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青岛版七年级下册13.1 三角形示范课ppt课件
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这是一份青岛版七年级下册13.1 三角形示范课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了1三角形，三角形，等腰三角形，等边三角形，三角形按边分类，不等边三角形，任意画出一个三角形，两点之间线段最短，角平分线，可能与边重合等内容，欢迎下载使用。
在日常生活中，我们经常看到三角形的形象，图中教具、彩旗、船帆等就是三角形的.你还能举出一些类似的实例吗?
我们已经认识了三角形. 任意画出几个三角形，你能说出这些三角形是怎样画出来的吗?它们有什么共同特征?
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. 相邻两条边所组成的角，叫做三角形的内角简称三角形的角.
在图中， 线段AB，BC，CA是这个三角形的三条边， 点 A，B，C 是这个三角形的三个顶点， ∠A，∠B，∠C是这个三角形的角， 边 BC，CA，AB分别叫做∠A，∠B、∠C的对边.
三角形用符号“△”来表示，顶点是A，B，C的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”.
(1) 用量角器度量图中三个三角形的每个角的度数，它们分别有几个锐角、几个直角、几个钝角?
图①中的三角形的三个角都是锐角，图②中的三角形有一个角是直角，图③中的三角形有一个角是钝角.
(2) 你还记得三角形三个角的和是多少度吗? (3) 三角形的一个角能大于180°吗?能等于180°吗?为什么?
(4) 观察图，在三角形的三个角中，你发现至少有几个角是锐角?至多呢?
(5) 在三角形中，如果有一个角是直角，这个角是最大角吗?为什么?这时，其他两个角的和是多少度?
这个角是最大角，因为三角形内角和是180°直角是90°，另外两角和是180°减90°等于90°.
故没有任何一个角大于直角，其他两个角的和是90°。
(6) 在三角形中，如果有一个角是钝角，这个角是最大角吗?为什么?这时，其他两个角的和的范围是什么?
这个角是最大角，因为钝角大于90°，内角和是180°， 另外两角的和不可能再大于90°，所以这个角是最大的， 另外两个角的和的范围在89°到2°之间。
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 .有一个角是钝角的三角形做钝角三角形.
由此，三角形可按最大角的大小分类如下：
锐角三角形直角三角形钝角三角形
直角三角形通常用符号“Rt△”表示，图中的直角三角形记作 Rt△ABC，它的各边的名称如图所示.
直角三角形的两个锐角互余
(7) 比较图中每个三角形三条边的长短，你有什么发现? 与同学交流.
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，它的各边与各角的名称如图所示.
三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形.
底边和腰不相等的等腰三角形
(8) 观察图①②，你认为等边三角形与等腰三角形有什么关系? 与同学交流.
等边三角形是特殊的等腰三角形.是底边和腰相等的等腰三角形.
1. 如图，线段AC与BD相交于点E，连接AD，AB，BC.
(1) 指出图中有几个三角形，并分别用字母表示出来：
图中有△ADE， △ECB， △ABE， △ABD， △ABC，共5个三角形；
(2)∠AED是哪个三角形的角? ∠DBC呢?
∠AED是△AED的角，∠DBC是△EBC的角
(3) AE是哪两个三角形的公共边?AB是哪几个三角形的公共边?图中还有哪些三角形有公共边?
AE是△AED和△AEB的公共边，AB是△ABD、 △ABE和△ABC的公共边图中还有△EBC和△ABE有公共边，还有△ABC和△EBC有公共边，还有△ ABD和△ADE有公共边.
(4) ∠D是哪两个三角形的公共角? 图中还有哪些三角形有公共角?
∠D是△ADE和△ADB的公共角，图中还有△ABC和△EBC有公共角，图中还有△ABD和△AEB有公共角，图中还有△ABC和△ABE有公共角.
2. 在一个三角形中，如果有两个内角互余，这个三角形是什么三角形?为什么?
直角三角形；∵互余的两个角的和为90°，三角形的内角和为180°，∴三角形另一个角为90°，∴这个三角形是直角三角形.
3. 在直角三角形中，哪条边最长?为什么?
