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北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析）
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这是一份北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析），文件包含北京市海淀区2024届高三上学期期末练习数学试题Word版含解析docx、北京市海淀区2024届高三上学期期末练习数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线，直线，且，则（ ）
A. 1B. C. 4D.
4. 已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则（ ）
A. B. 4C. 5D.
5. 在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（ ）
A. 4B. 2C. D.
6. 已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（ ）
A. B.
C D.
7. 若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（ ）
A. 10B. C. 2D.
8. 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 已知是公比为的等比数列，为其前项和.若对任意的，恒成立，则（ ）
A. 是递增数列B. 是递减数列
C. 是递增数列D. 是递减数列
10. 蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成.设，，则上顶的面积为（ ）
（参考数据：，）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在的展开式中，的系数为__________.
12. 已知双曲线的一条渐近线为,则该双曲线的离心率为__________.
13. 已知点，，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；点到直线的距离为__________.
14. 已知无穷等差数列各项均为正数,公差为,则能使得为某一个等差数列的前项和的一组,的值为__________,__________.
15. 已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，，为线段的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 在中，.
（1）求大小；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长.
条件①：的面积为；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系.
19. 已知椭圆过点，焦距为.
（1）求椭圆的方程，并求其短轴长；
（2）过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点.设直线的斜率为，求的最大值.
20. 已知函数.
（1）当时，求证：
①当时，；
②函数有唯一极值点；
（2）若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值.
21. 对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中.记.设集合或，记为集合所含元素的个数.
（1）对以下两个数表，，写出，，，的值；
（2）若中恰有个正数，中恰有个正数.求证：；
（3）当时，求的最小值.场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
8
10
10
7
12
8
8
10
10
13
乙
9
13
8
12
14
11
7
9
12
10
丙
12
11
9
11
11
9
9
8
9
11
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线，直线，且，则（ ）
A. 1B. C. 4D.
4. 已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则（ ）
A. B. 4C. 5D.
5. 在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（ ）
A. 4B. 2C. D.
6. 已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（ ）
A. B.
C D.
7. 若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（ ）
A. 10B. C. 2D.
8. 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 已知是公比为的等比数列，为其前项和.若对任意的，恒成立，则（ ）
A. 是递增数列B. 是递减数列
C. 是递增数列D. 是递减数列
10. 蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成.设，，则上顶的面积为（ ）
（参考数据：，）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在的展开式中，的系数为__________.
12. 已知双曲线的一条渐近线为,则该双曲线的离心率为__________.
13. 已知点，，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；点到直线的距离为__________.
14. 已知无穷等差数列各项均为正数,公差为,则能使得为某一个等差数列的前项和的一组,的值为__________,__________.
15. 已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，，为线段的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 在中，.
（1）求大小；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长.
条件①：的面积为；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系.
19. 已知椭圆过点，焦距为.
（1）求椭圆的方程，并求其短轴长；
（2）过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点.设直线的斜率为，求的最大值.
20. 已知函数.
（1）当时，求证：
①当时，；
②函数有唯一极值点；
（2）若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值.
21. 对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中.记.设集合或，记为集合所含元素的个数.
（1）对以下两个数表，，写出，，，的值；
（2）若中恰有个正数，中恰有个正数.求证：；
（3）当时，求的最小值.场次
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甲
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乙
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10
丙
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