例4】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（ ）
A．1:6B．1:5C．1:4D．1:2
【变式4-1】（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OFFB=23，则EFAB=（ ）
A．23B．25C．35D．32
【变式4-2】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期末）在平面直角坐标中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'，若点A和它对应点A'的坐标分别为(2，5)，(-6，-15)，则△A'B'C'与△ABC的相似比为( )
A．-3B．3C．13D．− 13
【变式4-3】（2023春·辽宁铁岭·九年级校联考期末）如图，六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'是位似图形，O为位似中心，OA'：OA=1：2，则B′C′：BC= ．
【题型5 格点中作位似图形】
【例5】（2023春·山西长治·九年级统考期末）如图，点P−6,6和△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标是4,4，根据下列要求，解答相应的问题：
(1)作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，直接写出点A的对应点A′的坐标；
(2)作△A′B′C′关于点P成位似中心的位似△DEF，△DEF与△A′B′C′的相似比为2:1，且这两个三角形在点P同侧，直接写出点A′的对应点D的坐标．
【变式5-1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：3．
(2)证明△A′B′C′和△ABC相似．
【变式5-2】（2023春·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点P．
（1）以A点为位似中心，将△ABC在网格中放大成△AB1C1，使B1C1BC=2，请画出△AB1C1；
（2）以P点为三角形的一个顶点，请画一个格点△PMN，使△PMN∽△ABC，且相似比为2．
【变式5-3】（2023春·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（2，1），B（1，3），C（4，1），若△A1B1C1与△ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，且A1的坐标为（4，2）．
(1)请在所给平面直角坐标系第一象限内画出△A1B1C1；
(2)分别写出点B1、C1的坐标．
【题型6 求位似图形的坐标】
【例6】（2023春·山东威海·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O0,0，B2,0，已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的4倍，则点A对应点A′的坐标为（ ）
A．12,32B．23,2或−23,−2
C．4,43D．2,23或−2,−23
【变式6-1】（2023春·山东泰安·九年级统考期末）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为2，3，点E的横坐标为−1，则点P的坐标为（ ）
A．0，−2B．−2，0C．−1.5，0D．0，−1.5
【变式6-2】（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A（－2，2），B（－4，1），C（－1，－1）．以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C．并把△ABC的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为( )
A．（1，－6）B．（1，－7）C．（2，－6）D．（2，－7）
【变式6-3】（2023春·广西北海·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（ ）
A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）
【题型7 求位似图形的长度】
【例7】（2023春·陕西榆林·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A1,2，B1,1，C3,1，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为（ ）
A．25B．2C．4D．5
【变式7-1】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若△ABC的周长等于△A′B′C′周长的14．AO=2，则OA′的长度为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【变式7-2】（2023·重庆·九年级专题练习）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为O．△ABC与△A′B′C′的面积之比为9∶1，若OA′=2，则OA的长度为（ ）
A．6B．12C．18D．20
【变式7-3】（2023春·福建泉州·九年级统考期末）如图，DE是△ABC的中位线，D′E′是△A′B′C′的中位线，连结AA′、BB′、CC′．已知BC=4，2OA=OA′，2OB=OB′，2OC=OC′．则D′E′的长度为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【题型8 求位似图形的周长】
【例8】（2023春·重庆南岸·九年级统考期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．18
【变式8-1】（2023春·江苏常州·九年级统考阶段练习）如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，OAAA′＝23，若小五边形的周长为4，则大五边形的周长为 ．
【变式8-2】（2023春·九年级课时练习）如果两个五边形是位似图形,相似比为5∶3,且它们的周长和为240 cm,则大五边形与小五边形的周长差为 cm.
