2023届北京市西城区北京师范大学附属中学高三上学期12月月考数学试题含解析

2023届北京市西城区北京师范大学附属中学高三上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】计算，再计算交集得到答案.

【详解】，，故.

故选：A

2．已知复数，则在复平面内对应的点位于(　 　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】由复数除法化简后写出出共轭复数，再由出其共轭复数，得出其对应点及象限．

【详解】，对应点坐标为，在第一象限．

故选：A

3．已知向量，且，则m=

A．−8 B．−6

C．6 D．8

【答案】D

【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．

【详解】∵，又，

∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．

故选D．

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．

4．下列说法中正确的是

A．平行于同一直线的两个平面平行 B．垂直于同一直线的两个平面平行

C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两个平面平行

【答案】B

【详解】平行于同一直线的两个平面可以平行、相交，故不正确，垂直于同一直线的两个平面平行正确，平行于同一平面的两条直线平行错误，因为也可以相交也可以是异面直线，垂直于同一平面的两个平面平行错误，因为也可以相交，故选B.

5．设为等差数列的前项和，若，则的最小项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意求得的通项公式，进而得的通项公式写成分段函数形式，分别研究各段的单调性可得结果.

【详解】由题意知： ,

∵ ，  ∴

又∵ ，∴ ，∴

∴ ，

∴当且，单调递减，当时，单调递增，

又∵ ， ，∴ ，

∴的最小项为.

故选：B.

6．已知双曲线的渐近线上存在点使为等边三角形（是原点），则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】A

【分析】计算渐近线为，根据题意得到，计算得到，，得到离心率.

【详解】渐近线为，，设经过一三象限的直线倾斜角为，，

则，故，

为等边三角形，渐近线的夹角为，故，

即，，，.

故选：A

7．已知正方体的棱长为是线段上的动点且，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】C

【分析】确定平面，再计算体积得到答案.

【详解】如图所示：连接与交于点，平面，平面，

故，，，故平面.

.

故选：C

8．已知实数满足，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意得到，举反例得到A错误；根据函数单调性得到B错误；计算得到C错误；设，，根据函数单调性计算最值得到D正确，得到答案.

【详解】，故，

对选项A：取，，，错误；

对选项B：，故，错误；

对选项C：即，不成立，错误；

对选项D：，设，，即，设，恒成立，函数单调递增，，故，正确.

故选：D

9．设，则“成等比数列”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用等比数列证明充分性，而举反例证明必要性不成立即可得解.

【详解】①若成等比数列，则，

所以

；

②若,

满足，

但是不满足成等比数列（因为等比数列中不能含有0）

“成等比数列”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

10．已知函数设，若关于的不等式恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】不等式转化为，考虑和两种情况，分别计算函数的最值得到范围.

【详解】不等式，即，

当时，，，

，时取等号，

，在上单调递减，，

所以；

当时，，即，

函数在上单调递减，故；

函数在上单调递增，， 所以.

 综上所述：.

故选：A

二、填空题

11．若抛物线经过点，则其准线方程是___________.

【答案】

【分析】把已知点坐标代入求得后可得准线方程．

【详解】由抛物线经过点，则，即，又抛物线的焦点在轴负半轴，故准线方程为．

故答案为：．

12．若函数在区间单调递增，则的最小值是___________.

【答案】##

【分析】先利用辅助角公式化简得，再利用正弦函数的性质求出的单调递增区间，即可求解.

【详解】,

令，

解得：，

令，得

可得在单调递增，

因为函数在区间单调递增

则，所以的最小值是，

故答案为：.

13．在直四棱柱中，当底面四边形满足条件___________.时，有.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.）

【答案】.

【分析】根据线面垂直判定和性质推理即可得解.

【详解】

如图所示:连接 , ,,

因为 平面 平面 , 所以 ,

因为 ,

所以BD 平面 .

因为 平面 ,

所以 .

因为 ,

所以 .

故答案为：.

14．如图，已知向量满足：，且.若则___________.

【答案】

【分析】设，计算，，，根据向量的运算法则得到答案.

【详解】设，，

，，故，，

，，

，

，

故，整理得到.

故答案为：

15．已知直线与圆相交于两点，与两条坐标轴分别交于两点.记的面积为，的面积为.给出下列四个结论：

① ；

② 存在，使；

③ ；

④ 存在，使.

其中所有正确结论的序号是___________.

【答案】① ② ③

【分析】确定直线过定点，，得到，③ 正确；利用均值不等式得到，① 正确；，② 正确；，④ 错误，得到答案.

【详解】直线，即，直线过定点.

取得到；取得到.

圆心到直线的距离为，

，当与垂直时等号成立，③ 正确；

，当，即时等号成立，满足，① 正确；

，当，即时等号成立，故② 正确；

若，则，，，不成立，故④ 错误.

故答案为：① ② ③

三、解答题

16．在中，.

(1)求；

(2)求边上的中线.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）计算，根据面积公式得到，再利用余弦定理计算得到答案.

（2）是中点，连接，根据余弦定理结合计算即可.

【详解】（1）因为，，故，

所以，解得，

故，故.

（2）如图所示，是中点，连接，

，，，

故，解得，即边上的中线为.

