2023-2024学年山东省淄博市沂源县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市沂源县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 34
2.如图，等边三角形ABC中，将边AC逐渐变成以BA为半径的AC，其他两边的长度不变，则∠ABC的度数大小由60变为( )
A. 180πB. 120πC. 90πD. 60π
3.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子直径为( )
A. 10m
B. 8m
C. 6m
D. 5m
4.每当晴天，小亮在早晨上学的路上和下午放晚学的路上，面朝前走时，都看不到自己的影子，那么小亮的家在学校的( )
A. 东面B. 西面C. 南面D. 北面
5.将抛物线y=2(x−1)2+3绕原点旋转180°，旋转后的抛物线解析式为( )
A. y=−2(x−1)2+3B. y=2(x+1)2−3
C. y=−2(x+1)2−3D. y=2(x−1)2−3
6.若一个圆锥的主视图是一个腰长为6，底角为α的等腰三角形，且csα=13，则其圆锥的全面积是( )
A. 9πB. 16πC. 27πD. 36π
7.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点，则∠APC的度数为( )
A. 36°
B. 60°
C. 65°
D. 72°
8.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+1的图象如图所示，则方程ax2+bx+1=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断
9.如图，直线y=x与函数y=9x(x>0)的图象交于点B，点A为x轴正半轴上的一点，点C在线段AB上，且BC=2AC.用下列坐标表示的点，在直线BC上的是( )
A. (−2024,674)
B. (−2023,675)
C. (2025,−671)
D. (2024,−670)
10.如图，点A(2,4)，B均为双曲线y=kx在第一象限上的点，且∠AOB=45°，则点B的坐标为( )
A. (4,2)
B. (5,85)
C. (2 5,4 55)
D. (2 6,2 63)
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知⊙O的半径为5，点A为线段OP的中点，当OP=9时，点A与⊙O的位置关系是______．
12.一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2 000尾，小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，则水库里有______尾鲫鱼．
13.如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=400m，∠ACB=α，那么AB等于______(用含α的三角函数表示)
14.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作.港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走160米(BC=160米)，到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是______米.
15.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D四点均在正方形网格的格点上，线段AB，CD相交于点E，则tan∠DEB= ．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=23，AC=10，求△ABC的面积．
17.(本小题10分)
如图是由9个相同的小立方体组成的一个几何体，请利用下方网格画出这个几何体的主视图、左视图．(请在网格上画出边框并涂上阴影)
18.(本小题10分)
AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF.求证：AC=BD．
19.(本小题10分)
烟花三月下扬州，又到一年扬马时，2023年4月16日，扬州鉴真国际半程马拉松比赛正式鸣枪，来自世界各地的2万名跑者在扬州最美的季节畅意奔跑，外地的江女士也来参加扬马，借此机会她还想在扬州游玩一日，领略江南的美景，并购买一件纪念品，经网友推荐，她计划在“①瘦西湖”“②东关街”“③大明寺”“④个园”四个景点中挑选一个景点游玩：在扬州特色的纪念品：“a漆器”“b剪纸”“c乱针绣”三种中挑选一件留作纪念．
(1)四个景点中江女士去瘦西湖的概率是______；
(2)求江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的概率，请用列表或画树状图说明．
20.(本小题12分)
如图，等腰△ABC中，AB=AC=52，BC=4，点B在y轴上，BC/​/x轴，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A，交BC于点D．
(1)若OB=3，求k的值；
(2)连接CO，若AB=BD，求四边形ABOC的周长．
21.(本小题12分)
如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)OC=1m，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12m时，达到最大高度7m，草坡上距离O的水平距离为18m的点A处有一棵高43米的小树，小树垂直水平地面且点A到水平地面的距离为3m．

(1)请判断水流能否浇灌到小树后面的草地？并说明理由；
(2)记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1−y2的最大值．
22.(本小题13分)
如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G(不与点O，B重合)，连接OF．
(1)若BE=1，求GE的长．
(2)求证：BC2=BG⋅BO．
(3)若FO=FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
23.(本小题13分)
如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；
(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是14，
故选：A．
根据概率的意义，即可解答．
本题考查了概率的意义，本题考查了概率的意义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：设∠ABC的度数大小由60变为n，
则AC=nπ×AB180，由AC=AB，
解得，n=180π，
故选：A．