【变式8-3】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心．若OA:AD=2:3，△DEF与△ABC的周长差为12cm，则△ABC的周长为（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【题型9 求位似图形的面积】
【例9】（2023春·四川攀枝花·九年级统考期末）如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A1,0与点A′−2,0是对应点，△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是 ．
【变式9-1】（2023春·河北唐山·九年级校考期末）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形， 点O是位似中心， 若OA=2AA′，SΔABC=8．则SΔA′B′C′= ．
【变式9-2】（2023·广西·校联考模拟预测）已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为8cm2，△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半．则△ABC的面积等于（ ）
A．32cm2B．12cm2C．6cm2D．24cm2
【变式9-3】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图1，正方形ABCD绕中心O逆时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为12，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）
A．2+2B．4+22C．6+32D．8+42
【题型10 位似图形的规律探究】
【例10】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的12，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的12，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的12，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（128，0），则n的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式10-1】（2023春·河北石家庄·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1，在第二象限内，以原点O为位似中心将矩形AOCB各边放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，再以原点O为位似中心将矩形各边A1OC1B1放大为原来的32倍，得到矩形A2OC2B2，以此类推…，矩形A2OC2B2的面积为_______；矩形A2021OC2021B2021的面积为 ．
【变式10-2】（2023·广西钦州·中考真题）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的12，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的12，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的12，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=
【变式10-3】（2023春·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1与点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3，交射线OB1与点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5；…按照这样的规律继续作下去，若OA1=1，则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为 ．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17807" 【题型1 位似图形的识别】 PAGEREF _Tc17807 \h 1
\l "_Tc1260" 【题型2 判断位似中心】 PAGEREF _Tc1260 \h 2
\l "_Tc9735" 【题型3 根据位似概念判断正误】 PAGEREF _Tc9735 \h 4
\l "_Tc29964" 【题型4 求两个位似图形的相似比】 PAGEREF _Tc29964 \h 5
\l "_Tc16683" 【题型5 格点中作位似图形】 PAGEREF _Tc16683 \h 6
\l "_Tc184" 【题型6 求位似图形的坐标】 PAGEREF _Tc184 \h 8
\l "_Tc10248" 【题型7 求位似图形的长度】 PAGEREF _Tc10248 \h 9
\l "_Tc19238" 【题型8 求位似图形的周长】 PAGEREF _Tc19238 \h 10
\l "_Tc30161" 【题型9 求位似图形的面积】 PAGEREF _Tc30161 \h 11
\l "_Tc23598" 【题型10 位似图形的规律探究】 PAGEREF _Tc23598 \h 13
【知识点 位似图形】
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P’所在的直线都经过同一点O，且有OP’=k·OP，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：
（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点； = 3 \* GB3 ③描出新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数k(k≠0)，
所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|
【题型1 位似图形的识别】
【例1】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）下图所示的四种画法中，能使得△DEF是△ABC位似图形的有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③④
【变式1-1】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和④D．②和④
【变式1-2】（2023春·河北保定·九年级校考期末）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（ ）
A．2B．3C．4D．1
【变式1-3】（2023春·河南平顶山·九年级校考期中）在如图所示的网格中，△ABC的位似图形是 ．
【题型2 判断位似中心】
【例2】（2023春·河北邯郸·九年级统考期末）把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则位似中心可以是（ ）
A．G点B．F点C．E点D．D点
【变式2-1】（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）
A．原图形的外部B．原图形的内部C．原图形的边上D．任意位置
【变式2-2】（2023春·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
【变式2-3】（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点MB．点NC．点OD．点P
【题型3 根据位似概念判断正误】
【例3】（2023春·江西吉安·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△DEF，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△DEFB．AB∥DEC．OA:OD=1:2D．EF=4BC
【变式3-1】（2023春·河北保定·九年级统考期末）下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③B．①②C．③④D．②③④
【变式3-2】（2023春·安徽·九年级统考期中）如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )
A．△ABC∽△A1B1C1B．△A1B1C1的周长为6+32
C．△A1B1C1的面积为3D．点B1的坐标可能是(6，6)
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）
A．△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
D．MO∥BC且BM＝CO
【题型4 求两个位似图形的相似比】
【例4】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（ ）
A．1:6B．1:5C．1:4D．1:2
【变式4-1】（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OFFB=23，则EFAB=（ ）
A．23B．25C．35D．32
【变式4-2】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期末）在平面直角坐标中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'，若点A和它对应点A'的坐标分别为(2，5)，(-6，-15)，则△A'B'C'与△ABC的相似比为( )
A．-3B．3C．13D．− 13
