2024年中考数学方程与不等式常考易错解答题专项训练

这是一份2024年中考数学方程与不等式常考易错解答题专项训练，共25页。试卷主要包含了定义新运算“”等内容，欢迎下载使用。
(1)求m的取值范围；
(2)设，是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值？并求这个最小值．
2．如图，在数轴上，O为原点，A，B分别表示有理数a，b，且．
(1)______，______，______；
(2)若数轴上的点C满足，且C在B的右侧，求C表示的数；
(3)点P从B点出发以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动到O点时，点Q开始从B点出发以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，当P，Q两点相距4个单位长度时，求t的值．
3．定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：．
(1)求关于x的方程的根；
(2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围．
4．“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段．某主播小红在直播间销售一种进价为每件20元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系（注：在计算利润时，不考虑快递费用等其他因素）．
(1)设小红每天的销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式（要求函数关系式化为一般式，并写出自变量x的取值范围）；
(2)若小红每天想获得的销售利润w为750元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
(3)当销售单价定为多少元时，每天销售该商品获得利润最大，并求出最大销售利润．
5．米粉是长沙的特色美食，五一广场某小吃店推出两款米粉，一款是“经典手工酸辣粉”，另一款是“牛肉哨子粉”，已知2份“经典手工酸辣粉”和3份“牛肉哨子粉”需56元；4份“经典手工酸辣粉”和5份“牛肉哨子粉”需100元．
(1)求“经典手工酸辣粉”和“牛肉哨子粉”的单价；
(2)红薯粉条是制作辣粉的原材料之一，该小吃店老板发现今年第三季度平均每千克红薯粉条的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉条数量少了10千克，求第三季度红薯粉条的单价．
6．如图，已知数轴上原点用点表示，点表示的数为，在的右边，且与的距离是5，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，若点、同时出发，设运动时间为秒．
(1)求数轴上点表示的数和与点的距离为3的点表示的数；
(2)求当为何值时，、两点到原点的距离相等．
7．已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：．

(1)则___________，___________；
(2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”．
①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数；
②点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，当点P、Q相遇则停止运动．设运动时间为t秒，若整个运动过程中，B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求t值．
8．如图，在边长为正方形纸板，四个角都剪去边长为的小正方形纸片，再把剩下的纸片延虚线折叠成一个无盖的长方体纸盒．
(1)长方体纸盒的底面边长为______（用含，的式子表示）
(2)若剪下的四个小正方形纸片拼成一个大正方形，恰好可作为纸盒的盖，当长方体的体积为时，求的值．
9．要制作200个两种规格的顶部无盖木盒，种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，种规格是长、宽、高各为的长方体无盖木盒（如图1）；现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式（如图2）． 切割、拼接等板材损耗忽略不计．
(1)设制作种木盒个，则制作种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材张，则使用乙种方式切割的木板材__________张；
(2)若200张木板材恰好能做成200个两种规格的无盖木盒，请分别求出木盒的个数和使用甲、乙两种方式切割的木板材张数；
(3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元． 根据市场调研，种木盒的销售单价定为元，种木盒的销售单价定为元，在（2）的条件下，请直接写出这批木盒的销售利润（用含的式子表示）．
10．将整数1，2，3……2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“”框出任意的5个数，如果用，，，，表示类似“”形框中的5个数．其中．
(1)直接用等式表示，，，，这5个数之间的关系．
(2)若．求的值．
(3)框出的五个数中，，，，的和能否等于吗？若能，求出的值，若不能，请说明理由．
11．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根中，有一个实数根大于，另一个实数根小于，求的取值范围．
12．一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度加长或缩短（挎带的长度是单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）．设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量，得到如下数据：
(1)根据表中数据的规律，完成以上表格，并直接写出y关于x的函数解析式；
(2)若挎带的长度为时，请求出此时单层部分的长度；
(3)设挎带的长度为，求a的取值范围．
13．关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果原方程的两根分别为、，且的值为12，求k的值．
14．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”.
(1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：______
(2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值.