17．已知椭圆经过点和.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于两点，且坐标原点到直线的距离为，求证：以为直径的圆经过点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意可得所以，，解得，进而可得椭圆的方程．

（2）联立直线与椭圆的方程可得关于的一元二次方程，设，，，，由韦达定理得，，由点到直线的距离公式可得原点到直线的距离，解得，计算为0，即可得出结论．

【详解】（1）解：因为椭圆经过点，所以，

又因为椭圆经过点，所以，解得，

所以椭圆的方程为；

（2）证明：设,，,，

由，可得，

由题意，，即，

所以，，

因为原点到直线的距离为，所以，即，

因为

，

所以．

因此以为直径的圆过原点．

18．天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中．

（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；

（2）已知北京的纬度是北纬，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为颗，求的分布列和数学期望；

（3）记时10颗恒星的视星等的方差为，记时10颗恒星的视星等的方差为，判断与之间的大小关系．（结论不需要证明）

【答案】（1）；（2）分布列见解析；数学期望为；（3）．

【分析】（1）由图表数据可知有颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，由古典概型概率公式可计算得到结果；

（2）首先确定所有可能取值，利用超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可得期望；

（3）根据数据的波动程度可得方差大小关系.

【详解】（1）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件，

由图表可知：颗恒星有颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值．

．

（2）由图表知，有颗恒星的“赤纬”数值大于，有颗恒星的“赤纬”数值小于，则随机变量的所有可能取值为：，，，．

，，，．

随机变量的分布列为：

．

（3）结论：．

理由：当时，视星等的平均数为；当时，视星等的平均数为；可知当时，视星等的数值更集中在平均数附近，由此可知其方差更小.

【点睛】关键点点睛：本题第二问考查了服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解，关键是能够确定随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式计算得到每个取值对应的概率.

19．设函数.

(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；

(2)若存在两个极值点，且对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）求出，令，求解可得答案；

（2）令得，，当由可得，令，求导利用单调性可得答案； 当根据，令可得求解可得答案.

【详解】（1），

所以，解得；

（2），令得，

解得，或时且，

当即时，，对任意恒成立，

得可得，，

时成立，时，有在恒成立，

令，，所以在单调递减，

有，所以；

当即时，，对任意恒成立，求实数的取值范围，即在上恒成立，

因为，可得，

解得，

当即时，重合，不符合题意，

综上所述，或.

20．已知椭圆的左右焦点分别为，连接椭圆的四个顶点所成的四边形的周长为.

(1)求椭圆的方程和离心率；

(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点，求的值.

【答案】(1)标准方程：，离心率：.

(2)

【分析】（1）根据椭圆的焦距和椭圆的顶点四边形位置、数量关系结合关系即可求解；

（2）设而不求，假设直线方程后与椭圆联立，利用韦达定理和弦长公式整理即可得解.

【详解】（1）根据题意，

所以，

椭圆顶点围成的四边形周长为：，

所以，

又因为，

所以，，

故椭圆方程为：，

椭圆离心率为.

（2）①当直线PQ斜率不存在时，

|PQ|，|MN|，

此时.

②当直线PQ斜率为0时，

|PQ|，|MN|，

此时.

③当直线PQ斜率存在且不为0时，设直线PQ:，直线MN：

联立

所以

所以，

所以，

PQ

同理可得，.

此时.

综上所述，的值为.

21．对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S（A）．

（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；

（2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；

（3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【分析】（1）根据定义直接进行计算即可

（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明

（3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A中元素情况即可得到结论．

【详解】（1）若集合A={0，1，2}，则S（A）=T（A）={0，1，2，3，4}．

（2）令．不妨设．

充分性：设是公差为的等差数列．

则

且．所以共有2n-1个不同的值．即d（S（A））=2n-1．

必要性：若d（S（A））=2n-1．

因为．

所以S（A）中有2n-1个不同的元素：

任意（1≤i，j≤n） 的值都与上述某一项相等．

又，且．

所以，所以是等差数列，且公差不为0．

（3）首先证明：1∈A．假设1∉A，A中的元素均大于1，从而1∉S（A），

因此1∉T（A），1∉S（T（A）），故1∉T（T（A）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A））矛盾，因此1∈A．

设A的元素个数为n，S（A）的元素个数至多为C+n，从而T（A）的元素个数至多为C+n+n=．

若n=2，则T（A）元素个数至多为5，从而T（T（A））的元素个数至多为=20，

而T（T（A））中元素至少为26，因此n≥3．

假设A有三个元素，设，且，

则1，2，，，

从而1，2，3，4∈T（T（A））．若，T（T（A））中比4大的最小数为，则5∉T（T（A）），与题意矛盾，故≤5．

集合T（T（A））．中最大数为，由于26∈T（T（A）），故≥26，从而≥7，

（i）若A={1，a2，7}，且≤5．此时1，2，，+1，7，8，2，7+，14∈T（A），则有8+14=22，2×14=28∈T（T（A）），在22与28之间可能的数为14+2，21+．

此时23，24，25，26不能全在T（T（A））．中，不满足题意．

（ii）若A={1，，8}，且≤5．此时1，2，，+1，8，9，2，8+，16∈T（A），则有16+9=25∈T（T（A）），

若26∈T（T（A）），则16+2=26或16+（8+）=26，

解得=5或=2．

当A={1，2，8}时，15，21，23∉T（T（A））．不满足题意．

当A={1，2，8}时，

T（T（A））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．

故元素个数最少的集合A为{1，5，8}

【点睛】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．