在直角三角形中，斜边最长，理由是：垂线段最短.
(1) 如果从△ABC任意一个顶点出发，沿三角形的边走到另外一个顶点，有几条不同的路线?哪条路线较长?说明理由.
(2) 你能用式子分别表示(1)中的结论吗?
AB＋AC＞BC；AC＋BC＞AB；AB＋BC＞AC.
(3) 通过上面的三个式子，你能归纳出什么结论?
三角形的任意两边之和大于第三边.
如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，它们就不能组成三角形. 为了简便，只要检验两条较短线段长度的和是否大于第三条线段的长就可以判断这条线段能否组成一个三角形.
分别用下列长度的三条线段能组成三角形吗?为什么?
(1) 4，6，10；
因为4＋6＝10，所以，用这三条线段不能组成三角形；
长度分别为5，6的线段是这三条线段中两条较短的线段， 因为5＋6＞7. 所以，用这三条线段能组成三角形.
等腰三角形的周长为21厘米，如果它的一边长为 5厘米，求其他两边的长.
因为长为5厘米的边可能是等腰三角形的腰，也可能是它的底边所以应分两种情况进行讨论：
(1) 如果底边长为5厘米，设腰长为x厘米，由已知条件，得 5 ＋2x ＝ 21， 解这个方程，得 x＝8. 因为 5＋8＞8，8厘米、8厘米、5厘米长的三条线段可以组成三角形.
(2) 如果腰长为5厘米，设底边长为x厘米，由已知条件，得2×5＋x＝21， 解这个方程，得 x＝11. 但 5＋5＜11，所以用5厘米、5厘米、11厘米长的三条线段不能组成三角形. 由 (1)(2)可知，这个三角形其他两边的长都是8厘米.
1. 分别用下列长度的三条线段能组成三角形吗?为什么?
∵3 ＋ 4 ＝ 7 ＞ 5， 故 3，4，5三条线段能组成三角形；
(2) 4，4，8；(3) 4，9，9；
∵4 ＋ 4 ＞ 8，∵两边之和等于第三边， 故4，4，8三条线段不能组成三角形；
∵4 ＋ 9 ＝ 13 ＞ 9， 故4，9，9三条线段能组成三角形；
(4) 5，7，11；(5) 2，3，6 .
∵5 ＋ 7 ＝ 12 ＞ 11， 故5，7，11三条线段能组成三角形；
∵2 ＋ 3 ＝ 5 ＜ 6，∵两边之和小于第三边， 故2，3，5三条线段不能组成三角形.
2. 用一根长为7厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的三角形，有几种不同的方案?
用一根长为7厘米的铁丝围成一个三条边均为整数厘米的三角形， 三角形三边长为：①2，2，3；②3，3，1，共2种
(1) 画一个三角形和它的一个角的平分线，这条平分线与该角的对边相交吗?
角形一个角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，且∠BAD ＝ ∠DAC，那么线段AD就是△ABC的一条角平分线.
(2) 一个三角形有几条角平分线?在图中，画出△ABC所有的角平分线.再任意画一个三角形，并画出它所有的角平分线.你有什么发现?与同学交流.
一个三角形有三条角平分线，它们都在三角形的内部，并且相交于一点.
(3) 画一个三角形，任取它的一个顶点，画出连接它与对边中点的线段.
在三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段叫做这个三角形的中线.
如图，在△ABC中，BE＝EC，那么线段AE就是△ABC的一条中线.
(4) 一个三角形有几条中线?在图中，画出△ABC所有的中线.再任意画一个三角形，并画出它所有的中线.你有什么发现?与同学交流.
一个三角形有三条中线，它们都在三角形的内部，并且相交于一点 ，这个点叫做三角形的重心.
取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡.这是重心的物理性质.
三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高.
三角形面积公式中的“高”，实际上是指高的长度，即一个顶点到对边所在直线的距离.
如图，在△ABC中，AD ⊥ BC，D是垂足，那么线段AD就是△ABC的条高.
(6) 一个三角形有几条高?分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，并画出它们所有的高.你有什么发现?与同学交流.
