专题11圆有关计算与证明最新模拟预测40道（性质、切线、弧长与扇形、内接与内切）-【临考预测】2023中考数学重难题型押题培优【全国通用】

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（性质、切线、弧长与扇形、内接与内切）
类型一、圆的有关性质计算与证明
1．（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，过圆心O作边AB的垂线，与AC延长线交于点D，与边BC交于点E．
(1)若∠D=20°，求∠BOC的大小；
(2)求证：CD⋅BE=DE⋅OB．
【答案】(1)140°
(2)证明见解析
【分析】（1）求出BC所对圆周角，根据圆周角与圆心角的关系即可求得；
（2）证明△DEC ∽△BEO即可得证．
【详解】（1）解：∵DO⊥AB，∠D=20°，
∴∠BAC=70°，
∵∠BOC与∠BAC分别是BC所对的圆心角与圆周角，
∴∠BOC=2∠BAC=140°．
（2）证明：∵DO⊥AB
∴∠D=90°−∠BAC
由（1）可知∠BOC=2∠BAC，
又OC=OB
∴∠OBE=12180°−∠BOC
=90°−∠BAC
=∠CDE，
又∵∠DEC=∠BEO，
∴△DEC ∽△BEO，
∴CDOB=DEBE，
∴CD⋅BE=DE⋅OB．
【点睛】本题考查了三角形相似及圆的基本性质，掌握圆周角与圆心角的关系是解题的关键．
2．（2023·湖北孝感·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，12AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．
(1)求证：D是AE的中点；
(2)求证：∠DAO=∠B+∠BAD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可以证明该结论；
（2）根据OD∥BC，OD=OA，可以得到角的关系，然后通过转化就可以证明结论．
【详解】（1）证明：∵由已知可得，OD∥BC，OD=OC，
∴∠ODC=∠DCE，∠ODC=∠OCD，
∴∠OCD=∠DCE，
∴AD=DE，
即D是AE的中点；
（2）证明：延长AD与BC交于点G，如图所示，
∵OD∥BC，OD=OA，
∴∠ADO=∠AGE，∠ADO=∠DAO，
∴∠AGE=∠DAO，
∵∠AGE=∠B+∠BAD，
∴∠DAO=∠B+∠BAD．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系、平行线的性质，三角形的外角与内角的关系，解题的关键是明确题意，找出所求结论需要的条件．
3．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角．已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．
(1)若AB为⊙O的直径，则∠APB= ______ ；
(2)若⊙O半径为1，AB=2，求∠APB的度数．
【答案】(1)90°
(2)∠APB=45°或135°
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠APB的度数．
（2）连接OA、OB、AB.由勾股定理的逆定理，即可证得∠AOB=90°.然后由圆周角定理，即可求得答案．
【详解】（1）AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
故答案为：90°；
（2）连接OA、OB、AB.
∵⊙O的半径是1，
∴OA=OB=1.
又∵AB=2，
∴OA2+OB2=AB2，
由勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°.
若点P在优弧APB上,∠APB=12∠AOB=45°.
若点P在劣弧AB上,∠AP'B=180°−∠APB=180°−45°=135°.
