2023-2024学年云南省昆明二中九年级（下）开学数学试卷

这是一份2023-2024学年云南省昆明二中九年级（下）开学数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）滇池亦称昆明湖、昆明池、滇南泽、滇海，位于昆明市西山区，是云南省面积最大的高原湖泊，也是全国第六大淡水湖，有着“高原明珠”之称．滇池的蓄水量大约为1290000000立方米．数字1290000000用科学记数法可以表示为（ ）
A．1.29×109B．12.9×108
C．0.129×1010D．1.29×1010
2．（2分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）下列由4个大小相同的正方体搭成的几何体，从左面看得到的图形与其它几何体从左面看得到的图形不同的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）将一把直尺和一块含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆放，若∠1＝33°，则∠2为（ ）
A．63°B．107°C．117°D．120°
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3B．
C．（﹣2a）3＝﹣6a3D．a3•a2＝a5
6．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2分）一个凸多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°，则这个多边形是（ ）
A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形
8．（2分）已知点A（1，﹣3）关于y轴的对称点A′在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣
9．（2分）下列说法错误的是（ ）
A．为了解全省九年级学生每天完成作业的时间的情况，采用抽样调查
B．两条直线相交所形成的对顶角相等是必然事件
C．甲、乙两人各自测试坐位体前屈10次，若他们成绩的平均数相同，甲的成绩的方差为0.36，乙的成绩的方差为0.6，则乙的表现较甲更稳定
D．某种彩票的中奖率是0.0001%，表示该种彩票中奖的可能性非常小
10．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠BAC＝45°，⊙O半径为2，则劣弧的长为（ ）
A．B．4C．D．π
11．（2分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD＝6，CD＝3，CF＝2，则AE的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．（2分）按一定顺序排列的单项式：﹣2x，4x3，﹣8x5，16x7，﹣32x9，64x11，…，第n个单项式是（ ）
A．2nxn+1B．2nxn﹣1
C．（﹣2）nx2n﹣1D．（﹣2）nx2n+1
13．（2分）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＝2B．k≥2且k≠0C．k≤2D．k≤2且k≠0
14．（2分）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且MN＝BC，MD⊥BC交AB于点D，NE⊥BC交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设BM＝x，△BMD的面积减去△CNE的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分.
16．（2分）要使式子有意义，x的取值范围是 ．
17．（2分）分解因式：3x3+6x2+3x＝ ．
18．（2分）如果两个相似三角形的面积比为3：4，那么它们对应高之比为 ．
19．（2分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s，连接DE，设运动时间为ts（0＜t＜10），当△BDE与△ABC相似时，t的值为 s．
三、解答题：本题共8小题，共62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
20．（6分）计算：．
21．（7分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．
①求证：EC＝FD；
②若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．
22．（6分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）求图1中的m＝ ，本次调查数据的中位数是 h，本次调查数据的众数是 h；
（2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？
（3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
23．（7分）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日至2022年10月22日在北京胜利召开．为了增进全校学生对二十大有关知识的了解．某校团委举行了关于二十大知识的竞赛活动，最终A，B，C，D这四名同学在本次活动中获得了一等奖，其中A，B，C是女生，D是男生．
（1）若校团委决定从获得一等奖的这四名同学中随机选取一名同学在总结大会上发言，则选取的这名同学是女生的概率为 ；
（2）若校团委决定从获得一等奖的这四名同学中随机选取两名同学在总结大会上发言，请用列表或画树状图的方法求选取的两名同学是一名女生和一名男生的概率．
24．（8分）如图，在▱ABCD中，CD＝BD，DE平分∠BDC交BC于点O，交AB的延长线于点E，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是菱形；
（2）如果AB＝5，AD＝6，求四边形BECD的面积．
25．（8分）某市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉．经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）甲、乙两种花卉种植面积共1200m2，其中，甲种花卉的种植面积x满足300＜x≤800，怎样分配甲、乙两种花卉种植面积才能使种植费用最少？最少种植费用是多少？
26．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，延长AB至点D，使得∠DCB＝∠CAB，点E为的中点，连接CE交AB于点F，连接BE．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若CD＝4，，求CF•CE．
27．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C．二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点（不与端点O，B重合）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，过点M作y轴的平行线l交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E，记△CEF的面积为S1，△BMF的面积为S2，当时，求点E的坐标；
（3）如图②，连接CM，过点M作CM的垂线l1，过点B作BC的垂线l2，l1与l2交于点G，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．
