专题04 二次方程中的参数探究-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）

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类型一 仅利用韦达定理求参数
1．已知关于的方程的两个实数根的平方和是，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
设方程的两个实数根分别为m、n，根据根与系数的关系可得出m+n=-2k-1，mn=k2，结合m2+n2=7即可得出关于k的一元二次方程，解方程可得出k的值，再根据方程两个实数根，结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式可得出k的取值范围，由此即可确定k的值．
【详解】
设方程的两个实数根分别为m、n，则有：m+n=-2k-1，mn=k2，
∵m2+n2=（m+n）2-2mn=7，
∴（-2k-1）2-2k2=7，即k2+2k-3=0，
解得：k=-3或k=1．
∵方程有实数根，
∴△=（2k+1）2-4k2=4k+1≥0，
∴k≥-，
∴k=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系找出关于k的一元二次方程以及根据根的判别式找出关于k的一元一次不等式是解题的关键．
2．关于的方程两个实根满足，则的值为_______．
【答案】5或.
【解析】
【分析】
先判断一元二次方程根的情况，然后利用根与系数的关系，得到，，结合，通过变形求值，即可求出m的值.
【详解】
解：在方程中，有
，
∴原方程有两个不相等的实数根；
根据根与系数的关系，有：
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，；
故答案为：5或.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，以及完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系进行解题.
3．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则B．若，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则D．若，则0＜a＜1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k，
∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0，
又∵ab≠0，
∴a−b−1＝0，
即a＝b＋1，
∴ax2＋2ax＋a＝0，
解得：x1＝x2＝−1，
∴k＝−1，
∵＝，
∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0，
此时＞0，即；
当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0，
此时＜0，即；
故A、C错误；
当时，即＞0，
＞0，
解得：a＞1或a＜0，
故B错误；
当时，即＜0，
＜0，
解得：0＜a＜1，
故D正确
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．
4． 已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 .
（1）求的取值范围；
（2）若满足 ，求的值.
【答案】（1）m≤5；（2）4.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=20﹣4m≥0，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=6①、x1x2=m+4②，分x2≥0和x2＜0可找出3x1=x2+2③或3x1=﹣x2+2④，联立①③或①④求出x1、x2的值，进而可求出m的值．
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，
∴△=（﹣6）2﹣4（m+4）=20﹣4m≥0，
解得：m≤5，
∴m的取值范围为m≤5．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=6①，x1x2=m+4②．
∵3x1=|x2|+2，
当x2≥0时，有3x1=x2+2③，
联立①③解得：x1=2，x2=4，
∴8=m+4，m=4；
当x2＜0时，有3x1=﹣x2+2④，
联立①④解得：x1=﹣2，x2=8（不合题意，舍去）．
∴符合条件的m的值为4．
考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式.
5．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k＝1或k＝3；（3）k的值为﹣3或0
【解析】
【分析】
（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑：当k+1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k+1≠0时，根的判别式△=（k-3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；
（2）由方程有两个实数根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x1、x2的值，由x1=-1和x2为整数以及k为正整数，即可求出k的值；
（3）结合（2）的结论即可得出关于k的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．
【详解】
解：（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0，
解得：x=-1；
当k+1≠0，即k≠-1时，△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0，
∴方程有实数根，
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）∵方程有两个整数根，
∴，，且k≠﹣1，
∵x2为整数，k为正整数，
∴k=1或k=3；
（3）由（2）得x1=-1，，且k≠-1，
∴|x1-x2|=，
解得：k=-3或k=0，
经检验k=﹣3或k=0是原方程的解，
故k的值为﹣3或0．
【点睛】
本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑；（2）找出x1=﹣1，；（3）找出关于k的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．
类型二 根据根的范围求参数范围
6．关于的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数的取值范围是_______________.
