2022-2023学年北京市海淀区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2022-2023学年北京市海淀区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−3A. {0,1}B. {0,1,2}C. {−3,0,1,2}D. {−2,−1,0,1,2}
2.已知命题p：∃x≤3，|x−2|≤1，则¬p为( )
A. ∃x≤3，|x−2|>1B. ∃x>3，|x−2|≤1
C. ∀x≤3，|x−2|>1D. ∀x>3，|x−2|>1
3.已知{an}为等比数列，公比q>0，a2+a3=12，a1⋅a5=81，则a5=( )
A. 81B. 27C. 32D. 16
4.下列四个函数中，在区间[0,1]上的平均变化率最大的为( )
A. y=xB. y=exC. y=sinxD. y=1x+1
5.已知aA. a2C. ln(|a|+1)6.已知函数f(x)=x2⋅sinx，则f′(π2)的值为( )
A. 0B. πC. π24D. −π24
7.从A，B，C，D4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生(每人一本).如果甲不得A读物，则不同的分法种数为( )
A. 24B. 18C. 6D. 4
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则“Sn有最大值”是“d<0”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会.已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为( )
A. 14B. 23C. 37D. 415
10.已知函数f(x)=x3+3x2+bx+c.若函数g(x)=e−xf(x)有三个极值点m，1，n，且m<1A. (−∞,1)B. (−∞,14)C. (−∞,−1)D. (−∞,−2)
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.在(1+3x)4的展开式中，x2的系数为______.(用数字作答)
12.不等式1−x1+x<1的解集是______.
13.已知函数f(x)=ex+ax2−1在(0,+∞)上是增函数，则a的取值范围是______.
14.随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x(x≥2)万条时，推荐系统的准确率约为p=xx+1，平台软件收入为40000p元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为__________万条时，该软件能获得最高收益.
15.已知各项均不为零的数列{an}，其前n项和是Sn，a1=a，且Sn=anan+1(n=1,2,⋯).给出下列四个结论：
①a2=1；
②{an}为递增数列；
③若∀n∈N*，an+1>an，则a的取值范围是(0,1)；
④∃m∈N*，使得当k>m时，总有a2ka2k−1<1+e−10.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
已知等差数列{an}前n项和为Sn，满足a4=8，S3=12.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若等比数列{bn}前n项和为Tn，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Mn.
条件①：b1b2b3=8；
条件②：T2=S2；
条件③：T6=9T3.
17.(本小题10分)
某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元.为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如表：
(Ⅰ)若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；
(Ⅱ)若从流水线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中一等品的件数，Y为这3件产品的利润总额.
①求X的分布列；
②直接写出Y的数学期望EY.
18.(本小题11分)
已知函数f(x)=1x+alnx.
(Ⅰ)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)当a=2时，求函数f(x)的零点个数；
(Ⅲ)若对任意的x∈[1,+∞),都有f(x)≤x，求实数a的最大值.
19.(本小题10分)
给定整数n≥2，对于数列A：a1，a2，⋯，an定义数列B如下：b1=min{a1,a2}，b2=min{a2,a3}，⋯，bn−1=min{an−1,an}，bn=min{an,a1}，其中min{x1,x2,⋯,xk}表示x1，x2，⋯，xk这k个数中最小的数.记Sn=a1+a2+⋯+an，Tn=b1+b2+⋯+bn.
(Ⅰ)若数列A为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列B；
(Ⅱ)求证：若Tn=Sn，则有a1=a2=⋯=an；
(Ⅲ)若Sn=0，常数Cn使得Tn≤Cn⋅min{a1,a2,⋯,an}恒成立，求Cn的最大值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|−3则A∩B={0,1,2}.
故选：B.
根据集合交集的定义求解即可．
本题考查集合的交集运算，考查学生计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：命题p：∃x≤3，|x−2|≤1，
则¬p：∀x≤3，|x−2|>1.
故选：C.
