江苏省南京市雨花台中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题

这是一份江苏省南京市雨花台中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题，共25页。试卷主要包含了已知向量不共线，，，若，则，已知，则，设，，，则有等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年南京市雨花台中学高一下6月月考一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量不共线，，，若，则　　A． B． C． D．3．在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是　　A．若，则为锐角三角形 B．若为锐角三角形，有，则 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰三角形4．设，是两个不同平面，，是两条不同直线，下列说法正确的是　　A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则5．已知，则　　A． B． C． D．6．设，，，则有　　A． B． C． D．7．古代数学名著《九章算术商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为　　A． B． C． D．418．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是　　A． B． C．4 D．二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）9．甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则　　A．事件、是相互独立事件 B．事件、是互斥事件 C．（A）（B）（C） D．10．某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是　　A．图中的 B．成绩不低于80分的职工约80人 C．200名职工的平均成绩是80分 D．若单位要表扬成绩由高到低前职工，则成绩87分的职工肯定能受到表扬11．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁．若向量，满足，，则　　A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为12．如图1，在边长为2的正方形中，，分别为，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得、、三点重合于点，得到四面体（如图．下列结论正确的是　　A．平面平面 B．四面体的体积的为 C．二面角正切值为 D．顶点在底面上的射影为的垂心三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，，则异面直线与所成的角是 　　．14．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为 　　．15．某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时的速度沿南偏东方向前进，若红方侦察艇以每小时的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，则角的余弦值为 　　．16．骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为 　　．四．解答题（共6小题，共70分）17．（10分）已知复数，，其中是虚数单位，．（1）若为纯虚数，求的值；（2）若，求的虚部．18．（12分）如图，，分别是的边，上的点，且，，交于．（1）若，求的值；（2）若，，，求的值．19．（12分）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间，上的最大值和最小值．20．（12分）某校有高中生3600人，其中男女生比例约为，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为172，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．身高（单位：，，，，，频数42064（1）根据图表信息，求，的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二总样本的均值及方差；（3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）21．（12分）如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点是的中点．（1）证明：；（2）求点到的距离；（3）求二面角的大小．22．（12分）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）求的取值范围．
2022-2023学年南京市雨花台中学高一下6月月考卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：由，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：．2．已知向量不共线，，，若，则　　A． B． C． D．【解答】解：向量不共线，，，，，，解得，．故选：．3．在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是　　A．若，则为锐角三角形 B．若为锐角三角形，有，则 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰三角形【解答】解：选项：由余弦定理可得，则为锐角，但是，的大小不清楚，故错误；选项：因为，则，且，，所以，即，故正确，选项：由余弦定理可得，因为，所以，故符号条件的三角形只有一个，故错误，选项：由正弦定理可得，即，所以或，则或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故错误，故选：．4．设，是两个不同平面，，是两条不同直线，下列说法正确的是　　A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则【解答】解：，是两个不同平面，，是两条不同直线，对于，若，，，则与相交或平行，故错误；对于，若，，，则与相交、平行或，故错误；对于，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故正确；对于，若，，，则由线面垂直、面面垂直的性质得，故错误．故选：．5．已知，则　　A． B． C． D．【解答】解：因为，所以，所以，所以，所以．故选：．6．设，，，则有　　A． B． C． D．【解答】解：，，．，即有：，故选：．7．古代数学名著《九章算术商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为　　A． B． C． D．41【解答】解：设外接球的半径为，所以，故，所以，设内切球的半径为，利用，解得，故，故外接球与内切球的表面积之比为．故选：．8．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是　　A． B． C．4 D．【解答】解：如图，正方体中，在平面的射影为，在平面的射影为，分别取中点，中点，利用三垂线定理得，，，所以平面．所以，点在正方体中过、、的截面上．分别取，，的中点、、，连接，，，，平面即为截面．在正方体中求得，所以正六边形的面积为．故选：．二．多选题（共4小题）9．甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则　　A．事件、是相互独立事件 B．事件、是互斥事件 C．（A）（B）（C） D．