2024年中考数学数与式常考易错解答题专项训练

这是一份2024年中考数学数与式常考易错解答题专项训练，共26页。试卷主要包含了阅读以下材料，并解决问题，已知代数式，我们规定，阅读下列文字，定义等内容，欢迎下载使用。
欲求的值，可以按照如下步骤进行：
令①
等式两边同时乘以3，得②
由①得，，代入②中，得
解得，
所以，．
请解答下列问题：
（一）计算：（1） （2）
（二）数形结合：如图，由图（1）到图（2）是一个正方形衍生出两个小正方形，图（3）是图（2）中每个新生小正方形再衍生出两个正方形，……，按照这个的规律，图（6）中共有正方形的个数是（ ）
A． B． C． D．
（三）拓展运用：用上面学到的方法，将无限循环小数．写成分数形式（写出解答过程）．
2．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点．
(1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______；
(2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______；
(3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？
3．一个不透明的纸箱里有三张完全相同的卡片，它们上面分别写着，小丽从中抽取一张，看完数后，把卡片放回，搅均，然后小明再从中抽取一张．
(1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
(2)同学小颖帮他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积为有理数，则小丽获胜：否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
4．已知在平面直角坐标系内的位置如图，，，、的长满足关系式．
(1)求、的长；
(2)求点B的坐标；
(3)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
5．已知代数式．
(1)化简（结果用含的式子表示）；
(2)若满足，求的值；
6．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”．例如：的解为，则方程是“差解方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______；
(2)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______；
(3)已知关于的一元一次方程和都是“差解方程”．求代数式的值．
7．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______；
(2)解决问题：如果，，求的值；
(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
8．定义：是不为的有理数，把定义为的“和差分数”，如的和差分数为，的和差分数为．已知，的和差分数为，的和差分数为，的和差分数为，，求的值．
9．有三部打卡机，第一部打卡机能根据原有卡片上的号码，打印出一张号码为的新卡片；第二部打卡机能根据原有卡片上的号码为偶数），打印出一张号码为的新卡片；第三部打卡机能根据两张号码分别为和的卡片，打印出一张号码为的新卡片．所有卡片均可重复使用．现有一张号码为的卡片，请问：利用这三部打卡机，能否得到号码为的卡片？如果能，给出一种方法；如果不能，说明理由．
10．在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，这样才能提高我们解决问题的能力：规律发现：在学完《数轴》这节课后，小明的作业有两道小题，请你帮他把余下的两空完成：
(1)若点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______．
(2)直接运用：将数轴按如图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为，则值为______，若将从图中位置向右滚动，则数字2014对应点将与的顶点重合．
(3)类比迁移：如图（2）：，，，若射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？
11．已知抛物线交轴于、，交轴于，点是第四象限内抛物线上的一个动点．
(1)求，的值；
(2)①若为整数，且的值也为整数，请求出满足条件的点的坐标；
②若点在该抛物线上，且，，求的值．
12．对于三个数a、b、c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中的最大数；即，例如；若满足，则，例如，，根据上述材料，完成下列问题：
(1) ；若，则x的取值范围为 ；
(2)若，求x的值．
13．学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式，所以，则．
(1)若多项式的值与x的取值无关，求a的值；
(2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系．
14．在学习乘法公式的运用时，我们常用配方法求最值．
例如：求代数式的最小值．总结出如下解答方法：
解：
∵≥0，∴当时，的值最小，最小值是0，
∴≥1，∴当时，的值最小，最小值是1，
∴的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)填空：；
(2)若，当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
(3)已知a、b、c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，判断的形状，并说明理由．
15．我们用一个数对表示从左到右排列的两个数，把变换成称为1次“移轴变换”．例如∶经过1次“移轴变换”变成，即为，再经过1次“移轴变换”变成．
(1)把先经过1次“移轴变换”变成[_____，_____]，再连续经过3次“移轴变换”变成[_____，_____]；