每一个三角形都有三条高. 由于三角形形状不同，三角形的高可能在三角形的内部，
如图所示，七年级一、二班的同学在植树节前要绿化一块三角形空地.你能帮助他们把这块地划分成面积相等且都是三角形形状的两块地吗?你有几种划分方法?
一、过点A做中线AD，则三角形ABD和三角形ACD的面积相等； 二、过点B做中线BE，则三角形BCE和三角形BAE的面积相等； 三、过点C做中线CF，则三角形CAF和三角形CBF的面积相等.
1. 如图，已知△ABC. (1)分别画出△ABC的中线AD 和角平分线AE； (2) 观察(1)中画出的图形，你能找出图中有哪些等量关系?
2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EC⊥BC交AB于点E，CF⊥AB，垂足为点F，BG⊥AC，垂足为点G. (1) 分别写出△ABC各条边上的高；
△ABC中AB边上的高为CF，AC边上的高为BG，BC边上的高为AD.
(2) CF是哪几个三角形的高?
CF是△ACF，△ABC，△AEC，△CEF，△CBF，△BCE的高.
如图，AC是△ABC的一条边，反向延长△ABC的另一条边CB，得到射线 CE，请你指出边CA与CE所组成的角.它与△ABC的内角有什么不同?
三角形一个角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做三角形的外角.
如图 ，延长△ABC的三边，分别得直线DE，FG，MN.
(1) ∠BCG是△ABC的一个外角吗? ∠ECG呢?为什么?
(2) 写出△ABC的所有外角，并指出它们之间哪些角是相等的；
(3) 三角形的一个外角 (例如 ∠ACE) 跟与它相邻的内角有什么数量关系?
(4) 三角形的一个外角(例如∠ACE)跟与它不相邻的两个内角的和有什么数量关系?为什么?
因为∠ACE ＋∠ACB＝180°， ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB＝180°所以 ∠ACE ＝ ∠BAC＋ ∠ABC.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
(5) 比较三角形的一个外角(例如∠ACE)跟与它不相邻的任何一个内角，哪个大?能说明你的理由吗?
因为∠ACE＝∠BAC＋∠ABC，所以∠ACE＞∠BAC， ∠ACE＞∠ABC
由此可知，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
如图，已知∠ACD＝150°，∠A＝2∠B，求∠B的度数.
因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以 ∠ACD＝∠A＋∠B又因为 ∠A＝2∠B，
于是 ∠ACD＝2∠B＋∠B＝3∠B由∠ACD＝150°，得3∠B＝150°所以∠B＝50°
如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A.
(1) 求△ABC的各内角的度数；(2) 求∠ADB的度数
(1) 求△ABC的各内角的度数；
因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABC＝2∠ABD.因为∠ABD＝∠A，所以∠ABC＝2∠A
在△ABC中，因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°所以∠A＋2∠A＋3∠A＝180°即 6∠A＝180°从而∠A＝30°， ∠ABC＝60°， ∠C＝90°
(2) 求∠ADB的度数
将一副三角尺按右图的方式放置，如果不计三角尺的厚度，求它们的两条斜边所成的钝角α的度数.
如图，依据题意可知∠CAD＝∠CDA ＝ 45°∠CBE ＝60°根据四边形内角和为360°可知，∠C＋∠CBD＋∠CDA＋∠BFD ＝ 360.
∴∠BFD ＝ 165°∴∠DFB与∠α为对顶角.∴∠a＝∠BFD＝165°.
1.(1)如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，这个三角形是什么三角形?
(2) 如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是什么三角形?为什么?
三角形的一个外角小于与它相邻的内角，三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个不相邻的内角，∴这个内角大于90°，∴此三角形是钝角三角形.
(3) 如果三角形的一个外角大于与它相邻的内角，能判定这个三角形的形状吗?为什么?
三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个不相邻的内角，所以无法确定这个内角是锐角直角还是钝角，故无法判定这个三角形的形状.
2. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，AE是∠BAC的平分线，∠ACD＝106°.求∠AEC的度数.