∴∠APB=45°或135°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
4．（2023·江西南昌·统考一模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留画图痕迹）．
(1)在图1的⊙O上作点D，使△BCD为等腰直角三角形；
(2)在图2的⊙O上作点M，N，使四边形BCMN为正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接CO，并延长CO交⊙O于点D，连接BD，即可求解；
（2）连接CO，BO，并分别延长CO，BO交⊙O于点N，M，连接BD，CM，
【详解】（1）解：画图如下：点D即为所求．
理由：如图，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°，
∵∠D=∠A=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形；
（2）解：画图如下：正方形BCMN即为所求．
理由：如图，连接CO，BO，并分别延长CO，BO交⊙O于点N，M，连接BD，CM，
∵CN,BM是⊙O的直径，
∴∠CBN=∠BCM=∠CMN=∠BNM=90°，
∴四边形BCMN是矩形，
∵∠CNB=∠A=45°，
∴△BCN为等腰直角三角形，
∴BC=BN，
∴四边形BCMN是正方形．
【点睛】本题主要考查了复杂作图，圆周角定理，正方形的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．（2023·陕西西安·校考一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，点E是⊙O上一点，连接OE并延长交过点C的切线CD于点D，∠B=∠D．
(1)求证：OD∥AC；
(2)延长EO交AB于点F，AF=2，⊙O的直径为25，求OD的长．
【答案】(1)见解析
(2)OD=5．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠A=90°，求得∠B+∠BCA=90°，根据切线的性质得到∠BCD=90°，求得∠D+∠COD=90°，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠BFO=∠A=90°，根据勾股定理得到OF的长，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠A=90°，
∴∠B+∠BCA=90°，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠BCD=90°，
∴∠D+∠COD=90°，
∵∠B=∠D，
∴∠BCA=∠COD，
∴OD∥AC；
（2）解：由（1）可得OD∥AC，
∴∠BFO=∠A=90°，
即OF⊥AB，
∴BF=AF=2，
∵⊙O的直径为25，
∴OB=OC=5，
在Rt△BFO中，OF=OB2−BF2=1，
∵∠B=∠D，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△DOC，
∴OBOF=ODOC，
∴51=OD5，
解得OD=5．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
6．（2023·陕西西安·西安建筑科技大学附属中学校考一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB．
(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；
(2)若AB=2，AD=1，求CD的长度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；
(2)3；
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
【详解】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=2，
∴AC=AB2+BC2=2，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=AC2−AD2=3，
∴CD=3．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
7．（2023·河南安阳·统考一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD是⊙O的直径，E是DA长线上一点，且∠CED=∠CAB．
(1)判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若DE=35，tanB=12，求线段CE的长．
【答案】(1)CE是⊙O的切线；见解析
(2)3
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，根据圆周角定理得出∠B=∠D，推出∠DCE=90°即可得出结论；
（2）根据∠B=∠D，得到tan∠B=tan∠D，即可得CD=2CE，再根据勾股定理得出CE即可．
【详解】（1）CE与⊙O相切，
理由：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠CED=∠CAB，∠B=∠D，
∴∠CED+∠D=90°，
∴∠DCE=∠ACB=90°，
∴CD⊥CE，
∵CD是⊙O的直径，即OC是⊙O半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）由（1）知，CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠B=∠D，tanB=12，
∴tan∠B=tan∠D=CECD=12，
∴CD=2CE，
在Rt△CDE中，CD2+CE2=DE2，DE=35，
∴2CE2+CE2=352，
解得CE=3（负值舍去），
即线段CE的长为3．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定是解答本题的关键．
8．（2023·河南郑州·统考一模）如图，点O在△ABC的边AB上，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别交于点D，F，且DE=EF．
(1)求证：∠C=90°；
(2)当BC=3,AC=4时，求⊙O半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)158
【分析】（1）连接OE，先根据切线性质得到∠OEA=90°，再根据等腰三角形的性质和等弧所对的圆周角相等证得∠OEB=∠EBD，进而证得OE∥BC即可证得结论；
（2）先根据勾股定理求得AB=5， 设⊙O的半径为r，则AO=5−r，证明△AEO∽△ACB得到OEBC=AOAB即r3=5−r5，进而求解即可．