15．若一个正整数是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“进步数”，为的“进步起点”．例如，，则35是“进步数”，5为35的“进步起点”．
(1)是“进步数”，它的“进步起点”为1，则_______；是8的“进步起点”，则______；
(2)把“进步数”与“进步数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“进步数”的“进步起点”为，“进步数”的“进步起点”为，当时，求的值．
(3)若（为整数），试探究是否是“进步数”，请说明理由．
16．【问题提出】观察一下生活中小蜜蜂修建的六边形蜂巢，它们按照一定规律，如何用含的式子表示第个图形的蜂巢中六边形的总数呢？
【分析思路】我们可以把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律．如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用表示第个图形蜂巢中六边形的总数）．
【解决问题】
（1）如图，如果把每个图形按照它的新增六边形观察，你发现了这些六边形的排布规律了吗？像的情形那样，请用数学算式表达你发现的规律．
______；
（2）用含的式子表示第个图形的蜂巢的总数______；
（3）请问有可能是2024吗？如果可以，请求出，如果不可以，请说明理由．
单层部分的长度
…
100
90
80
50
…
双层部分的长度
…
15
20
25
35
…
参考答案：
1．(1)
(2)当时，有最小值，最小值是
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，求二次函数最值问题；
（1）由方程有两个实数根得，代入解不等式，即可求解；
（2）由根于系数的关系得，，代入，利用二次函数性质求解即可；
掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴
，
，
∴，
∴实数m的取值范围为；
（2）解：∵，
，
∴
，，
∴当时，
，
∴当时，有最小值，最小值是．
2．(1)30；；36
(2)点在数轴上表示的数为6
(3)当为4秒或7秒或11秒时，、两点相距4个单位长度
【分析】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可．
（2）设点C表示的数为x，根据点C在点B的右侧列方程计算即可；
（3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，分三种情况：当点Q还没有运动时，当点Q开始运动后，点在点的右侧，点在点的左侧时，分别列出方程进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，，
解得，，
．
故答案为：30；；36．
（2）解：设点C表示的数为x，
∵点在点B的右侧，
∴，
，
∴，
解得；
∴点在数轴上表示的数为6．
（3）解：经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，
当点Q还没有运动时，点P运动4秒后，点P距离点B为4个单位，即此时点P与点Q距离4个单位；
当点Q开始运动后，点在点的右侧时，，解得：；
当点Q开始运动后，点在点的左侧时，，解得：；
综上所述：当为4秒或7秒或11秒时，、两点相距4个单位长度．
【点睛】本题主要考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，非负数的性质，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键．
3．(1)，
(2)且
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．明确新定义的运算规则是解题的关键．
（1）由新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，解方程即可；
（2）按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，在利用根的判别式进行求解即可解决．
【详解】（1），
，
．
，
，
，
（2）
，
整理得：．
方程有两个实数根，
且，
解得：且
4．(1)
(2)25；
(3)销售单价定为30元时，每天销售该商品获得利润最大，最大销售利润为1000元．
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键．
（1）根据利润=数量乘以单件的利润即可；
（2）把代入（1）的解析式求解即可；
（3）化为顶点式，利用二次函数的性质求解．
【详解】（1）由题意得：．
当时，，
∴，
∴；
（2）由题意，令，
∴，
解得：．
又∵尽可能地减少库存，
∴．
答：应将销售单价定为25元；
（3），
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为1000，
∴当销售单价定为30元时，每天销售该商品获得利润最大，最大销售利润为1000元．
5．(1)“经典手工酸辣粉”的单价为元，“牛肉哨子粉”的单价为元；
(2)第三季度红薯粉条的单价为元/千克．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，根据题意正确列方程（组）是解题关键．
（1）设“经典手工酸辣粉”的单价为元，“牛肉哨子粉”的单价为元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设第二季度红薯粉条的单价为元/千克，则第三季度红薯粉条的单价为元/千克，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案．
【详解】（1）解：设“经典手工酸辣粉”的单价为元，“牛肉哨子粉”的单价为元，
由题意得：，解得：，
答：“经典手工酸辣粉”的单价为元，“牛肉哨子粉”的单价为元，
（2）解：设第二季度红薯粉条的单价为元/千克，则第三季度红薯粉条的单价为元/千克，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：第三季度红薯粉条的单价为元/千克．
6．(1)点表示的数为，与点的距离为3的点表示的数是0或6
(2)当秒或秒时，、两点到原点的距离相等
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据点表示的数为，在的右边，且与的距离是5即可得出点表示的数，根据数轴上两点间的距离公式即可得出与点的距离为3的点表示的数；
（2）由题意得出当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，再结合、两点到原点的距离相等得出，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：点表示的数为，在的右边，且与的距离是5，
点表示的数为，
，，
与点的距离为3的点表示的数是0或6；
（2）解：动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，
当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
、两点到原点的距离相等，
，
或，
解得：或，
当秒或秒时，、两点到原点的距离相等．
7．(1)，12；
(2)①6或0；②3或4或或．
【分析】（1）根据绝对值及偶次方的非负性解答即可；
（2）①设数轴上点M表示的数为x，由题意得或，根据数轴上两点之间的距离公式列出关于x的方程解答；