(2)把连续经过2023次“移轴变换”变成，求的值；
(3)若经过1次、2次、3次、…、k次（k为正整数）“移轴变换”所得的k个数对中，左边所有数的和与x的取值无关，则k的取值可能为____．（填序号）
① 2024；②2027；③2030；④2031．
16．符号表示一种新运算，运算示例如下：
，，，，…
符号表示另一种新运算，运算示例如下：
，，，，…
利用以上新运算，回答下列问题：
(1)______，______，______，______；
(2)比较与的大小．
参考答案：
1．（一）（1）；（2）；（二）D；（三）．
【分析】（一）（1）根据已知先求出，再相减，即可得出答案；（2）等式两边同时乘以2，两式相减可得答案；
（二）观察图形，可得规律第n个图形中正方形的个数为，代入计算即可；
（三）设，则，可得，然后解方程即可；
【详解】解：（一）（1）令①，
等式两边同时乘以5，得②，
得，
解得，，
；
（2）解：
令①
等式两边同时乘以2，得②．
得，
所以
（二）观察图形得，
第1 个图形有正方形个数为：
第2 个图形有正方形个数为：
第3个图形有正方形个数为：
第4个图形有正方形个数为：
⋯
第n个图形有正方形个数为：
∴图（6）中共有正方形的个数是,
故选：D；
（三）拓展运用：
解：设
则．
即
即
解得
即
2．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
（1）根据绝对值和二次方的非负性求出的值即可得到答案；
（2）设未知数，分类讨论接触一元一次方程解题即可；
（3）分情况进行讨论列式计算即可．
【详解】（1）解：，
，
点表示的数为，点表示的数为，
线段的长为，
故答案为：；
（2）解：设点在数轴上表示的数为，
①当点在中间，，，
，
，
解得；
②当点在点左边，，，
，
，
解得；
③当点在点右边，不符合题意；
故答案为：或．
（3）解：①当点位于木棒左侧时，，
解得，
②当点位于木棒左侧时，，
解得，
当点到达点时，木棒与点同时停止移动，
，
故舍去，
故点移动的时间为秒．
3．(1)
(2)不公平，对小丽有利．理由见解析
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可求得答案；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可，若不相等，则不公平，概率大的则有利．
【详解】（1）依题意得：P（小丽取出的卡片恰好是）；
（2）列表如下：
从表格中可以看出共有9个等可能的结果，而数字之积为有理数有5个
∴P（小丽获胜），P（小明获胜）
，
∴对小丽有利．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．(1)，
(2)
(3)存在，点P的坐标为或，
【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，分类讨论思想．
（1）根据绝对值和平方的非负性，即可求解；
（2）过点B作轴于点D，则，又，因此，通过“”证明，得到，，从而，即可得到点B的坐标；
（3）分三种情况讨论，①当点P在x轴的负半轴时，，②当点P在x轴的负半轴时，，③当点P在x轴的正半轴时，．分别求解即可．
【详解】（1）∵，，且，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）过点B作轴于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴点B的坐标为；
（3）存在．
①当点P在x轴的负半轴时，若，则为等腰三角形，
由对称性可得点P的坐标为；
②当点P在x轴的负半轴时，若，则为等腰三角形，
此时，
∴点P的坐标为；
③当点P在x轴的正半轴时，若，则为等腰三角形，
此时，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或，．
5．(1)
(2)；7
【分析】本题主要考查了整式的加减、非负数的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）把代入计算即可；
（2）先根据非负数的性质求出x，y的值，然后代入（1）中化简的结果计算．
【详解】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴原式．
6．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出方程的解，由“差解方程”的意义得到关于m的方程，解之即可求得m；
（2）先求出方程的解，由“差解方程”的意义得到关于a，b的等式，整体求出，再整体代入所求代数式中即可求值；
（3）先求出两个方程的解，由“差解方程”的意义分别得到关于m，n的等式，整体求出，再整体代入所求代数式中即可求值．
【详解】（1）解：解关于的一元一次方程，得，
由于是“差解方程”，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）解：解关于的一元一次方程，得：，
由于关于的一元一次方程即是“差解方程”，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：18；
（3）解：由，解得，
由题意得：，
解得：；
由，解得，
由题意得：，
解得：，
∴
．
7．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）分别用大正方形边长的平方、4个图形的面积之和两种不同的方法表示大正方形的面积，二者相等即可得到一个等式；
（2）将等号两边同时平方，根据（1）中得到的等式求解即可；
（3）设，，则，求出即可得解．
【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
，
故答案为：；
（2）解：，，
；
（3）解：设，，
长方形的两邻边分别是，
，
，
，
，
这个长方形的面积．
8．
【分析】本题考查了新定义运算，根据新定义，分别算出的值，找到规律即可求解，根据新定义运算找到规律是解题的关键．
【详解】解：，，，，，个数一个周期，
而，
．
9．不能，见解析