【详解】（1）证明：连接OE，
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴∠OEA=90°，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
∵DE=EF，
∴DE=EF，
∴∠OBE=∠EBD，
∴∠OEB=∠EBD，
∴OE∥BC，
∴∠C=∠OEA=90°；
（2）解：在Rt△ABC中，BC=3,AC=4，∠C=90°，
∴AB=AC2+BC2=42+32=5，
设⊙O的半径为r，则AO=5−r，
∵OE∥BC，
∴△AEO∽△ACB，
∴OEBC=AOAB即r3=5−r5，
解得r=158，即⊙O半径的长为158．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，弧、弦、圆周角的关系，相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
9．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．
(1)求证：BD=BE；
(2)若DE=2，BD= 5，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，得出∠C=90°，BD是⊙O的切线，得出BD⊥AB，结合角平分线的定义，得出∠DEB=∠D，进而得出BD=BE；
（2）根据（1）的结论得出EF=DF=12DE=1，证明Rt△BDF∽Rt△ADB，根据相似三角形的性质得出AD=5，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠CAE+∠CEA=90°，
∵∠DEB=∠CEA，
∴∠DEB+∠DAB=90°．
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∴∠BAD+∠D=90°，
∴∠DEB=∠D，
∴BD=BE；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴BF⊥DE，
∵BD=BE，
∴EF=DF=12DE=1．
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∵BF⊥AD，
∴Rt△BDF∽Rt△ADB，
∴DFBD=BDAD，
∴BD2=DF⋅DA，
∴52=1×AD，
∴AD=5，
∴AE=AD−DE=5−2=3．
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
10．（2023·安徽·统考一模）如图，AB是半圆O的直径，点C是弧AB的中点，点D是弧AC的中点，AC、BD相交于点E，连接AD、BC．
(1)求证：BE=2AD；
(2)若AD=2，求△ABE的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）延长AD、BC交于点F，证明△ACF≌△BCE，根据全等三角形的性质与等腰三角形的性质得出BE=AF=2AD，即可得证；
（2）根据（1）的结论得出BE=4，由AB是半圆O的直径，得出AD⊥BD，然后根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，延长AD、BC交于点F，
在△ACF与△BCE中，
∠CAF=∠CBE∠ACF=∠BCE=90°AC=BC，
∴△ACF≌△BCE，
∴BE=AF，
∵AB是半圆O的直径
，∴BD⊥AF，
∵∠ABD=∠DBC，
∴AB=BF，
∴AD=DF，
∴BE=AF=2AD；
（2）∵AD=2，BE=2AD，
∴BE=4
∵AB是半圆O的直径，
∴AD⊥BD
∴S△ABE=12AD×BE=12×2×4=4．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．
类型二、切线的判定与性质
11．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，D是AB的中点， ∠FAC=12∠BDC．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若BC=6,sinB=45，求⊙O的半径及OD的长．
【答案】(1)见解析
(2)2，10
【分析】（1）作OH⊥FA，连接OE，根据直角三角形的性质可得CD=AD=12AB，从而得到∠CAD=∠ACD，再由∠FAC=12∠BDC，可得AC是∠FAB的平分线，然后根据角平分线的性质可得OH=OE，即可；
（2）根据题意可设AC=4x,AB=5x，根据勾股定理可得AC=8,AB=10，设⊙O的半径为r，则OC=OE=r，AO=8−r，根据△AOE∽△ABC，可得r=3，从而得到OE=3，DE=1，再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，作OH⊥FA，连接OE，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=AD=12AB，
∴∠CAD=∠ACD，
∵∠BDC=∠CAD+∠ACD=2∠CAD，
又∵∠FAC=12∠BDC，
∴∠FAC=∠CAB，
即AC是∠FAB的平分线，
∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，
∴OH=OE，
∵OH是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：在△ABC中，BC=6,sinB=45，
∴可设AC=4x,AB=5x，
∵AB2−AC2=BC2，
∴5x2−4x2=62，
解得：x=2，
∴AC=8,AB=10，
∵D是AB的中点，
∴AD=12AB=5，
设⊙O的半径为r，则OC=OE=r，AO=8−r，
∵∠AEO=∠ACB=90°，∠OAE=∠CAB，
∴△AOE∽△ABC，
∴OEBC=AOAB，
即r6=8−r10，
解得：r=3，
∴AO=5,OE=3，
∴AE=4，
∴DE=1，
在Rt△ODE中，由勾股定理得： OD=OE2+DE2=10．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质和判定，直接三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的切线的性质和判定是解题关键．
12．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC并交BC于点E，点O在AB上，经过点A，E的半圆O分别交AC，AB于点F，D，连接ED．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)判断∠DEB和∠EAB的数量关系，并说明理由；
(3)若⊙O的半径为5，AC=8，求点E到直线AB的距离．
【答案】(1)见详解