1. 如图，在△ABC中，AE⊥BC，点E是垂足，点D是边BC上的一点，连接AD. (1) 写出△ABE的三个内角；
∠ABE、∠BEA、∠EAB；
(2) 在△ABD中，∠B的对边是___________； 在△ABD中，∠B的对边是___________.
(3) 图中共有_____个三角形，把它们分别写出来.这些三角形中，哪些是直角三角形?哪些是锐角三角形?哪些是钝角三角形?
分别为△ABD、 △ADE、 △AEC、 △ABE、 △ADC、 △ABC，其中△ADE、 △AEC、 △ABE是直角三角形， △ADC、 △ABC是锐角三角形， △ABD是钝角三角形
(4) 线段AD是哪几个三角形的公共边?(5)∠ADC是哪几个三角形的公共角? ∠AED呢?
线段AD是△ABD、△ADE、△ADC的公共边；
∠ADC是△ADE、△ADC的公共角，∠AED是△ADE和△ABE的公共角.
2. 有5根细木棒，长度分别是2厘米、4厘米、6厘米、8厘米和10厘米.从中任意取出3根，能组成多少个不同的三角形?
根据三角形的三边关系，得出能组成三角形的不同取法有； 4厘米、6厘米、8厘米；4厘米、8厘米、10厘米； 6厘米、8厘米、10厘米；能组成3个不同的三角形.
3. 已知等腰三角形的周长是 10，且各边长都为整数，求各边的长.
设腰长为x，则底边为10－2x.∵10－2x－x＜ x ＜10－2x＋x.∴ 2.5＜x＜5∵三边长均为整数，∴ x可取的值为3或4故各边的长为3，3，4或4，4，2.
4. AD是△ABC的中线，AB ＝ 10，AC＝7，△ABD的周长比△ACD的周长大多少?
5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高.写出图中的直角三角形，并指出图中相等的锐角.
6. 观察右图，填空： (1) ∠ADE＝∠B＋∠_________， ∠ADB＝∠C＋∠______＝∠AED＋∠_______； (2)用“＞”或“＜”填空： ∠AEC______∠AED； ∠AEC______∠B.
7. 如图，在△ABC中， ∠B，∠C的角平分线BE，CF交于点D， ∠A＝ 70°.求∠BDC的度数.
又∵∠BAC ＝ 70°，∴∠ABC＋∠ACB ＝ 180° － 70° ＝ 110°∴∠EBC＋∠FCB＝ 55°，故∠BDC ＝180°－ 55°＝125°
8. 如图，∠BAF，∠CBD与∠ACE是△ABC的三个外角.你能求出这三个外角度数之和吗?说明你的理由.
∵∠BAF＋∠BAC＝180°， ∠CBD＋∠ABC＝180° ∠ACE＋∠ACB＝180°.
∴∠BAF＋∠BAC＋∠CBD＋∠ABC＋∠ACE＋∠ACB＝3×180°＝540°，∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180° ∠BAF＋∠CBD＋∠ACE＝540°－180°－360°＝360° 即三个外角的和等于360°
9. 在△ABC中，∠A－∠B ＝ 60°， ∠B－∠C ＝ 15°.求∠A，∠B，∠C的度数.
10. 图中具有一条公共边的三角形有多少对?
11. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和 12 两部分，求原等腰三角形的腰长和底边长.
12. 如图，△ABC的三条中线相交于一点O，图中哪些三角形面积分别相等?为什么?
∵△ABC的三条中线相交于一点O.∴ AE＝BE，BD＝CD，AF＝CF，AO＝2OD，BO＝2OF，OC＝2OE，
∵点O为重心∴S△ABO＝S△BCO＝S△ACO，∴S△AOE＝S△BOE＝S△BOD ＝ S△COD ＝ S△AOF ＝ S△COF.
13. 一个三角形两个外角的和是与它们都不相邻的内角的3倍求这个内角的度数.
14. 把一副三角尺如图所示放置，如果不计三角尺的厚度，图中∠α的度数是多少?
15. 现有长为150厘米的铁丝，把它截成n段(n ＞ 2)，使其中任意3段均不能作为同一个三角形的边.请你对于n ＝ 3，4，5 的情形，各给出一种满足条件的截法.
16. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC边上的一点，BD＝2AD，BE＝2CE. AE，CD相交于点O. △ADO的面积与△CEO的面积是否相等?为什么?
S△AOD＝S△EOC.
在日常生活中，我们经常看到三角形的形象，图中教具、彩旗、船帆等就是三角形的.你还能举出一些类似的实例吗?
我们已经认识了三角形. 任意画出几个三角形，你能说出这些三角形是怎样画出来的吗?它们有什么共同特征?
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. 相邻两条边所组成的角，叫做三角形的内角简称三角形的角.
在图中， 线段AB，BC，CA是这个三角形的三条边， 点 A，B，C 是这个三角形的三个顶点， ∠A，∠B，∠C是这个三角形的角， 边 BC，CA，AB分别叫做∠A，∠B、∠C的对边.
三角形用符号“△”来表示，顶点是A，B，C的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”.
(1) 用量角器度量图中三个三角形的每个角的度数，它们分别有几个锐角、几个直角、几个钝角?
图①中的三角形的三个角都是锐角，图②中的三角形有一个角是直角，图③中的三角形有一个角是钝角.
(2) 你还记得三角形三个角的和是多少度吗? (3) 三角形的一个角能大于180°吗?能等于180°吗?为什么?
(4) 观察图，在三角形的三个角中，你发现至少有几个角是锐角?至多呢?
(5) 在三角形中，如果有一个角是直角，这个角是最大角吗?为什么?这时，其他两个角的和是多少度?
这个角是最大角，因为三角形内角和是180°直角是90°，另外两角和是180°减90°等于90°.
故没有任何一个角大于直角，其他两个角的和是90°。
(6) 在三角形中，如果有一个角是钝角，这个角是最大角吗?为什么?这时，其他两个角的和的范围是什么?
这个角是最大角，因为钝角大于90°，内角和是180°， 另外两角的和不可能再大于90°，所以这个角是最大的， 另外两个角的和的范围在89°到2°之间。
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 .有一个角是钝角的三角形做钝角三角形.
由此，三角形可按最大角的大小分类如下：
锐角三角形直角三角形钝角三角形
直角三角形通常用符号“Rt△”表示，图中的直角三角形记作 Rt△ABC，它的各边的名称如图所示.
直角三角形的两个锐角互余
(7) 比较图中每个三角形三条边的长短，你有什么发现? 与同学交流.
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，它的各边与各角的名称如图所示.
三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形.
底边和腰不相等的等腰三角形
(8) 观察图①②，你认为等边三角形与等腰三角形有什么关系? 与同学交流.
等边三角形是特殊的等腰三角形.是底边和腰相等的等腰三角形.
1. 如图，线段AC与BD相交于点E，连接AD，AB，BC.
(1) 指出图中有几个三角形，并分别用字母表示出来：
图中有△ADE， △ECB， △ABE， △ABD， △ABC，共5个三角形；
(2)∠AED是哪个三角形的角? ∠DBC呢?
∠AED是△AED的角，∠DBC是△EBC的角
(3) AE是哪两个三角形的公共边?AB是哪几个三角形的公共边?图中还有哪些三角形有公共边?
AE是△AED和△AEB的公共边，AB是△ABD、 △ABE和△ABC的公共边图中还有△EBC和△ABE有公共边，还有△ABC和△EBC有公共边，还有△ ABD和△ADE有公共边.
(4) ∠D是哪两个三角形的公共角? 图中还有哪些三角形有公共角?
∠D是△ADE和△ADB的公共角，图中还有△ABC和△EBC有公共角，图中还有△ABD和△AEB有公共角，图中还有△ABC和△ABE有公共角.
2. 在一个三角形中，如果有两个内角互余，这个三角形是什么三角形?为什么?
直角三角形；∵互余的两个角的和为90°，三角形的内角和为180°，∴三角形另一个角为90°，∴这个三角形是直角三角形.
3. 在直角三角形中，哪条边最长?为什么?
在直角三角形中，斜边最长，理由是：垂线段最短.
(1) 如果从△ABC任意一个顶点出发，沿三角形的边走到另外一个顶点，有几条不同的路线?哪条路线较长?说明理由.