2023-2024学年云南省昆明二中九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：1290000000＝1.29×109．
故选：A．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
2．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称；熟练掌握知识点是解题的关键．
3．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：A，C，D选项的左视图都是左边一列是一个小正方形，右边一列是两个小正方形，B选项的左视图都是左边一列是两个小正方形，右边一列是一个小正方形，所以只有B选项符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
4．【分析】根据直尺的两边平行得到∠1＝∠DAC，再利用三角形内角和定理即可解答．
【解答】解：∵EF∥GH，
∴∠1＝∠DAB，
∵∠1＝33°，
∴∠DAB＝33°，
∵∠C＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠C+∠DAB）＝117°，
∴∠2＝∠ADC＝117°，
故选C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
5．【分析】直接利用分式的加减运算法则、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．a6÷a2＝a4，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算错误，不符合题意；
D．a3•a2＝a5，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算法则、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3﹣x≥0，得：x≤3，
解不等式﹣2x﹣4＞0，得：x＜﹣2，
在数轴上表示为：．
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．【分析】设这个多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和多边形的外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n﹣2），依题意得：
180（n﹣2）＝360×3+180，
解得n＝9．
∴这个多边形是九边形．
故选：A．
【点评】本题考查根据多边形的内角和和外角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
8．【分析】根据对称性求出点A′的坐标，把点A′的坐标代入反比例函数y＝可求出k的值．
【解答】解：∵点A′与点A（1，﹣3）关于y轴的对称，
∴点A′（﹣1，﹣3），
∵点A′（﹣1，﹣3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝（﹣1）×（﹣3）＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的坐标变化、反比例函数图象上点的坐标特征等知识；求出点A′的坐标是解决问题的关键．
9．【分析】根据抽样调查与全面调查、随机事件、方差以及概率的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、为了解全省九年级学生每天完成作业的时间的情况，采用抽样调查，正确，不符合题意；
B、两条直线相交所形成的对顶角相等是必然事件，正确，不符合题意；
C、甲、乙两人各自测试坐位体前屈10次，若他们成绩的平均数相同，甲的成绩的方差为0.36，乙的成绩的方差为0.6，则甲更稳定，故本选项错误，符合题意；
D、某种彩票的中奖率是0.0001%，表示该种彩票中奖的可能性非常小，正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了抽样调查与全面调查、随机事件、方差以及概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
10．【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，易得∠BOC的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴的长为＝．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理，此题难度不大，利用圆周角定理得出∠OBC的度数是解决此题的关键．
11．【分析】由基本作图得到EF垂直平分AD，则AE＝DE，AF＝DF，EF⊥AD，再根据等腰三角形三线合一得到AE＝AF，则可判断四边形AEDF为菱形，所以DF∥AB，然后根据相似三角形的判定与性质可计算出AE．
【解答】解：由作法得EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，AF＝DF，EF⊥AD，
∵AD平分∠BAC，
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝DE＝DF，
∴四边形AEDF为菱形，
∴ED∥AC，
∴△BED∽△BAC，
∴＝，
∵BD＝6，CD＝3，CF＝2，
∴＝，
解得：ED＝4，
∴AE＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．
12．【分析】分别找到系数，符号以及字母的次数的规律，可解出本题．
【解答】解：第1个单项式是﹣2x＝（﹣2）1x2×1﹣1，
第2个单项式是4x3＝（﹣2）2x2×2﹣1，
第3个单项式是﹣8x5＝（﹣2）3x2×3﹣1，
第4个单项式是16x7＝（﹣2）4x2×4﹣1，
…，
第n个单项式是（﹣2）nx2n﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式的有关概念．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
13．【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，
∴（﹣4）2﹣4×2k≥0，且k≠0，
解得k≤2且k≠0，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．
14．【分析】设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．
【解答】解：设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，
根据题意，得：＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．
15．【分析】设：a＝BC，∠B＝∠C＝α，求出MN、CN、DM、AH、EN的长度，利用S＝S△BMD﹣S△CNE，即可求解．
【解答】解：过点A作AH⊥BC，交BC于点H，
则BH＝HC＝BC，设a＝BC，∠B＝∠C＝α，
则MN＝a，CN＝BC﹣MN﹣x＝2a﹣a﹣x＝a﹣x，
DM＝BMtanB＝x•tanα，AH＝BHtanB＝a•tanα，EN＝CN•tanC＝（a﹣x）tanα，
S＝S△BMD﹣S△CNE＝（BM•DM﹣CN•EN）＝（2x﹣a）＝a•tanα•x﹣，
其中，a•tanα、均为常数，故上述函数为一次函数，
故选：A．
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分.