根据特称命题的否定定义求解．
本题考查特称命题的否定，考查学生逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵{an}为等比数列，公比q>0，a2+a3=12，a1⋅a5=81=a32，
∴{an}的各项都是正实数，∴a3=9或a3=−9(舍去)，
∴a1=3，q2=a3a1=3，a5=a3⋅q2=27.
故选：B.
由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求出a3和q2的值，从而求出a5的值．
本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：A：y=x在[0,1]上的平均变化率为f(1)−f(0)1−0=1；
B：y=ex在[0,1]上的平均变化率为f(1)−f(0)1−0=e−1；
C：y=sinx在[0,1]上的平均变化率为f(1)−f(0)1−0=sin1；
D：y=11+x在[0,1]上的平均变化率为f(1)−f(0)1−0=−12.
故选：B.
根据函数的平均变化率的定义分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数平均变化率的定义，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当a=−2，b=0时，ab2，A错误；
对于B，当a=−2，b=0时，a1=e−b，B错误；
对于C，当a=−2，b=0时，aln(|b|+1)=ln2，C错误；
对于D，函数f(x)=x|x|=x2,x≥0−x2,x<0，易得f(x)在R上为增函数，
若a故选：D.
根据题意，举出反例，说明A、B、C错误，分析函数f(x)=x|x|的单调性，结合函数单调性的定义分析可得D正确，综合可得答案．
本题考查不等式的性质以及应用，涉及函数单调性的性质和应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，函数f(x)=x2⋅sinx，则f′(x)=2xsinx+x2csx，
则f′(π2)=πsinπ2+(π2)2csπ2=π.
故选：B.
根据题意，先求出f′(x)，将x=π2代入，计算可得答案．
本题考查导数的计算，注意函数导数的计算公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意，甲不得A读物，则甲从B，C，D中选一本，有3种不同的选法，
甲选完，乙、丙2名同学从剩余的3本文学读物中选择，有A32=6种不同的选法，
则不同的分法种数共有3×6=18种．
故选：B.
根据分步计数原理以及排列数的定义计算即可．
本题考查分步计数原理的应用，考查排列数的计算，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵等差数列前n项和Sn=d2⋅n2+(a1−d2)⋅n，
当d<0时，由Sn对应的二次函数开口向下可知，Sn有最大值，
若等差数列{an}是各项为0的常数列，则Sn最大值也为0，此时d=0，
所以“Sn有最大值”是“d<0”的必要不充分条件．
故选：B.
根据等差数列前n项和的函数性质及d=0的等差数列，判断题设条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可知答案．
本题考查等差数列的前n项和性质，充要条件的判定，属基础题．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可得，所有的选法共有C84，该班恰有2名同学被选到的种数为C32C52，
故甲班恰有2名同学被选到的概率P=C32C52C84=37.
故选：C.
根据已知条件，分别求出样本空间的种数和该班恰有2名同学被选到的种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解．
本题主要考查古典概型的问题，需要学生熟练掌握古典概型的概率计算公式，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：已知函数f(x)=x3+3x2+bx+c，函数定义域为R，
可得f′(x)=3x2+6x+b，
此时g(x)=e−xf(x)，函数定义域为R，
可得g′(x)=−e−xf(x)+e−xf′(x)=e−x[−x3+(6−b)x+b−c]，
因为函数g(x)有三个极值点m，1，n，
所以g′(1)=0，
解得c=5，
此时g′(x)=e−x[−x3+(6−b)x+b−5]=e−x(x−1)(−x2−x+b−7)，
因为m，n是函数g(x)的极值点，
所以x=m，x=n是g′(x)=0的两个根，
因为e−m，e−n，m−1，n−1均不为零且m<1所以m，n为方程−x2−x+b−7=0的两个根，
可得mn=7−b，
不妨设h(x)=−x2−x+b−7，函数定义域为R，
满足h(m)=h(n)=0，m<1又函数h(x)是开口向下的二次函数，
当x=1时，h(1)>0，
解得7−b<−2，
则mn<−2.
故选：D.