【分析】本题考查了数字类规律探究，发现规律是解答本题的关键．根据对卡片，每次操作之后，卡片上的号码差都是5的倍数即可求解．
【详解】解：不能，证明如下：
（1）卡片卡片，差为；
（2）卡片卡片，差为，其中（为偶数）；
（3）卡片卡片，差为．
所以对卡片，每次操作之后，卡片上的号码差都是5的倍数，
而，不是5的倍数，所以不能．
答：由卡片不能得到．
10．(1)
(2)
(3)秒，秒或
【分析】（1）根据数轴上两点距离即可求解；
（2）设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据题意建立方程，解方程即可求解；得出故表示的数为：，点表示的数为：，进而得出等边三角形的边长为1，找到规律数字2014对应的点将与的顶点重合；
（3）分是与的角平分线，是与的角平分线，是与的角平分线，三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为；
故答案为：；
（2）将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
；
，
解得：．
故表示的数为：，
点表示的数为：，
即等边三角形边长为1，
数字2014对应的点与的距离为：，
，从出发到2014点滚动672周后再滚动两次，
数字2014对应的点将与的顶点重合．
故答案为：，；
（3），，，
，
经分析知2秒时与重合，所以在2秒以前设运动秒时，是与的角平分线，
解得．
经分析知2秒时与重合，秒时与重合，所以在秒到秒间，是与的角平分线，设运动秒时，
3秒时与重合，所以在3秒以前设运动秒时，是与的角平分线，
解得．
4秒时与直线重合，设3秒后4秒前运动秒时是与的角平分线，
解得（舍去）．
故运动秒，秒或秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线．
【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
11．(1)
(2)①；②2024
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①利用题意和分式有意义的条件求得m值，再利用二次函数的解析式解答即可；②利用已知条件求得m，n的值，再代入运算即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于、，
∴，解得：，
（2）解：①由（1）得：抛物线解析式为，
∵点是第四象限内抛物线上的一个动点．
∴，
∵为整数，且的值也为整数，
∴，
当时，，
∴满足条件的点的坐标为；
②∵点在该抛物线上，点是第四象限内抛物线上的一个动点．，
∴轴，，且直线与抛物线交于点M，N，
∵，
∴，即
∴方程，即的实数根为m，n，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一元二次方程与二次函数的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．(1)1，
(2)，
【分析】（1）利用规定的运算方法直接计算或比较得出答案即可；
（2）根据规定的运算方法建立方程，求解即可；
【详解】（1）解：；
∵
∴或
∴或
∴．
（2）解：∵
∴，
∵
∴
化简整理得：
解得：，．
【点睛】本题考查新定义，平均数，解不等式组，解一元二次方程．解题关键是根据新定义，列出不等式组与一元二次方程．
13．(1)
(2)
【分析】本题主要考查合并同类项，代数式求值，熟练掌握合并同类项是解题的关键．
（1）根据题意得到即可得到答案；
（2）设，根据题意列出代数式，在根据题意得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
多项式的值与x的取值无关，
，
；
（2）解：设，
由题意得，
，
的值与无关，
，
．
14．(1)
(2)，小，
(3)是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查了完全平方公式，不等式的性质，等腰三角形的定义．熟练掌握完全平方公式，不等式的性质，等腰三角形的定义是解题的关键．
（1）根据完全平方公式求解作答即可；
（2）利用完全平方公式、不等式的性质求解作答即可；
（3）由题意得，则，由，可得，根据，判断作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
故答案为：；
（2）解：，
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0，
∴，
∴当时，的值最小，最小值是；
故答案为：，小，；
（3）解：∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴的最大值为4，即，
∵，
∴是等腰三角形．
15．(1)，
(2)
(3)①
【分析】本题考查的是有理数的加法以及整式的运算，根据题意找出数字的变化规律是解答此题的关键．
（1）根据题意进行一步步变换即可．
（2）根据题意进行一步步变换找出规律即可．
（3）根据题意进行一步步变换找出规律即可．
【详解】（1）解：由题意可得：经过1次“移轴变换”：
经过2次“移轴变换”：
经过3次“移轴变换”：
（2）解：由题意可得：经过1次“移轴变换”：
经过2次“移轴变换”：
经过3次“移轴变换”：
经过4次“移轴变换”：
经过5次“移轴变换”：
……

∴连续经过2023次“移轴变换”
∵连续经过2023次“移轴变换”变成
∴
∴
（3）解：由题意可得：经过1次“移轴变换”：
经过2次“移轴变换”：
经过3次“移轴变换”：
经过4次“移轴变换”：
经过5次“移轴变换”：
经过6次“移轴变换”：
经过7次“移轴变换”：
经过8次“移轴变换”：
……
∵左边所有数的和与x的取值无关，
∴ 的余数为0或1
∵，，，
∴k的取值可能为2024
16．(1)，，，；
(2)．
【分析】（）观察各运算示例可得，，据此可解答；
（）根据（）的结果，代入进行整式运算即可；
本题考查数字的变化规律，新定义，解题的关键是正确理解题意，找出关系式．
【详解】（1）∵，，，，…
∴；
∵，，，，…
∴，
∴，，
，，
故答案为：，，，；
（2）由（）得：，，
，，
，
，
，
∴．
小丽
小明