(2) 你能用式子分别表示(1)中的结论吗?
AB＋AC＞BC；AC＋BC＞AB；AB＋BC＞AC.
(3) 通过上面的三个式子，你能归纳出什么结论?
三角形的任意两边之和大于第三边.
如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，它们就不能组成三角形. 为了简便，只要检验两条较短线段长度的和是否大于第三条线段的长就可以判断这条线段能否组成一个三角形.
分别用下列长度的三条线段能组成三角形吗?为什么?
(1) 4，6，10；
因为4＋6＝10，所以，用这三条线段不能组成三角形；
长度分别为5，6的线段是这三条线段中两条较短的线段， 因为5＋6＞7. 所以，用这三条线段能组成三角形.
等腰三角形的周长为21厘米，如果它的一边长为 5厘米，求其他两边的长.
因为长为5厘米的边可能是等腰三角形的腰，也可能是它的底边所以应分两种情况进行讨论：
(1) 如果底边长为5厘米，设腰长为x厘米，由已知条件，得 5 ＋2x ＝ 21， 解这个方程，得 x＝8. 因为 5＋8＞8，8厘米、8厘米、5厘米长的三条线段可以组成三角形.
(2) 如果腰长为5厘米，设底边长为x厘米，由已知条件，得2×5＋x＝21， 解这个方程，得 x＝11. 但 5＋5＜11，所以用5厘米、5厘米、11厘米长的三条线段不能组成三角形. 由 (1)(2)可知，这个三角形其他两边的长都是8厘米.
1. 分别用下列长度的三条线段能组成三角形吗?为什么?
∵3 ＋ 4 ＝ 7 ＞ 5， 故 3，4，5三条线段能组成三角形；
(2) 4，4，8；(3) 4，9，9；
∵4 ＋ 4 ＞ 8，∵两边之和等于第三边， 故4，4，8三条线段不能组成三角形；
∵4 ＋ 9 ＝ 13 ＞ 9， 故4，9，9三条线段能组成三角形；
(4) 5，7，11；(5) 2，3，6 .
∵5 ＋ 7 ＝ 12 ＞ 11， 故5，7，11三条线段能组成三角形；
∵2 ＋ 3 ＝ 5 ＜ 6，∵两边之和小于第三边， 故2，3，5三条线段不能组成三角形.
2. 用一根长为7厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的三角形，有几种不同的方案?
用一根长为7厘米的铁丝围成一个三条边均为整数厘米的三角形， 三角形三边长为：①2，2，3；②3，3，1，共2种
(1) 画一个三角形和它的一个角的平分线，这条平分线与该角的对边相交吗?
角形一个角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，且∠BAD ＝ ∠DAC，那么线段AD就是△ABC的一条角平分线.
(2) 一个三角形有几条角平分线?在图中，画出△ABC所有的角平分线.再任意画一个三角形，并画出它所有的角平分线.你有什么发现?与同学交流.
一个三角形有三条角平分线，它们都在三角形的内部，并且相交于一点.
(3) 画一个三角形，任取它的一个顶点，画出连接它与对边中点的线段.
在三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段叫做这个三角形的中线.
如图，在△ABC中，BE＝EC，那么线段AE就是△ABC的一条中线.
(4) 一个三角形有几条中线?在图中，画出△ABC所有的中线.再任意画一个三角形，并画出它所有的中线.你有什么发现?与同学交流.
一个三角形有三条中线，它们都在三角形的内部，并且相交于一点 ，这个点叫做三角形的重心.
取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡.这是重心的物理性质.
三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高.
三角形面积公式中的“高”，实际上是指高的长度，即一个顶点到对边所在直线的距离.
如图，在△ABC中，AD ⊥ BC，D是垂足，那么线段AD就是△ABC的条高.
(6) 一个三角形有几条高?分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，并画出它们所有的高.你有什么发现?与同学交流.
每一个三角形都有三条高. 由于三角形形状不同，三角形的高可能在三角形的内部，
如图所示，七年级一、二班的同学在植树节前要绿化一块三角形空地.你能帮助他们把这块地划分成面积相等且都是三角形形状的两块地吗?你有几种划分方法?