【答案】或
【解析】
【分析】
分1-m2=0，1-m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．
【详解】
解：当1-m2=0时，m=±1，
当m=1时，可得2x-1=0，x=，符合题意；
当m=-1时，可得-2x-1=0，x=-，不符合题意；
当1-m2≠0时，（1-m2）x2+2mx-1=0，
即 [（1+m）x-1][（1-m）x+1]=0，
∴x1=，x2=-，
∵关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，
∴0＜＜1，解得m＞0，
0＜-＜1，解得m＞2，
综上可得，实数m的取值范围是m=1或m＞2．
故答案为m=1或m＞2．
【点睛】
考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1-m2=0，1-m2≠0两种情况讨论求解.
7．实数k取何值时，一元二次方程x2－(2k－3)x＋2k－4＝0：
(1)有两个正根；
(2)有两个异号根，并且正根的绝对值较大；
(3)一根大于3，一根小于3.
【答案】(1)见解析．（2）见解析，（3）见解析．
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理进行作答.（1）有两个正根时，x1＞0，x2＞0，即x1＋x2,x1x2.由此得到k的取值.（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大，即x1＞0，x2＜0且|x1|＞|x2|.即x1＋x2,x1x2.由此得到k的取值.（3）一根大于3，一根小于3时，即x1＞3，x2＜3. 则k应满足条件：(x1－3)(x2－3)＜0，即x1x2－3(x1＋x2)＋9＜0. 由此得到k的取值.
【详解】
解：∵Δ＝[－(2k－3)]2－4(2k－4)＝4k2－20k＋25＝(2k－5)2≥0，∴k取任何实数，方程都有两个实数根．设该方程的两根为x1，x2，则由韦达定理，得x1＋x2＝2k－3，x1x2＝2k－4.
(1)若使x1＞0，x2＞0，则k应满足条件：解得,∴当k＞2时，方程有两个正根．
(2)若使x1＞0，x2＜0且|x1|＞|x2|，则k应满足条件：解得,∴当＜k＜2时，两根异号，且正根的绝对值较大．
(3)若使x1＞3，x2＜3，则k应满足条件：(x1－3)(x2－3)＜0，即x1x2－3(x1＋x2)＋9＜0.∴2k－4－3(2k－3)＋9＜0，k＞.∴当k＞时，方程一根大于3，另一根小于3.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理是本题解题关键.
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12＋x22﹣8，试判断动点P（m，n）所形成的图象是否经过定点（﹣3，21），并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）经过定点（﹣3，21），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）计算一元二次方程的根的判别式，即可证明；
（2）根据一元二次方程的求根公式得出方程的两个根，继而列出不等式解不等式求解即可；
（3）先由一元二次方程根与系数的关系得出，代入n＝x12＋x22﹣8，，从而将动点P（m，n）仅用含m的代数式表示，再将点（﹣3，21）代入验证即可．
【详解】
（1）关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0，
，
该一元二次方程总有两个实数根；
（2）关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0，
，
该方程一个小于5的根，另一个根大于5，
解得
（3）
n＝x12＋x22﹣8
∴动点可表示为
当m＝-3时，
动点所形成的数图象经过点点．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；同时本题还考查了公式法求解方程及根与系数的关系的应用，以及点的坐标与函数的对应关系．
9．对于关于x的方程x2＋（2m﹣1）x＋4﹣2m＝0，求满足下列条件的m的取值范围，
（1）两个正根；
（2）有两个负根；
（3）两个根都小于﹣1；
（4）两个根都大于；
（5）一个根大于2，一个根小于2；
（6）两个根都在(0，2)内；
（7）两个根有且仅有一个在(0，2)内；
（8）一个根在(﹣2，0)内，另一个根在(1，3)内；
（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大；
（10）一个根小于2，一个根大于4．
【答案】（1）；（2）；（3）不存在符合此条件的；（4）；（5）；（6）不存在符合此条件的；（7）或；（8）不存在符合此条件的；（9）不存在符合此条件的；（10）．
【解析】
【分析】
先利用根的判别式求出方程有两实数根时的取值范围，再求出函数的对称轴，然后结合二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与轴的交点问题分别建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】
当有两个实数根时，
其根的判别式，即，
解得或，
设，
则此二次函数的对称轴为，且其与轴的交点的横坐标即为方程的根，
（1）当方程有两个正根时，