16．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x﹣5≥0，进而得出答案．
【解答】解：要使式子有意义，则x﹣5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
17．【分析】先提取公因式．再利用完全平方公式．
【解答】解：原式＝3x（x2+2x+1）
＝3x（x+1）2．
故答案为：3x（x+1）2．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提取公因式法和完全平方公式是解决本题的关键．
18．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高线的比等于相似比解答．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为3：4，
∴相似比是：2，
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴对应高线的比为：2．
故答案为：：2．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
19．【分析】根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．
【解答】解：由题意得：BE＝AD＝tcm，则有BD＝（10﹣t）cm，
当△BDE与△ABC相似时，可分：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，
∴，即，
解得，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，
∴，即，
解得．
综上所述：当t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似，
故答案为或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．
三、解答题：本题共8小题，共62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
20．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝2﹣3+2×+1+2﹣
＝2﹣3++1+2﹣
＝2．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．【分析】①证明△AEC≌△BFD（SAS），可得结论；
②利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】①证明：∵AE∥FB，
∴∠A＝∠FBD，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（SAS），
∴EC＝FD．
②解：∵△AEC≌△BFD，
∴∠ACE＝∠D＝80°，
∴∠E＝180°﹣∠A﹣∠ACE＝180°﹣40°﹣80°＝60°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
22．【分析】（1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出m的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解；
（2）根据平均数的定义结合条形统计图即可求解；
（3）用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴m＝25，
调查的时间有：1，2，3，4，5，
本次调查数据的中位数是3，众数为3．
故答案为：25，3，3；
（2）此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是3小时；
（3）（人），
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选取的两名同学是一名女生和一名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）这四名同学中随机选取一名同学在总结大会上发言，选取的这名同学是女生的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中选取的两名同学是一名女生和一名男生的结果数为6，
所以选取的两名同学是一名女生和一名男生的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
24．【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的定义证出∠DEB＝∠BDE，则BD＝BE，可证出四边形BECD是平行四边形，由菱形的判定方法可得出结论；
（2）由菱形的性质证出∠ADE＝90°，由勾股定理可求出DE的长，根据菱形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠DEB，
∵DE平分∠BDC，
∴∠CDE＝∠BDE，
∴∠DEB＝∠BDE，
∴BD＝BE，
∵BD＝CD，
∴BE＝CD，
∵BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
又∵CD＝BD，
∴四边形BECD为菱形；
（2）解：∵四边形BECD为菱形，
∴BC⊥DE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝90°，
由（1）可知AB＝BE＝CD＝5，
∴AE＝10，
∴ED＝＝8，
又∵AD＝BC＝6，
∴四边形BECD的面积＝×6×8＝24．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
25．【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
（2）设甲种花卉种植为 x m2，则乙种花卉种植（1000﹣x ）m2，根据实际意义可以确定x的范围，结合种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．
【解答】解：（1）当0≤x≤300时，设y＝k1x，根据题意得300k1＝39000，
解得k1＝130，即y＝130x；
当x＞300时，设y＝k2x+b，根据题意得，
解得，
即y＝80x+15000，
∴y＝；
（2）甲种花卉种植为 xm2，则乙种花卉种植（1200﹣x）m2．
当300≤x≤800时，W＝80x+15000+100（1200﹣x）＝135000﹣20x．
∵﹣20＜0，W随x的增大而减小，当x＝800时，Wmin＝119000 元，此时乙种花卉种植面积为1200﹣800＝40m2．答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m2和400m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
26．【分析】（1）根据等腰三角形性质，同角的余角相等得出∠DCB+∠OCB＝90°，再根据切线的判定方法进行判断即可；
（2）利用直角三角形半径关系可求出AC，BC，再根据圆周角定理以及相似三角形的性质得出CE•CF＝AC•CB，代入计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
又∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：∵∠DAC＝∠DCB，∠D＝∠D，
∴△DCB∽△DAC，
∴＝＝＝tan∠A＝tan∠CEB＝，
∵CD＝4，
∴BD＝CD＝2，AD＝2CD＝8，
∴AB＝AD﹣BD＝6，
在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2BC，
∵AC2+CB2＝AB2，
即 （2CB）2+CB2＝62，
∴BC＝，AC＝，
∵点E为 的中点，
∴∠ACF＝∠ECB，
又∵∠CAF＝∠CEB，
∴△ACF∽△ECB，
∴，
∴CE•CF＝AC•CB
＝
＝．
【点评】本题考查切线的判定，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
27．【分析】（1）根据坐标轴交点特点利用一次函数求出B，C两点坐标，代入抛物线解析式即可得到答案；
（2）连接OF，设点M坐标为M（m，0），根据题意写出点F，E的坐标，表示出S1，S2，根据列等式求出m即可得到答案；
（3）过G作GN⊥x轴，根据垂直易得△COB∽△BNG，△COM∽△MNG根据对应成比例即可得到答案．
【解答】解：（1）在一次函数中，
当y＝0时，x＝3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
将B（3，0），C（0，3）代入抛物线得，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图①，连接OF，设点M坐标为M（m，0），
∵EM∥y轴，
∴点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点F的坐标为（m，﹣m+3），
由题意可得：S1＝S△OME+S△OCE﹣S△COF﹣S△OMF＝＝＝，，
∵，
∴，
解得：m1＝1，（不符合题意舍去），
∴E的坐标为（1，4）；
（3）如图②，过G作GN⊥x轴，由题意可得，
∵GM⊥CM，GB⊥CB，GN⊥x轴，∠COB＝90°，
∴∠OMC＝∠NGM，∠OCM＝∠NMG，∠OCB＝∠NBG，∠OBC＝∠NGB，
∴△COB∽△BNG，△COM∽△MNG，
∴，，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BN＝GN，OB＝OC，
∵CG2＝CM2+GM2，
∴，
设点G坐标为G（t+3，t），点M坐标为M（m，0），
可得，
解得：t＝m，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，设出动点坐标写出相关联的坐标，根据等量列式求解是解题的关键．