一、过点A做中线AD，则三角形ABD和三角形ACD的面积相等； 二、过点B做中线BE，则三角形BCE和三角形BAE的面积相等； 三、过点C做中线CF，则三角形CAF和三角形CBF的面积相等.
1. 如图，已知△ABC. (1)分别画出△ABC的中线AD 和角平分线AE； (2) 观察(1)中画出的图形，你能找出图中有哪些等量关系?
2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EC⊥BC交AB于点E，CF⊥AB，垂足为点F，BG⊥AC，垂足为点G. (1) 分别写出△ABC各条边上的高；
△ABC中AB边上的高为CF，AC边上的高为BG，BC边上的高为AD.
(2) CF是哪几个三角形的高?
CF是△ACF，△ABC，△AEC，△CEF，△CBF，△BCE的高.
如图，AC是△ABC的一条边，反向延长△ABC的另一条边CB，得到射线 CE，请你指出边CA与CE所组成的角.它与△ABC的内角有什么不同?
三角形一个角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做三角形的外角.
如图 ，延长△ABC的三边，分别得直线DE，FG，MN.
(1) ∠BCG是△ABC的一个外角吗? ∠ECG呢?为什么?
(2) 写出△ABC的所有外角，并指出它们之间哪些角是相等的；
(3) 三角形的一个外角 (例如 ∠ACE) 跟与它相邻的内角有什么数量关系?
(4) 三角形的一个外角(例如∠ACE)跟与它不相邻的两个内角的和有什么数量关系?为什么?
因为∠ACE ＋∠ACB＝180°， ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB＝180°所以 ∠ACE ＝ ∠BAC＋ ∠ABC.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
(5) 比较三角形的一个外角(例如∠ACE)跟与它不相邻的任何一个内角，哪个大?能说明你的理由吗?
因为∠ACE＝∠BAC＋∠ABC，所以∠ACE＞∠BAC， ∠ACE＞∠ABC
由此可知，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
如图，已知∠ACD＝150°，∠A＝2∠B，求∠B的度数.
因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以 ∠ACD＝∠A＋∠B又因为 ∠A＝2∠B，
于是 ∠ACD＝2∠B＋∠B＝3∠B由∠ACD＝150°，得3∠B＝150°所以∠B＝50°
如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A.
(1) 求△ABC的各内角的度数；(2) 求∠ADB的度数
(1) 求△ABC的各内角的度数；
因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABC＝2∠ABD.因为∠ABD＝∠A，所以∠ABC＝2∠A
在△ABC中，因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°所以∠A＋2∠A＋3∠A＝180°即 6∠A＝180°从而∠A＝30°， ∠ABC＝60°， ∠C＝90°
(2) 求∠ADB的度数
将一副三角尺按右图的方式放置，如果不计三角尺的厚度，求它们的两条斜边所成的钝角α的度数.
如图，依据题意可知∠CAD＝∠CDA ＝ 45°∠CBE ＝60°根据四边形内角和为360°可知，∠C＋∠CBD＋∠CDA＋∠BFD ＝ 360.
∴∠BFD ＝ 165°∴∠DFB与∠α为对顶角.∴∠a＝∠BFD＝165°.
1.(1)如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，这个三角形是什么三角形?
(2) 如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是什么三角形?为什么?
三角形的一个外角小于与它相邻的内角，三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个不相邻的内角，∴这个内角大于90°，∴此三角形是钝角三角形.
(3) 如果三角形的一个外角大于与它相邻的内角，能判定这个三角形的形状吗?为什么?
三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个不相邻的内角，所以无法确定这个内角是锐角直角还是钝角，故无法判定这个三角形的形状.
2. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，AE是∠BAC的平分线，∠ACD＝106°.求∠AEC的度数.
1. 如图，在△ABC中，AE⊥BC，点E是垂足，点D是边BC上的一点，连接AD. (1) 写出△ABE的三个内角；
∠ABE、∠BEA、∠EAB；
(2) 在△ABD中，∠B的对边是___________； 在△ABD中，∠B的对边是___________.
