苏科版八年级下册12.1 二次根式练习题

这是一份苏科版八年级下册12.1 二次根式练习题，文件包含专题137期末专项复习之二次根式十六大必考点举一反三苏科版原卷版docx、专题137期末专项复习之二次根式十六大必考点举一反三苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21033" 【考点1 二次根式的概念】 PAGEREF _Tc21033 \h 1
\l "_Tc24284" 【考点2 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc24284 \h 2
\l "_Tc22426" 【考点3 利用二次根式的性质化简】 PAGEREF _Tc22426 \h 2
\l "_Tc26190" 【考点4 同类二次根式的概念】 PAGEREF _Tc26190 \h 2
\l "_Tc3867" 【考点5 最简二次根式】 PAGEREF _Tc3867 \h 3
\l "_Tc5859" 【考点6 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc5859 \h 3
\l "_Tc13876" 【考点7 求二次根式中的参数值】 PAGEREF _Tc13876 \h 4
\l "_Tc15546" 【考点8 化简并估算二次根式的值】 PAGEREF _Tc15546 \h 4
\l "_Tc8809" 【考点9 二次根式中的规律探究】 PAGEREF _Tc8809 \h 4
\l "_Tc20871" 【考点10 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc20871 \h 6
\l "_Tc32737" 【考点11 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc32737 \h 7
\l "_Tc27941" 【考点12 二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc27941 \h 8
\l "_Tc31248" 【考点13 二次根式的应用】 PAGEREF _Tc31248 \h 8
\l "_Tc23584" 【考点14 二次根式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc23584 \h 9
\l "_Tc18093" 【考点15 利用分母有理化求值】 PAGEREF _Tc18093 \h 10
\l "_Tc4927" 【考点16 二次根式中的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc4927 \h 12
【考点1 二次根式的概念】
【例1】（2022·北京·人大附中八年级期末）下列式子中，是二次根式的是( )
A．2B．32C．xD．x
【变式1-1】（2022·河北沧州·八年级期中）下列式子一定是二次根式的是 ( )
A．a2B．－aC．3aD．a
【变式1-2】（2022·全国·八年级课时练习）若a=5，则下列各式是二次根式的是( )
A．3−aB．5−aC．a−52D．a−322
【变式1-3】（2022·内蒙古·北京师范大学乌海附属学校八年级期中）a是任意实数，下列各式中：①a+2；②(−2a)4；③a2+3；④a2+6a+9；⑤a2−3，一定是二次根式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2022·山东·日照山海天旅游度假区青岛路中学七年级期中）若a，b为实数，且b=a2−1+1−a2a+7+4，则a+b的值为（ ）
A．±1B．4C．3或5D．5
【变式2-1】（2022·广东惠州·八年级期末）若式子x+6在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥－6B．x≤－6C．x>－6D．x＜－6
【变式2-2】（2022·新疆·乌鲁木齐市第三中学八年级期末）下列二次根式一定有意义的是（ ）
A．2B．−2C．aD．−a
【变式2-3】（2022·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）若1999−x+x−2006=x，则x−19992=______．
【考点3 利用二次根式的性质化简】
【例3】（2022·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）若a＜0，b＞0，则化简214a2−ab+b2的结果为（ ）
A．a﹣2bB．2a﹣bC．2b﹣aD．b﹣2a
【变式3-1】（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校八年级阶段练习）化简下列二次根式（字母表示正数）
(1)24a3b2c；
(2)16a3+32a2
【变式3-2】（2022·云南·会泽县以礼中学校八年级阶段练习）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+b2+(a−b)2−(a−1)2．
【变式3-3】（2022·安徽·芜湖市第二十九中学八年级期中）化简：x−32−2−x2．
【考点4 同类二次根式的概念】
【例4】（2022·全国·八年级单元测试）下列二次根式中，化简后可以合并的是 （ ）
A．a2b与aB．xy与xy
C．50与5D．a+b与a2+b2
【变式4-2】（2022·甘肃·民勤县第六中学八年级期中）若最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11能合并，则x2+y2＝__．
【变式4-3】（2022·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）如果最简二次根式4a−5与13−2a是同类二次根式．
(1)求出a的值；
(2)若a≤x≤2a，化简：x2−4x+4+x2−12x+36
【考点5 最简二次根式】
【例5】（2022春·山东淄博·九年级校考期中）下列各式①8；②0.3；③30；④x2+y2；⑤a2+1；其中一定是最简二次根式的有（ ）．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式5-1】下列各根式是最简二次根式的是（ ）
A．56B．xyC．m2+n2D．18x
【变式5-2】（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）若a−12a+5与3b+a是被开方数相同的最简二次根式，求ab的值．
【变式5-3】（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）我们把形如ax+b（a，b为有理数，x为最简二次根式）的数叫做x型无理数，如3x+1是x型无理数，则(2+10)2是（ ）
A．2型无理数B．5型无理数C．10型无理数D．20型无理数
【考点6 比较二次根式的大小】
