2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一下学期3月综合练习数学试题

这是一份2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一下学期3月综合练习数学试题，文件包含江苏省南京市中华中学高一下学期3月综合练习数学试题原卷版docx、江苏省南京市中华中学高一下学期3月综合练习数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】，
故选：C．
2. 在平面直角坐标系中，正方形对角线的两个端点坐标分别是，，则（ ）
A. 1B. C. 0D. 以上都可能
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的数量积的坐标运算求解即可．
【详解】根据题意，不妨设，则，所以，，
所以，
故选：B．
3. 已知为锐角，且，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由同角三角函数可得in（α），再利用两角差的正弦公式展开sinα＝sin[（α）]即可.
【详解】∵cs（α）（α为锐角），
∴α为锐角，
∴sin（α），
∴sinα＝sin[（α）]＝sin（α）cscs（α）sin
，
故选:B．
【点睛】本题考查了三角函数的同角公式和两角差的正弦公式，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.
4. 在中，点满足，则（ ）
A. 点在延长线上B. 不在直线上
C. 点在延长线上D. 点在线段上
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得到，根据加法的平行四边形法则即可求解
【详解】由，知，
可知，，三点共线且是中点，所以在延长线上．
故选：A
5. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用“切转弦”，把化简变形成，即可求出周期.
【详解】，
又由函数的周期，得到函数的最小正周期为.
故选：B
6. 已知中，，，则此三角形（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的数量积及模的运算即可得出结果.
【详解】设为中点,则可知,即为等腰三角形,
又,
所以,
故，所以．
综上可知三角形为等边三角形．
故选：B.
7. 求值：（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由为特殊角，
根据和差化积代入原式即可求解．
【详解】
.
故选C
【点睛】本题考查了三角函数化简求值，要掌握住和差化积公式．
8. 已知向量，，满足，在方向上的投影为2，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，向量的夹角为，可得，即可求出，不妨设，，设，由，整理可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，而，结合圆的性质，可求出的最小值.
【详解】设，向量的夹角为，则，则，
因为，所以.
不妨设，，设，
则，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，记圆心为，
又，即，
当直线过圆心，且垂直于轴时，可取得最小值，即.
故选：A.
【点睛】本题考查向量的模，考查向量的数量积及向量的投影，注意利用数形结合的方法，属于难题.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 单位向量都相等
C. 零向量的方向是任意的D. 任一向量都与它自身是平行向量
【答案】ACD
【解析】
【分析】依据向量相等的概念判断选项A；依据单位向量的定义判断选项B；依据零向量的定义判断选项C；依据平行向量定义判断选项D.
【详解】选项A：，，由相等向量定义可得，.判断正确；
选项B：任意两个单位向量模长相等，但方向不一定相同，因此不能说单位向量都相等.判断错误；
选项C：由零向量定义可知，零向量的方向是任意的.判断正确；
选项D：任一非零向量都与它自身是方向相同的向量，因而任一非零向量都与它自身是平行向量；而零向量与它自身也是平行向量.因而任一向量都与它自身是平行向量.判断正确.
故选：ACD
10. 下列选项中其值等于的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案．
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：BD.
11. 已知，，，则可能等于（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】ABC
【解析】
【分析】由，即，从而得到：，其中为向量的夹角，利用条件和的取值范围，可求出的取值范围，从而得出结果.
【详解】
即，所以，其中为向量的夹角，
又，，所以
又，所以,
得到：
故选：ABC
12. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，令，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 的最大值为
D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用二倍角公式化简可得，当时，根据余弦型函数值域求法可求得，由此可得，知A正确；通过反例可知B错误；根据区间长度为可知：当在上单调时，最大；当与关于对称轴对称时，最小，根据余弦函数单调区间和对称轴的求法可确定的范围和取值，由此确定的最值，知CD正误.