设∠ABC的度数为n，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可．
本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式l=nπr180是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：设半径为r m，则OA=OC=r m，
∴OD=(r−2)m，
∵AB=8m，
∴AD=4m，
在Rt△ODA 中，有
OA2=OD2+AD2，即
r2=(r−2)2+42，
解得r=5m，
则该桨轮船的轮子直径为10m．
故选：A．
设半径为r，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案．
本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道OC 垂直平分AB 这个隐藏的条件．
4.【答案】B
【解析】解：因为小亮在早晨上学的路上和下午放晚学的路上，面朝前走时，都看不到自己的影子，
所以，他早晨是面向东，下午是面向西，
故小亮的家在学校的西面．
故选：B．
在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．
本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，−y=2(−x−1)2+3，得到y=−2(x+1)2−3．
故旋转后的抛物线解析式是y=−2(x+1)2−3．
故选：C．
根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．
此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．
6.【答案】B
【解析】解：∵圆锥的主视图是一个腰长为6，底角为α的等腰三角形，
∴圆锥的母线长为6，
∵csα=13，
∴底面半径为2，
∴圆锥的全面积=πrl+πr2=2×6π+π×22=16π，
故选B．
首先根据圆锥的主视图的腰长和底角的余切值求得底面半径，从而求得侧面积和底面积，相加即为全面积．
本题考查了圆锥的计算、解直角三角形、简单几何体的三视图等知识，解题的关键是根据母线求得圆锥的底面半径，难度不大．
7.【答案】D
【解析】解：如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC=360°5×2=144°，
∴∠APC=12∠AOC=72°，
故选：D．
连接OA，OC，求出∠AOC的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+1的图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数解．
故选：B．
根据抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线与x轴的交点个数可判断方程ax2+bx+1=0的根的情况．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根的判别式．
9.【答案】C
【解析】解：如图，作BM⊥x轴，垂足为M，作CN⊥x轴，垂足为点N，
联立两个函数解析式得：y=xy=9x，解得x=3y=3或x=−3y=−3(x>0舍去)，
∴B(3,3)，
∴BM=3，
∵BC=2AC，
∴ACAB=13，
∵BM//CN，
∴△ACN∽△ABM，
∴ACAB=CNBM=13，
∴CN=1，
将y=1代入反比例函数解析式y=9x得x=9，
∴C(9,1)，
舍直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴3k+b=39k+b=1，解得k=−13b=4，
∴直线BC的解析式为：y=−13x+4，
当x=2025时，y=−671，故C(2025,−671)在直线BC上，
故选：C．
作BM⊥x轴，垂足为M，作CN⊥x轴，可得△ACN∽△ABM，导出CN=1，再代入反比例函数解析式求出点C的横坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后验证点(2025,−671)在直线图象上即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，由三角形相似求出点C的坐标是关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AD⊥OA交OB延长线于点D，作AE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥EA延长线于点F，
∵∠AOB=45°，
∴∠AO=AD，
∴△ADF≌△OAE(HL)，
∴AF=OE=4，DF=AE=2，
∴D(6,2)，
∴lOD：y=13x，
∵A(2,4)，
∴y=8x，
联立y=13xy=8x，
解得x=2 6y=2 63(负值舍去)，
∴B(2 6,2 63)．
故选：D．
过点A作AD⊥OA交OB延长线于点D，作AE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥EA延长线于点F，则△ADF≌△OAE，求出反比例函数的表达式，联立方程即可求解．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
11.【答案】在圆内
【解析】解：∵A为线段OP的中点，OP=9，
∴OA=4.5，
∵OA0)的图象经过点A，
∴k=2×92=9；
(2)设OB=a，
∵BD=AB=52，
∴A(2,32+a)，D(52,a)，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A，交BC于点D，
∴2(32+a)=52a，
解得：a=6，
∴OB=6，
∴OC= OB2+BC2= 62+42=2 13，
∴四边形ABOC的周长=AB+OB+OC+AC=11+2 13．
【解析】(1)过A作AE⊥BC于E交x轴于F，则AF/​/y轴，根据矩形的性质得到EF=OB=3，根据勾股定理得到AE= AB2−BE2=32，求得A(2,92)，于是得到结论；
(2)设OB=a，得到A(2,32+a)，D(52,a)，列方程得到2(32+a)=52a，求得OB=6，根据勾股定理得到OC= OB2+BC2= 62+42=2 13，于是得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理，解得的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(12,7)，
故设水流形成的抛物线的解析式为y=a(x−12)2+7，将点C(0,1)代入得a=−124，
∴抛物线的解析式为y=−124(x−12)2+7，
当x=18时，y=−124×36+7=5.5>43+3，
∴能水流浇灌到小树后面的草地；
(2)由题意可知点A的坐标为(18,3)，
则直线OA为y2=16x，