由题意，得到函数g(x)的解析式，对函数g(x)进行求导，根据g′(1)=0对式子进行整理，根据m，n是函数g(x)的极值点，得到x=m，x=n是g′(x)=0的两个根，又e−m，e−n，m−1，n−1均不为零且m<1本题考查录用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
11.【答案】54
【解析】解：展开式的通项为Tr+1=C4r(3x)4−r，
令r=2得到展开式中x2的系数是C42×32=54.
故答案为：54.
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．
本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．考查计算能力．
12.【答案】(−∞,−1)∪(0,+∞)
【解析】【分析】
将分式不等式转化成整式不等式即可．
本题考查分式不等式，属于基础题．
【解答】
解：∵1−x1+x<1，∴1−x1+x−1=1−x−1−x1+x=−2x1+x<0，
∴x(x+1)>0，∴x>0或x<−1，
则不等式1−x1+x<1的解集是(−∞,−1)∪(0,+∞).
故答案为：(−∞,−1)∪(0,+∞).
13.【答案】{a|a≥−12e}
【解析】解：因为函数f(x)=ex+ax2−1在(0,+∞)上是增函数，
所以f′(x)=ex+2ax≥0在(0,+∞)上恒成立，
故2a≥−exx在(0,+∞)上恒成立，
令g(x)=−exx，x>0，
则g′(x)=−ex(x−1)x2，
当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当00，g(x)单调递增，
故g(x)≤g(1)=−e，即g(x)max=g(1)=−e，
故2a≥−e，
所以a≥−12e.
故答案为：{a|a≥−12e}.
先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．
14.【答案】19
【解析】【分析】
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题．
设收益为W元，根据题意得到W=40100−[40000x+1+100(x+1)]，再根据基本不等式求解即可．
【解答】
解：设收益为W元，
根据题意可得
W=40000p−100x
=40000xx+1−100x
=40100−[40000x+1+100(x+1)]
≤40100−2 40000x+1×100(x+1)=36100，
当且仅当40000x+1=100(x+1)，即x=19时，W取得最大值36100元，
故答案为：19.
15.【答案】①③
【解析】解：对于①，由题意S1=a1a2=a1，所以a2=1，①正确；
对于②，若a>1，则a1>a2，显然数列{an}不是递增数列，②错误；
由Sn=anan+1可得当n≥2，Sn−1=an−1an，二式相减得an=an(an+1−an−1)，
由于数列{an}各项不为零，所以有an+1−an−1=1，
所以{a2n−1}，{a2n}是以1为公差的的等差数列，
a2n−1=a+n−1，a2n=n，当an+1>an，即a2n>a2n−1，且a2n+1>a2n，
即n>a+n−1，a+n>n，解得0令a=12，则a3=a+1=32，a4=2，a4a3=43>1+e−10，④错误．
故答案为：①③．
根据条件求出数列数列{an}中奇数项和偶数项的通项公式，而后对各结论进行分析即可．
本题主要考查等差数列性质，属中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则a4=a1+3d=8S3=3a1+3×22d=12，
化简整理，得a1+3d=8a1+d=4，
解得a1=2d=2，
∴an=2+2⋅(n−1)=2n，n∈N*.
(Ⅱ)方案一：选择条件①②
由题意，设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，
则b1b2b3=b1⋅b1q⋅b1q2=8T2=b1+b2=b1+b1q=6，
整理，得b1q=2b1+b1q=6，
解得b1=4q=12，
∴bn=4⋅(12)n−1=23−n，n∈N*，
∴Mn=c1+c2+⋅⋅⋅+cn
=(a1+b1)+(a2+b2)+⋅⋅⋅+(an+bn)
=(a1+a2+⋅⋅⋅+an)+(b1+b2+⋅⋅⋅+bn)
=Sn+Tn
=2⋅n+n(n−1)2⋅2+4⋅[1−(12)n]1−12
=n2+n+8−12n−3.