【详解】，
当时，；
对于A，当时，，
此时，，
，A正确；
对于B，若，则；
当时，，
，，
，B错误；
对于C，最小正周期，，
若取得最大值，则在上单调；
令，解得：，
的单调递增区间为；
当，即时，
，
，，
，；
令，解得：，
的单调递减区间为，
当，即时，
，
，，
，；
综上所述：，C错误；
对于D，若取得最小值，则与关于的对称轴对称；
令，解得：，
当时，，
；
令，解得：，
当时，，
；
综上所述：，D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值域和最值的求解问题，解题关键是能够根据余弦函数的性质，确定何种情况下能够取得最值，从而结合余弦型函数单调性和对称轴的求法得到的范围，进而确定的最值.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13. ，，．设，，，则______（用坐标表示）．
【答案】
【解析】
【分析】先求出的坐标，再利用向量坐标的加法、减法运算即可求出结果
【详解】因为，，，
所以，，，
所以
故答案为：（7，-34）
14. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二倍角的正弦公式及平方关系运算求解即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 已知向量，，若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用向量的线性运算的坐标表示及向量垂直的条件即可求解．
【详解】∵，∴，
又因为，，所以，，
∴，∴，
故答案：．
16. 如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系，得出，，利用向量的数量积运算得出，，根据二次函数性质即可求的最小值．
【详解】以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系，
则，，，
设点坐标为，则，，，
∴，
∴当时，，
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，．
（1）求；
（2）求及在上的投影向量的坐标．
【答案】（1）5 （2），在上的投影向量的坐标为.
【解析】
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算公式求解即可；
（2）首先根据投影计算公式求出在上的投影，进而求出在上的投影向量．
【小问1详解】
因为，，所以；
【小问2详解】
因为，，
所以，所以，
又，
所以在上的投影向量的坐标为．
18. （1）锐角三角形中，．，求的值．
（2）已知，，其中，.求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）首先求出，，再利用诱导公式和两角和与差的余弦公式即可；
（2）利用两角和与差的公式展开得到方程组，解出，两式相除即可证明.
【详解】（1）因为，，且，为锐角，
所以，
因为，所以
.
（2）因为，
所以所以，，
所以两式相除得，故.
19. 如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.
（1）用向量与表示向量，；
（2）若，求证：三点共线.
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由平面向量基本定理即可写出答案；
（2）由，即可写出，结合，可知，由此即可说明三点共线
【小问1详解】
∵，，
∴，
；
【小问2详解】
证明：∵，
∴与平行，
又∵与有公共点，
∴三点共线.
20. 已知
（1）将表示成的形式．
（2）求在上的最大值．
（3）求对称中心．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的二倍角公式及辅助角公式运算求解即可；
（2）由得，由正弦函数的图象可求其在上的最大值；
（3）根据正弦函数的对称中心为，进而可求的对称中心．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
因为，所以，
所以当时，有最大值为 ；
【小问3详解】
由，得
所以的对称中心为，．
21. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示．
（1）求与共线的单位向量的坐标；
（2）求∠OCM的余弦值；
（3）是否存在实数λ，使若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或；
（2）；
（3）存在；.
【解析】
【分析】（1）根据向量的坐标运算和单位向量的定义可求得答案；
（2）根据向量的夹角运算公式可求得答案；
（3）设，根据向量垂直的坐标表示可求得．分，讨论可求得的范围.
【小问1详解】
解：因为点，所以，
所以或；
【小问2详解】
解：由题意可得，
故．
【小问3详解】
解：设，其中．
若，则，即，可得．
若，则不存在，
若，则，
故．
22. 在锐角中，，点为的外心．
（1）若，求的最大值；
（2）若．
①求证：；
②求的取值范围．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②.
【解析】
【分析】（1）推导出，，由以及平面向量数量积的运算性质可得出，，求出、的表达式，再利用基本不等式可求得的最大值；
（2）①证明出，设与的夹角为，且，计算得出，可得出，即可证得结论成立；
②计算出的外接圆半径为，可得，求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质可求得的取值范围.
【小问1详解】
解：如下图所示：
取的中点，连接，则，
所以，，
同理可得，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，所以，，
即，所以，，①
，即，
所以，，②
联立①②可得，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
【小问2详解】
解：①因为，，则，
由圆的几何性质可得，所以，.
设的外接圆半径为，
所以，
所以，
又
而，则，
所以，，
所以
．
设与的夹角为，且，
则，
所以，即.
故，得证；
②因为，，，所以，，所以，.
其中，且为锐角，故，
由可得，
因为，可得，则，
则，且，
因为余弦函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，
所以，，
所以，，
所以，.
【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：
（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方；
（2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化；
（3）一些常见的等式应熟记：如，等.