【解答】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，基本事件总数，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，则事件包含的基本事件有18个，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，（A），事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，则事件包含的基本事件有18个，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，（B），事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则事件包含的基本事件有18个，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，（C），事件包含的基本事件有9个，分别为：，，，，，，，，，，（A）（B），事件、是相互独立事件，故正确；事件与能同时发生，故事件与不是互斥事件，故错误；（A）（B）（C），故正确；包含的基本事件有9个，分别为：，，，，，，，，，．故错误．故选：．10．某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是　　A．图中的 B．成绩不低于80分的职工约80人 C．200名职工的平均成绩是80分 D．若单位要表扬成绩由高到低前职工，则成绩87分的职工肯定能受到表扬【解答】解：对于，解得，故正确；对于：成绩不低于80分的职工人数为，故正确；对于：平均成绩为，故错误；对于：第分位数为，故错误，故选：．11．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁．若向量，满足，，则　　A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为【解答】解：，，所以，解得，错误；设，的夹角为，则，由于，，与的夹角为，故正确；，故错误；在上的投影向量为，故正确．故选：．12．如图1，在边长为2的正方形中，，分别为，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得、、三点重合于点，得到四面体（如图．下列结论正确的是　　A．平面平面 B．四面体的体积的为 C．二面角正切值为 D．顶点在底面上的射影为的垂心【解答】解：如图，作的中点，连结、，过作的垂线交于点，连结，过作的垂线交于点，连结，由题知，所以，，所以，为平面与平面的二面角的平面角，又，平面，平面，，作法知，，平面，所以为锥体的高．所以为在平面上的射影，平面，所以，由作法知，，平面，平面，，为平面与平面的二面角的平面角，显然为锐角，故错；由题知平面，平面，，又，，，四面体的体积为，故正确；在直角三角形中：，故不正确；因为，，所以，，，，由对称性知，又，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）13．如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，，则异面直线与所成的角是 　　．【解答】解：取的中点，连接，，因为为的中点，为的中点，所以且，且，所以即为异面直线与所成的角或其补角，又，所以，所以，所以，所以为等腰直角三角形，所以；故答案为：．14．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为 　　．【解答】解：恰好进行了4局甲获胜的事件为：甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时．故答案为：．15．某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时的速度沿南偏东方向前进，若红方侦察艇以每小时的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，则角的余弦值为 　　．【解答】解：如图，设红方侦察艇经过小时后在处追上蓝方的小艇，则，，，根据余弦定理得，解得．故，．根据正弦定理，解得，即红方侦察艇所需要的时间为2小时，为锐角，角的余弦值为．故答案为：．16．骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为 　60　．【解答】解：方法一：以点为坐标原点，为轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，点在以为圆心，为半径的圆上，可设，，，，则当时，取得最大值．方法二：，则当与同向，即时，取得最大值为．四．解答题（共6小题）17．已知复数，，其中是虚数单位，．（1）若为纯虚数，求的值；（2）若，求的虚部．【解答】解：（1）由复数，，则．为纯虚数，且．则；（2）由，得，，解得，即，此时，，复数，复数的虚部为1．18．如图，，分别是的边，上的点，且，，交于．（1）若，求的值；（2）若，，，求的值．【解答】解：（1）因为；，；（2）过点作交于；则；；；；；，，，．19．已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间，上的最大值和最小值．【解答】解：（1）因为，故的最小正周期为；（2）当，，，，，，故函数在区间，上的最大值为，最小值为．20．某校有高中生3600人，其中男女生比例约为，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为172，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．身高（单位：，，，，，频数42064（1）根据图表信息，求，的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二总样本的均值及方差；（3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）【解答】解：（1）因为身高在区间，的频率为，频数20，所以，，所以身高在区间，的频率为，在区间，的频率为，由此可补充完整频率分布直方图：由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：；估计该校高中生的身高均值为；（2）男生样本记为，，，，其均值记为，方差记为；女生样本记为，，，，其均值记为，方差记为，则总样本均值，又因为，所以，同理可得，所以总样本方差；（3）用方案一比较合适，因为方案一是按比例抽取样本，所以样本的代表性比较强，能够更好地反映总体的情况．21．如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点是的中点．（1）证明：；（2）求点到的距离；（3）求二面角的大小．【解答】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为底面为矩形，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，点是的中点，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）解：在中，，所以，由（1）知，平面，所以，所以，同理可得，所以，设点到的距离为，则，所以，故点到的距离为．（3）解：由（1）知，平面，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以二面角与二面角是互余的，问题可转化为求二面角的大小，由（2）知，，，因为，所以，即，又，所以即为二面角的大小，因为，，所以，即二面角的大小为，故二面角的大小为．22．记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）求的取值范围．【解答】解：（1）由，，可得，则，整理得，解之得或，又，则，则，则；（2），为的内角，则，则由，可得，则、均为锐角，又，则，，则，则，则，令，则，又在单调递增，，（1），可得，则的取值范围为，则的取值范围为．