【变式4-3】（2023春·辽宁铁岭·九年级校联考期末）如图，六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'是位似图形，O为位似中心，OA'：OA=1：2，则B′C′：BC= ．
【题型5 格点中作位似图形】
【例5】（2023春·山西长治·九年级统考期末）如图，点P−6,6和△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标是4,4，根据下列要求，解答相应的问题：
(1)作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，直接写出点A的对应点A′的坐标；
(2)作△A′B′C′关于点P成位似中心的位似△DEF，△DEF与△A′B′C′的相似比为2:1，且这两个三角形在点P同侧，直接写出点A′的对应点D的坐标．
【变式5-1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：3．
(2)证明△A′B′C′和△ABC相似．
【变式5-2】（2023春·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点P．
（1）以A点为位似中心，将△ABC在网格中放大成△AB1C1，使B1C1BC=2，请画出△AB1C1；
（2）以P点为三角形的一个顶点，请画一个格点△PMN，使△PMN∽△ABC，且相似比为2．
【变式5-3】（2023春·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（2，1），B（1，3），C（4，1），若△A1B1C1与△ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，且A1的坐标为（4，2）．
(1)请在所给平面直角坐标系第一象限内画出△A1B1C1；
(2)分别写出点B1、C1的坐标．
【题型6 求位似图形的坐标】
【例6】（2023春·山东威海·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O0,0，B2,0，已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的4倍，则点A对应点A′的坐标为（ ）
A．12,32B．23,2或−23,−2
C．4,43D．2,23或−2,−23
【变式6-1】（2023春·山东泰安·九年级统考期末）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为2，3，点E的横坐标为−1，则点P的坐标为（ ）
A．0，−2B．−2，0C．−1.5，0D．0，−1.5
【变式6-2】（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A（－2，2），B（－4，1），C（－1，－1）．以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C．并把△ABC的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为( )
A．（1，－6）B．（1，－7）C．（2，－6）D．（2，－7）
【变式6-3】（2023春·广西北海·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（ ）
A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）
【题型7 求位似图形的长度】
【例7】（2023春·陕西榆林·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A1,2，B1,1，C3,1，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为（ ）
A．25B．2C．4D．5
【变式7-1】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若△ABC的周长等于△A′B′C′周长的14．AO=2，则OA′的长度为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【变式7-2】（2023·重庆·九年级专题练习）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为O．△ABC与△A′B′C′的面积之比为9∶1，若OA′=2，则OA的长度为（ ）
A．6B．12C．18D．20
【变式7-3】（2023春·福建泉州·九年级统考期末）如图，DE是△ABC的中位线，D′E′是△A′B′C′的中位线，连结AA′、BB′、CC′．已知BC=4，2OA=OA′，2OB=OB′，2OC=OC′．则D′E′的长度为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【题型8 求位似图形的周长】
【例8】（2023春·重庆南岸·九年级统考期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．18
【变式8-1】（2023春·江苏常州·九年级统考阶段练习）如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，OAAA′＝23，若小五边形的周长为4，则大五边形的周长为 ．
【变式8-2】（2023春·九年级课时练习）如果两个五边形是位似图形,相似比为5∶3,且它们的周长和为240 cm,则大五边形与小五边形的周长差为 cm.
【变式8-3】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心．若OA:AD=2:3，△DEF与△ABC的周长差为12cm，则△ABC的周长为（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【题型9 求位似图形的面积】
【例9】（2023春·四川攀枝花·九年级统考期末）如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A1,0与点A′−2,0是对应点，△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是 ．
【变式9-1】（2023春·河北唐山·九年级校考期末）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形， 点O是位似中心， 若OA=2AA′，SΔABC=8．则SΔA′B′C′= ．
【变式9-2】（2023·广西·校联考模拟预测）已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为8cm2，△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半．则△ABC的面积等于（ ）
A．32cm2B．12cm2C．6cm2D．24cm2
【变式9-3】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图1，正方形ABCD绕中心O逆时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为12，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）
A．2+2B．4+22C．6+32D．8+42
【题型10 位似图形的规律探究】
【例10】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的12，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的12，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的12，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（128，0），则n的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式10-1】（2023春·河北石家庄·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1，在第二象限内，以原点O为位似中心将矩形AOCB各边放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，再以原点O为位似中心将矩形各边A1OC1B1放大为原来的32倍，得到矩形A2OC2B2，以此类推…，矩形A2OC2B2的面积为_______；矩形A2021OC2021B2021的面积为 ．
【变式10-2】（2023·广西钦州·中考真题）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的12，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的12，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的12，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=
【变式10-3】（2023春·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1与点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3，交射线OB1与点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5；…按照这样的规律继续作下去，若OA1=1，则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为 ．
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