【例6】（2022秋·福建福州·八年级校考期末）若a=2019×2021−2019×2020，b=20222−4×2021，c=20202+20，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a【变式6-1】（2022·福建泉州·九年级统考期末）设M=20172−2016×2018，N=20172−4034×2018+20182，则M与N的关系为（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M=ND．M=±N
【变式6-2】（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）5−2、2+52、2+2的大小关系是（ ）
A．2+2>2+52>5−2B．5−2>2+52>2+2
C．2+52>5−2>2+2D．5−2>2+2>2+52
【变式6-3】（2022秋·江西萍乡·八年级统考期末）若a=1003+997，b=1001+999，c=21001，则a，b，c的大小关系用“＜”号排列为 _________．
【考点7 求二次根式中的参数值】
【例7】（2022春·北京·八年级北京八中校考期中）已知n是正整数，18−2n是整数，则满足条件的所有n的值为__________．
【变式7-1】（2022秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）如果17+4a是一个正整数，则整数a的最小值是（ ）
A．-4B．-2C．2D．8
【变式7-2】（2022春·四川凉山·七年级统考期末）已知12−n是正偶数，则实数n的最大值为（ ）
A．12B．11C．8D．3
【变式7-3】（2022秋·四川达州·八年级校考期中）已知有理数满足5−3a=2b+23−a，则a+b的值是______.
【考点8 化简并估算二次根式的值】
【例8】（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）估计2+3×22的值应在（ ）
A．8到9之间B．9到10之间C．10到11之间D．11到12之间
【变式8-1】（2022秋·重庆大渡口·九年级校考期末）估计42+3÷3的值应在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
【变式8-2】（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，若以3米为单位长度建立数轴，线段AB=17米，点A在原点，点B在数轴的正半轴，估计点B位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是______．
【变式8-3】（2022春·八年级单元测试）观察下列各式子，并回答下面问题．
第一个：12−1
第二个：22−2
第三个：32−3
第四个：42−4…
（1）试写出第n个式子（用含n的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？
（2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．
【考点9 二次根式中的规律探究】
【例9】（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）观察下列等式：第1个等式：a1=11+2=2−1；第2个等式：a2=12+3=3−2；第3个等式：a3=13+2=2−3；第4个等式：a4=12+5=5−2，……，按照上述规律，计算：a1+a2+a3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a99=（ ）
A．311−1B．10−311C．9D．8
【变式9-1】（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）观察下列各式：
1+112+122=1+11−12=112
1+122+132=1+12−13=116
1+132+142=1+13−14=1112
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)1+142+152=________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；
(3)利用上述规律计算：5049+164（仿照上式写出过程）．
【变式9-2】（2022秋·辽宁抚顺·八年级校考期末）阅读材料：像6+56−5=1，a×a=a（a≥0），这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．解答下列问题：
(1)7的有理化因式是___________；7+2的有理化因式是___________；
(2)观察下面的变形规律，请你猜想：12+1=2−1，13+2=3−2，14+3=4−3，……，1n+1+n=___________．
(3)利用上面的方法，请化简：12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99=___________．
【变式9-3】（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）一些数按某种规律排列如下：
(1)根据排列的规律，写出第5行从左数第4个数；
(2)写出第n（n是正整数）行，从左数第n+1个数（用含n的代数式表示）．
【考点10 复合二次根式的化简】
【例10】（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像4−23，48−45…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
4−23＝3−23+1＝(3)2−2×3×1+12＝(3−1)2＝3−1．
再如：5+26=3+26+2=(3)2+23×2+(2)2 =(3+2)2= 3 +2
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：12+235；
(2)化简：17−415；
(3)若a+65=(m+5n)2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【变式10-1】（2022春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝23和b＝32的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝42，d＝27大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝25+6，n＝23+14之间的大小，并证明．
(3)化简：4p−8p−1+4p+8p−1＝ （直接写出答案）．
【变式10-2】（2022秋·四川成都·八年级校考期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如m±2n的化简，我们只要找到两个数a，b，使a+b=m，ab=n，即(a)2+(b)2=m，a⋅b=n，那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b(a>b>0).