方案二：选择条件①③
由题意，设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，
当q=1时，T6=6b1，
T3=3b1，即9T3=27b1，
此时T6≠9T3，
故q=1不符合题意，即公比q≠1，
当q≠1时，T6=a1(1−q6)1−q，
T3=a1(1−q3)1−q，
∵T6=9T3，
∴a1(1−q6)1−q=9⋅a1(1−q3)1−q，
化简整理，得q6−9q3+8=0，
解得q3=1(舍去)，或q3=8，
即q=2，
∵b1b2b3=8，即(b1q)3=8，
∴b1q=2，解得b1=1，
∴Mn=c1+c2+⋅⋅⋅+cn
=(a1+b1)+(a2+b2)+⋅⋅⋅+(an+bn)
=(a1+a2+⋅⋅⋅+an)+(b1+b2+⋅⋅⋅+bn)
=Sn+Tn
=2⋅n+n(n−1)2⋅2+1−2n1−2
=n2+n−1+2n.
方案三：选择条件②③
由题意，设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，
当q=1时，T6=6b1，
T3=3b1，即9T3=27b1，
此时T6≠9T3，
故q=1不符合题意，即公比q≠1，
当q≠1时，T6=a1(1−q6)1−q，
T3=a1(1−q3)1−q，
∵T6=9T3，
∴a1(1−q6)1−q=9⋅a1(1−q3)1−q，
化简整理，得q6−9q3+8=0，
解得q3=1(舍去)，或q3=8，
即q=2，
∵T2=b1+b2=b1+b1q=S2=6，
解得b1=2，
∴Mn=c1+c2+⋅⋅⋅+cn
=(a1+b1)+(a2+b2)+⋅⋅⋅+(an+bn)
=(a1+a2+⋅⋅⋅+an)+(b1+b2+⋅⋅⋅+bn)
=Sn+Tn
=2⋅n+n(n−1)2⋅2+2⋅(1−2n)1−2
=n2+n−2+2n+1.
【解析】(Ⅰ)先等差数列{an}的公差为d，再根据题干已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)在选择条件①②的情况下，先设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，再根据题干已知条件列出关于首项b1与公比q的方程组，解出b1与q的值，再运用分组求和法，以及等差数列与等比数列的求和公式即可计算出数列{cn}的前n项和Mn；在选择条件①③的情况下，先设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，先分析判断出公比q≠1，再根据等比数列的求和公式及T6=9T3列出关于公比q的方程，解出q的值，进一步化简条件①b1b2b3=8并计算出首项b1的值，再运用分组求和法，以及等差数列与等比数列的求和公式即可计算出数列{cn}的前n项和Mn；在选择条件②③的情况下，先设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，先分析判断出公比q≠1，再根据等比数列的求和公式及T6=9T3列出关于公比q的方程，解出q的值，进一步化简条件②T2=S2并计算出首项b1的值，再运用分组求和法，以及等差数列与等比数列的求和公式即可计算出数列{cn}的前n项和Mn.
本题主要考查等差数列与等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列与等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)记Ai(i=1,2)表示“第i件产品是一等品”，
记Bi(i=1,2)表示“第i件产品是二等品”，
记C表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”，
此时C=A1B2+A2B1，
易知P(Ai)=12，P(Bi)=310，
则P(C)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=12×310+12×310=310；
(Ⅱ)①若从流水线上随机抽取3件产品，
则X的所有取值为0，1，2，3，
此时P(X=0)=12×12×12=18，P(X=1)=C31×12×12×12=38，P(X=2)=C32×12×12×12=38，P(X=3)=12×12×12=18，
所以X的分布列：
②EY=225.