则当时，，且二次函数的对称轴大于0，
即，解得，
又或，
；
（2）当方程有两个负根时，
则当时，，且二次函数的对称轴小于0，
即，解得，
又或，
；
（3）当方程的两个根都小于时，
则当时，，且二次函数的对称轴小于，
即，此不等式组无解，
则不存在符合此条件的；
（4）当方程的两个根都大于时，
则当时，，且二次函数的对称轴大于，
即，解得，
又或，
；
（5）当方程的一个根大于2，一个根小于2时，
则当时，，
即，解得，
又或，
；
（6）当方程的两个根都在内时，
则当和时，，且二次函数的对称轴在内，
即，解得，
又或，
不存在；
（7）当方程的两个根有且仅有一个在内时，
则当时的值与时的值的乘积小于0，
即，解得或，
又或，
或；
（8）当方程的一个根在内，另一个根在内时，
则当时，；当时，；当时，；当时，，
即，此不等式组无解，
则不存在符合此条件的；
（9）当方程有一个正根，一个负根且正根绝对值较大时，
则当时，，且二次函数的对称轴大于0，
即，此不等式组无解，
则不存在符合此条件的；
（10）当方程的一个根小于2，一个根大于4时，
则当和时，，
即，解得，
又或，
．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组、根的判别式、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与轴的交点问题等知识点，将一元二次方程的根的问题与二次函数联系起来是解题关键．
类型三 其他型求参数范围
10．对于实数，定义运算“*”；关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，根据定义得到函数解析式，由方程的有三个不同的解去掉函数图象与直线y=t的交点有三个，即可确定t的取值范围.
【详解】
设，由定义得到
，
∵方程恰好有三个不相等的实数根，
∴函数的图象与直线y=t有三个不同的交点，
∵的最大值是
∴若方程恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是，
故选：C.
【点睛】
此题考查新定义的公式，抛物线与直线的交点与方程的解的关系，正确理解抛物线与直线的交点与方程的解的关系是解题的关键.
二、填空题(共0分)
11．已知关于x的方程，在内有两个不相等的实数根，则n的取值范围是___________________________．
【答案】-7＜n≤-5
【解析】
【分析】
根据“方程有两个不相等的实数根”求出n＞-7，解出方程，根据在内有两个不相等的实数根，求出n的取值，问题得解．
【详解】
解：原方程整理得，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴
∴n＞-7，
∴
∵方程在内有两个不相等的实数根，
∴，
解得n≤-5，n≤11，
∴n≤-5，
又∵n＞-7，
∴-7＜n≤-5．
故答案为：-7＜n≤-5
【点睛】
本题考查了含字母系数的一元二次方程，根的判别式，综合性较强，解题的关键是用公式法求出一元二次方程的两个根，根根据题意列出不等式．
12．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；③若两个根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x＝（p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 _____．
【答案】①③
【解析】
【分析】
由Δ＝1+4p2＞0，可判定①正确；设p＝0，可得x1＝3，x2＝2，可判断②不正确；根据（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣p2，（x1﹣3）（x2﹣3）＝﹣p2，可判定③正确；由（x﹣3）（x﹣2）＝（）2，可判定④不正确．
【详解】
解：由（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0得x2﹣5x+6﹣p2＝0，
①Δ＝25﹣4×（6﹣p2）＝1+4p2＞0，
∴（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0总有两个不等的实数根，故①正确；
②设p＝0，关于x的一元二次方程为（x﹣3）（x﹣2）＝0，若两个根为x1，x2，且x1＞x2，
则x1＝3，x2＝2，这与x1＞3不符合，故②不正确；
③若x2﹣5x+6﹣p2＝0两个根为x1，x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝6﹣p2，
（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝6﹣p2﹣2×5+4＝﹣p2，
（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1•x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣p2﹣3×5+9＝﹣p2，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3），故③正确；
④∵x＝（p为常数），
∴（x﹣3）（x﹣2）
＝x2﹣5x+6
＝
＝
＝
＝，
当p为奇数时，不是整数，此时（x﹣3）（x﹣2）不是完全平方数，故④不正确；
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念．