例如化简：7+43
解：首先把7+43化为7+212，
这里m=7，n=12，
由于4+3=7，4×3=12，
所以(4)2+(3)2=7,4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3
（1）根据上述方法化简：4+23
（2）根据上述方法化简：13−242
（3）根据上述方法化简：4−15
【变式10-3】（2022春·安徽芜湖·八年级统考期中）阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于3+5−3−5
设x=3+5−3−5，
易知3+5>3−5
故x>0，由x2=(3+5−3−5)2
=3+5+3−5−2(3+5)(3−5)
=2
解得x=2，即3+5−3−5=2．
根据以上方法，化简3−23+2+6−33−6+33
【考点11 二次根式的混合运算】
【例11】（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团八年级阶段练习）计算：
(1)12−613+48；
(2)3+23−2+1−32．
【变式11-2】（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学八年级期中）计算：
(1)(13)−1−18×−2−3−2．
(2)(318+1672−418)÷32
【变式11-3】（2022·湖南·宁远县仁和镇中学九年级阶段练习）计算：
(1)40+82−45；
(2)2×6+9127−32÷2；
(3)7a+2a2x−5a4a−6ax9．
【考点12 二次根式的化简求值】
【例12】（2022·全国·八年级期中）已知a=3+1，求a+1a2−4a+1a+4的值.
【变式12-1】（2022·福建龙岩·八年级阶段练习）先化简，再求值：(a+b)2−(a−b)(a+b)，其中a＝3+2，b＝3−2．
【变式12-2】（2022·湖北·武汉市六中位育中学八年级阶段练习）先化简，再求值：25xy+xyx−4yxy−1yxy3，其中x=13，y=4．
【变式12-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知y＝x−8＋8−x＋18，求代数式x+yx−y﹣2xyxy−yx的值为_____．
【考点13 二次根式的应用】
【例13】（2022·山东·费县第二中学八年级期中）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．4−23cm2B．83−4cm2C．83−12cm2D．8cm2
【变式13-1】（2022·江西省于都中学八年级期中）请阅读材料，并解决实际问题：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，利用三角形的三边求面积：有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p＝a+b+c2，那么这个三角形的面积S＝p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202﹣1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S＝14a2b2−(a2+b2−c22)2．通过公式变形，可以发现它们实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦﹣秦九韶公式．
问题：在△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，用海伦﹣秦九韶公式求△ABC的面积为 _____．
【变式13-2】（2022·江苏·扬州市江都区华君外国语学校八年级阶段练习）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+3 24×3，1+16 21×16，5+5 25×5．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn(m≥0，n≥0)的大小关系，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
【变式13-3】（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学八年级阶段练习）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为162m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为(13+1)m，宽为(13−1)m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【考点14 二次根式中的新定义问题】
【例14】（2022·安徽合肥·八年级期中）我们规定用a,b表示-对数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a>0，b>0），将m,n与n,m称为数对a,b的一对“对称数对”，例如：4,1的一对“对称数对”为12,1与1,12．
(1)数对25,4的一对“对称数对”是________和________；
(2)若数对x,2的一对“对称数对”的一个数对是2,1，求x的值；
(3)若数对a,b的一对“对称数对”的一个数对是3,33，求ab的值．
【变式14-1】（2022·广东广州·八年级期末）已知a，b都是实数，现定义新运算：a∗b=3a−b2，例：2∗1=3×2−12=5．
(1)求2∗−2的值；
(2)若m=5−35+3，n=3−5，求m∗n的值．
【变式14-2】（2022·山东济宁·八年级期末）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与2是关于2的共轭二次根式，则a＝ ；
(2)若2+3与2+3m是关于1的共轭二次根式，求m的值．
【变式14-3】（2022·福建省泰宁县教师进修学校八年级期中）我们规定，若a＋b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）若3与x是关于1的平衡数，5－2与y是关于1的平衡数，求x，y的值；
（2）若（m＋3）×（1－3）＝－2n＋3（3－1），判断m＋3与5n－3是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【考点15 利用分母有理化求值】
【例15】（2022·山东·宗圣中学八年级阶段练习）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如23+1这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简：