②由题意得点P表示的数为，点Q表示的数为，根据当P、Q相遇时求出t的取值范围，再分两种情况：当点B是P、Q的“友好点”时，有，或；当点P是B、Q的“友好点”时，有或，根据数轴上两点之间的距离公式列出关于x的方程解答．
【详解】（1）∵，且，
∴，
∴
∴，
故答案为：，12．
（2）①设数轴上点M表示的数为x，
由题意得或，
∴或，
解得或，
∴数轴上点M对应的有理数是6或0；
②由题意得点P表示的数为，点Q表示的数为，
∴当P、Q相遇时，，
解得，
∴，
当点B是P、Q的“友好点”时，有（如图1），或（如图2）

或，
解得或，
此时，P表示的数为6或10，均在B的左侧，符合题意；
当点P是B、Q的“友好点”时，有（如图3）或（如图4），

∴或，
解得或，
综上，当B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”时，t的值为3或4或或．
【点睛】本题考查了新定义，数轴的应用，一元一次方程的应用，绝对值及偶次方的非负性等知识，分类讨论是解题关键．
8．(1)
(2)8
【分析】本题考查列代数式、二元一次方程组的应用等知识点，用代数式表示折叠长方体的长、宽、高以及体积是解题的关键．
（1）由折叠的方法表示出底面正方形的边长即可；
（2）先表示出正方体的长、宽、高，然后再表示长方体的体积以及四个小正方形的面积等于长方体的底面积列方程组求解即可．
【详解】（1）解：由左图的折叠方法可得底面是边长为的正方形．
故答案为：．
（2）解：由题意可知：长方体的：长和宽为：，高为，
则有：，解得：，
所以．
9．(1)，
(2)故制作种木盒100个，制作种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张．
(3)
【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程组求解．
（1）根据制作200个两种规格的顶部无盖木盒，现有200张规格为的木板材，即可解答；
（2）根据使用甲种方式切割的木板材张，使用乙种方式切割的木板材张，得出可切割出张的木板材，张的木板材，再根据一个规格A的盒子需要5张的木板材，一个规格B的盒子需要1张的木板材和4张的木板材，列出方程组求解即可；
（3）根据总利润=销售额总成本，即可解答．
【详解】（1）解：∵制作200个两种规格的顶部无盖木盒，制作种木盒个，
∴制作种木盒个，
∵现有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材张，
∴使用乙种方式切割的木板材张，
故答案为：，；
（2）解：∵使用甲种方式切割的木板材张，使用乙种方式切割的木板材张，
∴可切割出张的木板材，张的木板材，
一个规格A的盒子需要5张的木板材，一个规格B的盒子需要1张的木板材和4张的木板材；
∴，
解得：，
∴，
答：故制作种木盒100个，制作种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张．
（3）解：，
整理为：．
10．(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查有理数的加减运算、整式的运算和一元一次方程的应用；
（1）分别找到，，，与的关系，依次建立，，的等式，再建立，，的等式即可得到答案；
（2）分别建立，，，关于的等式，代入计算即可得到答案；
（3）根据，，，的和等于建立等式计算出的值，再验证该数所在的列数即可进行判断．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴；
（3）解：若，
则，
解得，
∵，
∴是第一列的数，
∴框出的五个数中，a，b，c，d的和不能等于580
11．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
（1）求出根的判别式即可求解；
（2）用公式法求出方程的根，然后根据一个实数根大于，另一个实数根小于列一元一次不等式组求解．
【详解】（1）解：∵
，
∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：，
∴，．
∵有一个实数根大于，另一个实数根小于，
∴
解得 ．
12．(1)60；40；
(2)70cm
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识：
（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设，利用待定系数法即可解决问题；
（2）列出方程组并求解，即可解决问题；
（3）由题意当，当时，，可得．
【详解】（1）解：观察表格可知，y是x的一次函数，设,
则有，
解得，
∴，
∴当时，，
解得，；
当时，，
所以，表格内应填：60；40；y关于x的函数解析式为；
（2）解：由题意得，，
解得，
所以单层部分的长度为；
（3）解：由题意得，
当时，，解得，，
∴，
∴，
∴．
13．(1)且
(2)2
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键；
（1）由二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得出、，将其代入中可得出关于k的一元二次方程，解之可得出k的值，再由（1）的结论可确定k值．
【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且．
∴k的取值范围为且．
（2）解：∵原方程的两根分别为、，
∴、．
∵，
∴，
解得：．
∵且，
∴k的值为2．
14．【小题1】 【小题2】，．
【分析】（1）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解，理解概念即可解题．
（2）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根据概率得出的“反对称二元一次方程”，再将m，n代入这两个二元一次方程求解，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，
故答案为：．
（2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，
又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，
，解得，
，．
15．(1)3，2
(2)的值为；
(3)不是“进步数”．
【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组和解一元二次方程．
（1）直接应用新定义的运算规则，即可求解；
（2）运用新定义的运算规则，先得出关系式：，应用因式分解，运用分类讨论思想，求出；
（3）假设是“进步数”，得到，推出方程没有整数解，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵是“进步数”，它的“进步起点”为1，则，
∵是8的“进步起点”，则，
整理得，即，
解得（舍去），，
故答案为：3，2；
（2）解：由题意得，，，
∴，
∴，
即，
∵s、t都是正整数，
∴、都是正整数，
∵，
∴或或，
解得(舍)或或(舍)，
∴的值为；
（3）解：假设是“进步数”，
由题意得，
整理得，
∴，
∵不是完全平方数，
∴方程没有整数解，
∴不是“进步数”．
16．（1）；（2）；（3）不能，理由见解析．
【分析】本题主要考查了图形类变化规律、一元一次方程的应用，理解题意，得出规律是解此题的关键．
（1）根据图形结合所给的式子即可得出答案；
（2）根据所给的式子得出规律即可；
（3）令，解方程即可得出答案．
【详解】解：（1）由图可得：，
故答案为：；
（2），
，
，
，
…，
，
故答案为：；
（3）令，
解得：，
为整数，
不符合题意，
不可能是2024．