∴y1−y2=−124(x−12)2+7−16x=−124(x−10)2+316，
∴y1−y2的最大值为316．
【解析】(1)根据题意得到抛物线的顶点坐标为(12,7)，故设水流形成的抛物线的解析式为y=a(x−12)2+7，将点C(0,1)代入得到a=−124，于是得到抛物线的解析式为y=−124(x−12)2+7，于是得到结论；
(2)根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确地理解题意是解题的关键．
22.【答案】(1)解：直径AB垂直弦CD，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE+∠D=90°，
∵CF⊥AD，
∴∠FCD+∠D=90°，
∴∠DAE=∠FCD，
由圆周角定理得∠DAE=∠BCD，
∴∠BCD=∠FCD，
在△BCE和△GCE中，
∠BCE=∠GCECE=CE∠BEC=∠GEC，
∴△BCE≌△GCE(ASA)，
∴GE=BE=1；
(2)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∵∠ABC=∠CBE，
∴△ACB∽△CEB，
∴BCBE=BABC，
∴BC2=BA⋅BE，
由(1)知GE=BE，
∴BE=12BG，
∵AB=2BO，
∴BC2=BA⋅BE=2BO⋅12BG=BG⋅BO；
(3)解：∠CAD=45°，证明如下：
如图，连接OC，
∵FO=FG，
∴∠FOG=∠FGO，
∵直径AB垂直弦CD，
∴CE=DE，∠AED=∠AEC=90°，
∵AE=AE，
∴△ACE≌△ADE(SAS)，
∴∠DAE=∠CAE，
设∠DAE=∠CAE=α，∠FOG=∠FGO=β，
则∠FCD=∠BCD=∠DAE=α，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=α，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCF=∠ACB−∠OCA−∠FCD−∠BCD=90°−3α，
∵∠CGE=∠OGF=β，∠GCE=α，∠CGE+∠GCE=90°，
∴β+α=90°，
∴α=90°−β，
∵∠COG=∠OAC+∠OCA=α+α=2α，
∴∠COF=∠COG+∠GOF=2α+β=2(90°−β)+β=180°−β，
∴∠COF=∠AOF，
在△COF和△AOF中，
CO=AO∠COF=∠AOFOF=OF，
∴△COF≌△AOF(SAS)，
∴∠OCF=∠OAF，
即90°−3α=α，
∴α=22.5°，
∴∠CAD=2a=45°．
【解析】(1)由垂径定理可得∠AED=90°，结合CF⊥AD可得∠DAE=∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE=∠BCD，进而可得∠BCD=∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE=BE=1；
(2)证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2=BA⋅BE，再根据AB=2BO，BE=12BG，可证BC2=BG⋅BO；
(3)设∠DAE=∠CAE=α，∠FOG=∠FGO=β，可证a=90°−β，∠OCF=90−3α，通过SAS证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF=∠OAF，即90°−3a=a，则∠CAD=2a=45°．
本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．
23.【答案】解：(1)抛物线的表达式为y=−x2+x+2．
直线BC的表达式为y=−x+2．
(2)∵点M在直线BC上，且P(m,n)，
∴点M的坐标为(m,−m+2)，
∴OC=2
∴CM2=(m−0)2+(−m+2−2)2=2m2，OM2=m2+(−m+2)2=2m2−4m+4，
当△OCM为等腰三角形时，
①若CM=OM，则CM2=OM2，
即2m2=2m2−4m+4，
解得m=1；
②若CM=OC，则CM2=OC2，
即2m2=4，
解得m= 2或m=− 2(舍去)；
③若OM=OC，则OM2=OC2，
即2m2−4m+4=4，
解得m=2或m=0(舍去)．
综上，m=1或m= 2或m=2．
(3)∵点P与点C相对应，
∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，
①若点P在点B的左侧，
则∠CBN=45°,BN=2−m,CB=2 2，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ=45°时，
直线OP的表达式为y=x，
∴−m2+m+2=m，
解得m= 2或m=− 2(舍去)，
∴OP2=( 2)2+( 2)2=4，即OP=2，
∴OPBC=OQBN，即22 2=OQ2− 2，
解得OQ= 2−1，
∴P( 2, 2),Q(0, 2−1)，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO=45°时，
PQ= 2m,OQ=−m2+m+2+m=−m2+2m+2，
∴PQCB=OQBN，即 2m2 2=−m2+2m+22−m，
解得m=1± 5(舍去)．
②若点P在点B的右侧，
则∠CBN=135°，BN=m−2，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ=135°时，
直线OP的表达式为y=−x，
∴−m2+m+2=−m，
解得m=1+ 3或m=1− 3(舍去)，
∴OP= 2m= 2+ 6，
∴OPBC=OQBN，即 2+ 62 2=OQ 3−1，
解得OQ=1，
∴P(1+ 3,−1− 3),Q(0,1)，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO=135°时，
PQ= 2m，OQ=|−m2+m+2+m|=m2−2m−2，
∴PQCB=OQBN，即 2m2 2=m2−2m−2m−2，
解得m=1+ 5或m=1− 5(舍去)，
∴P(1+ 5,−3− 5),Q(0,−2)，
综上，P( 2, 2)，Q(0, 2−1 )或P(1+ 3,−1− 3)，Q(0,1)或P(1+ 5,−3− 5)，Q(0,−2)．
【解析】(1)由题得抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−2)，将点C坐标代入求a，进而得到抛物线的解析式；设直线BC的解析式为y=kx+t，将B、C两点坐标代入求解即可得到直线BC的解析式．
(2)由题可得M坐标，分别求出OC，OM，CM，对等腰三角形OCM中相等的边界线分类讨论，进而列方程求解．
(3)对P点在B点左右两侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解m，进而得到点P，点Q的坐标．
本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等相关知识．