23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．也可以用如下方法化简：
23+1=3−13+1=(3)2−123+1=(3+1)(3−1)3+1=3−1．
(1)请用两种不同的方法化简17+6；
(2)选择合适的方法化简1n+n+1（n为正整数）；
(3)求11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+198+99+199+100的值．
【变式15-1】（2022·江苏盐城·八年级期末）像(5+2) (5−2)=1，a•a＝a（a≥0），（b+1）（b﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：5与5，2+1与2﹣1，23+35与23﹣35等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：①323= ；
②15−3= ；
(2)计算：(12+1+13+2+14+3…+12022+2021）(2022+1)＝ ；
(3)已知a=2022−2021，b=2023−2022，试比较a、b的大小，并说明理由．
【变式15-2】（2022·山东济南·八年级期中）阅读下列材料，然后解答问题：
在进行二次根式的化简与计算时我们有时会遇到如：32，23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：32=3×22×2=322；23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2×(3−1)(3)2−12=3−1．
以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化．
(1)根据上面规律化简：15＝______；15−1＝______．
(2)化简下列各式
①5−12−25−1，
②8−22−28−2，
③13−32−213−3，
④20−42−220−4．
(3)用含n（n≥1的整数）的式子写出（2）中第n个式子，并化简．
【变式15-3】（2022·全国·八年级单元测试）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 23+1= 2(3−1)(3+1)(3−1)= 2(3−1)(3)2−1= 2(3−1)2= 3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab  3 ，求 a2  b2 ．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则 a 2  b2  (a  b)2  2ab  x2 2y  4 610．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：13+1+ 15+3+ 17+5+ ...+12019+2017；
（2）已知 m 是正整数， a m+1−mm+1+m，b m+1+mm+1−m且 2a2 1823ab  2b2  2019 ．求 m．
（3）已知15+x2−26−x2=1，则15+x2+26−x2的值为
【考点16 二次根式中的阅读理解类问题】
【例16】（2022·四川·乐山外国语学校九年级阶段练习）阅读下列短文，回答有关问题：
在实数这章中，遇到过2、3;9;12;a；这样的式子，我们把这样的式子叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数．如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开的尽方，可以利用a⋅b=a⋅b或者ab=ab将这些因数开出来，从而将二次根式化简．当一个二次根式的被开方数中不含开得尽方的因数或者被开方数中不含有分数时，这样的二次根式叫做最简二次根式，例如，13化成最简二次根式是33，27化成最简二次根式是33．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如上面的例子就是同类二次根式．
(1)请判断下列各式中，哪些是同类二次根式？2;75;18;150;127;3；
(2)二次根式中的同类二次根式可以像整式中的同类项一样合并，请计算：2+75−18−150+127−3．
【变式16-1】（2022·全国·八年级专题练习）阅读理解：
设m，n是有理数，且满m+5n=2−35，求nm的值．
解：由题意，移项得：m−2+n+35=0，
∵m，n是有理数
∴m－2，n＋3也是有理数，
又∵5是无理数，
∴m−2=0,n+3=0，∴m＝2，n＝－3，
∴nm=−32=9．
问题解决：
设a，b都是有理数，且a2+b2=16+52，求2a−5b的值．
【变式16-2】（2022·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）请阅读下列材料：
现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x>0)；依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=5，由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分制线，拼接出如图3所示的新正方形．
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．

(1)请计算出新正方形的边长；
(2)要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程．）
【变式16-3】（2022·河南商丘·八年级期中）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为整数），
则有a+b2=m2+2n2+2mn2．
∴a=m2+2n2，b=2mn．
这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为整数时，若a+b3=m+n32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=_________，b=_________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： ______+______3=(______+______3)2；
(3)若a+43=m+n32，且a、m、n均为正整数，求a的值？第一行
1
2
第二行
3
2
5
6
第三行
7
22
3
10
11
23
第四行
13
14
15
4
17
32
19
25
……