(3) 图中共有_____个三角形，把它们分别写出来.这些三角形中，哪些是直角三角形?哪些是锐角三角形?哪些是钝角三角形?
分别为△ABD、 △ADE、 △AEC、 △ABE、 △ADC、 △ABC，其中△ADE、 △AEC、 △ABE是直角三角形， △ADC、 △ABC是锐角三角形， △ABD是钝角三角形
(4) 线段AD是哪几个三角形的公共边?(5)∠ADC是哪几个三角形的公共角? ∠AED呢?
线段AD是△ABD、△ADE、△ADC的公共边；
∠ADC是△ADE、△ADC的公共角，∠AED是△ADE和△ABE的公共角.
2. 有5根细木棒，长度分别是2厘米、4厘米、6厘米、8厘米和10厘米.从中任意取出3根，能组成多少个不同的三角形?
根据三角形的三边关系，得出能组成三角形的不同取法有； 4厘米、6厘米、8厘米；4厘米、8厘米、10厘米； 6厘米、8厘米、10厘米；能组成3个不同的三角形.
3. 已知等腰三角形的周长是 10，且各边长都为整数，求各边的长.
设腰长为x，则底边为10－2x.∵10－2x－x＜ x ＜10－2x＋x.∴ 2.5＜x＜5∵三边长均为整数，∴ x可取的值为3或4故各边的长为3，3，4或4，4，2.
4. AD是△ABC的中线，AB ＝ 10，AC＝7，△ABD的周长比△ACD的周长大多少?
5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高.写出图中的直角三角形，并指出图中相等的锐角.
6. 观察右图，填空： (1) ∠ADE＝∠B＋∠_________， ∠ADB＝∠C＋∠______＝∠AED＋∠_______； (2)用“＞”或“＜”填空： ∠AEC______∠AED； ∠AEC______∠B.
7. 如图，在△ABC中， ∠B，∠C的角平分线BE，CF交于点D， ∠A＝ 70°.求∠BDC的度数.
又∵∠BAC ＝ 70°，∴∠ABC＋∠ACB ＝ 180° － 70° ＝ 110°∴∠EBC＋∠FCB＝ 55°，故∠BDC ＝180°－ 55°＝125°
8. 如图，∠BAF，∠CBD与∠ACE是△ABC的三个外角.你能求出这三个外角度数之和吗?说明你的理由.
∵∠BAF＋∠BAC＝180°， ∠CBD＋∠ABC＝180° ∠ACE＋∠ACB＝180°.
∴∠BAF＋∠BAC＋∠CBD＋∠ABC＋∠ACE＋∠ACB＝3×180°＝540°，∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180° ∠BAF＋∠CBD＋∠ACE＝540°－180°－360°＝360° 即三个外角的和等于360°
9. 在△ABC中，∠A－∠B ＝ 60°， ∠B－∠C ＝ 15°.求∠A，∠B，∠C的度数.
10. 图中具有一条公共边的三角形有多少对?
11. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和 12 两部分，求原等腰三角形的腰长和底边长.
12. 如图，△ABC的三条中线相交于一点O，图中哪些三角形面积分别相等?为什么?
∵△ABC的三条中线相交于一点O.∴ AE＝BE，BD＝CD，AF＝CF，AO＝2OD，BO＝2OF，OC＝2OE，
∵点O为重心∴S△ABO＝S△BCO＝S△ACO，∴S△AOE＝S△BOE＝S△BOD ＝ S△COD ＝ S△AOF ＝ S△COF.
13. 一个三角形两个外角的和是与它们都不相邻的内角的3倍求这个内角的度数.
14. 把一副三角尺如图所示放置，如果不计三角尺的厚度，图中∠α的度数是多少?
15. 现有长为150厘米的铁丝，把它截成n段(n ＞ 2)，使其中任意3段均不能作为同一个三角形的边.请你对于n ＝ 3，4，5 的情形，各给出一种满足条件的截法.
16. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC边上的一点，BD＝2AD，BE＝2CE. AE，CD相交于点O. △ADO的面积与△CEO的面积是否相等?为什么?
S△AOD＝S△EOC.
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