【解析】(Ⅰ)由题意，记Ai(i=1,2)表示“第i件产品是一等品”，记Bi(i=1,2)表示“第i件产品是二等品”，记C表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”，结合所给信息代入公式求解即可．
(Ⅱ)①得到X的所有取值，求出相对应的概率，进而可列出分布列；
②结合①中信息代入公式进行求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了数据分析和运算能力．
18.【答案】解：(Ⅰ)已知f(x)=1x+alnx，函数定义域为(0,+∞)，
当a=2时，f(x)=1x+2lnx，
可得f′(x)=−1x2+2x=2x−1x2，
所以f′(1)=1，
又f(1)=1，
所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−1=1×(x−1)，
即y=x；
(Ⅱ)当a=2时，f(x)=1x+2lnx，
要求函数f(x)的零点个数，
即求方程1+2xlnx=0的根，
不妨设g(x)=1+2xlnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得g′(x)=2lnx+2，
当0当x>1e时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x=1e时，函数g(x)取得极小值也是最小值，最小值f(1e)=1−2e>0，
此时g(x)>0，
所以g(x)与x轴无交点，
即方程1+2xlnx=0无实数根，
故函数f(x)没有零点；
(Ⅲ)若对任意的x∈[1,+∞),都有f(x)≤x，
不妨设h(x)=f(x)−x=1x+alnx−x，函数定义域为[1,+∞),
可得h′(x)=−1x2+ax−1=−x2+ax−1x2，
当a>2时，
易知方程y=−x2+ax−1中Δ=a2−4>0，
所以该方程有两个实数根，设为x1，x2，
因为x1+x2=a>0，x1x2=1>0，
不妨设0当10，h(x)单调递增；
当x>x2时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
所以当x=x2时，函数h(x)取得极大值，极大值f(x2)>g(1)=0，不符合题意；
当a≤2时，
易知方程y=−x2+ax−1中Δ=a2−4≤0，
即方程y=−x2+ax−1与x轴至多有一个交点，
又函数y=−x2+ax−1为开口向下的二次函数，对称轴x=a2，
当x=a2时，函数y=−x2+ax−1取得最大值，
此时h(x)≤h(1)=0，
即f(x)≤x恒成立，
则满足条件的a的取值范围为(−∞,2],
故实数a的最大值为2.
【解析】(Ⅰ)由题意，将a=2代入函数f(x)的解析式中，对函数f(x)进行求导，得到f′(1)和f(1)的值，代入切线方程中即可求解；
(Ⅱ)将a=2代入函数f(x)的解析式中，将求函数f(x)的零点个数，转化成求方程1+2xlnx=0的根，构造函数g(x)=1+2xlnx，将问题转化成函数最值问题；
(Ⅲ)构造函数h(x)=f(x)−x，对函数h(x)进行求导，分别讨论a>2和a≤2这两种情况，结合导数的几何意义以及二次函数的性质进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
19.【答案】解：(1)由题意得，数列B为①0，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，1.
(2)证明：反证法，若存在ai，使得ai≠ak，(i,k∈N*)，
不妨设a1>a2=a3=a4=⋯=an，n∈N*，
则数列B：a2，a3，a4，⋯，an−1，an，an，
则Sn=a1+a2+⋯+an=a1+(n−1)a2，Tn=na2，
又a1>a2，所以Tn>Sn，不符合题意，故假设不成立，
故若Tn=Sn，则有a1=a2=⋯=an.
(3)由题意得，min{a1,a2,⋯,an}<0，
不妨设ak=min{a1,a2,⋯,an}，
Tn≤Cn⋅min{a1,a2,⋯,an}恒成立，
只要满足Cn≤Tnmin{a1,a2,a3,⋯,an}，
又Tnmin{a1,a2,a3,⋯,an}=Tnak，
又Sn=0，Tn≥ak，
则Tnak≤1，故Cn的最大值为1.
【解析】(1)由已知数列B的定义可得，数列B为①0，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，1；
(2)证明：反证法，若存在ai，使得ai≠ak，(i,k∈N*)，不妨设a1>a2=a3=a4=⋯=an，n∈N*，则数列B：a2，a3，a4，⋯，an−1，an，an，得到Tn>Sn，不符合题意，故假设不成立，原命题成立；
(3)由题意得，min{a1,a2,⋯,an}<0，不妨设ak=min{a1,a2,⋯,an}，Tn≤Cn⋅min{a1,a2,⋯,an}恒成立，只要满足Cn≤Tnmin{a1,a2,a3,⋯,an}，而Sn=0，Tn≥ak，则Tnak≤1，故Cn的最大值为1.
本题考查新定义数列问题和反证法，解题关键是对数列性质和新定义数列的理解，是中档题．产品等级
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