(2)∠DEB=∠EAB，理由见详解
(3)4
【分析】（1）连接OE，根据AE平分∠BAC，可得∠BAC=2∠EAB，根据∠EOD=∠OAE+∠OEA=2∠OAE，即有∠EOD=∠CAB，则AC∥OE，问题随之得解；
（2）结合∠BED+∠AEC=90°，∠CAE+∠AEC=90°，可得∠BED=∠CAE，再根据AE平分∠BAC，可得∠DEB=∠EAB，问题得解；
（3）过E点作EM⊥AD于M，根据角平分线的性质定理可得EM=CE，再证明△ACE∽△AED，问题随之得解．
【详解】（1）连接OE，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠EAB，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠EOD=∠OAE+∠OEA=2∠OAE，
∴∠EOD=∠CAB，
∴AC∥OE，
∵∠C=90°，
∴∠OEB=90°，
∴OE⊥BC，
∵OE为圆O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∠DEB=∠EAB，理由如下：
∵AD半圆O的直径，
∴∠AED=90°，
∴∠BED+∠AEC=90°，
∵∠CAE+∠AEC=90°，
∴∠BED=∠CAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠DEB=∠EAB；
（3）过E点作EM⊥AD于M，如图，
根据题意有：AD=5×2=10，
∵AE平分∠BAC，EM⊥AD，∠C=90°，
∴AC⊥CE，
∴EM=CE，
∵∠BAE=∠CAE，∠C=∠AED=90°，
∴△ACE∽△AED，
∴ACAE=AEAD，
∵AC=8，AD=10，
∴AE2=AD×AC=80，
∴CE=AE2−AC2=4，
∴EM=CE=4，
∴点E到直线AB的距离为4．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质等知识，掌握切线的判定是解答本题的关键．．
13．（2023·河南安阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，AB=5，点D是⊙O外一点，连接DB交⊙O于点C，连接OC，AC，AD，已知∠D+12∠AOC=90°．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若sinB=35，求线段CD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)94
【分析】（1）先由圆周角定理得到∠B=12∠AOC，即可得到∠D+∠B=90°，则∠BAD=90°，由此即可证明AD是⊙O的切线；
（2）先解Rt△ABC，求出AC=3，BC=4，则tanB=34，证明∠CAD=∠B，再解Rt△ADC求出CD的长即可．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠B=12∠AOC，
∵∠D+12∠AOC=90°，
∴∠D+∠B=90°，
∴∠BAD=90°，即AB⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，sinB=ACAB=35，
∴AC=AB⋅sinB=3，
∴BC=AB2−AC2=4，
∴tanB=ACBC=34，
∵∠B+∠BAC=90°=∠CAD+∠BAC，
∴∠CAD=∠B，
在Rt△ADC中，tan∠CAD=CDAC=tanB=34，
∴CD=34AC=94．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，灵活运用所学知识是解题的关键．
14．（2023·广西南宁·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，连结AC，AF，OC，AC平分∠FAB，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若tan∠DAC=12，AB=10，求线段DF的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）证明∠FAC=∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，FC，根据三角函数的定义，利用勾股定理解直角三角形，分别求出BC=25，AC=45，CD=4，AD=8，证明△DFC∽△CBA，得到DFBC=CDAC，即可求解．
【详解】（1）解：证明：∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC=∠CAO，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠FAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，
∵C在圆上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，FC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠CAB，
∴tan∠DAC=tan∠CAB=BCAC=12，即AC=2BC，
∵AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，即2BC2+BC2=102，
解得：BC=25（负值舍去），AC=45，
∵tan∠DAC=CDAD=12，
∴AD=2CD，同理可得：CD=4，AD=8，
∵四边形ABCF内接于⊙O，
∴∠AFC+∠B=180°，又∠AFC+∠DFC=180°，
∴∠B=∠DFC，
∵∠CDF=∠ACB=90°，
∴△DFC∽△CBA，
∴DFBC=CDAC，即DF25=445，
解得：DF=2．
【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是能根据切线的判定与性质和圆周角定理得到90°角．
15．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，连接EC并延长，AD垂直EC于点D．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，BE=2，求线段AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)245
【分析】（1）连接OC，由角平分线的定义及等腰三角形的性质，得出∠DAC=∠ACO，再根据平行线的判定定理，得出AD∥OC，进而得出∠OCE=90°，再根据切线的判定定理，即可得出结论；
（2）连接OC，证明△COE∽△DAE，由相似三角形的性质可求出答案．
【详解】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∴∠OCE=∠ADC
∵AD⊥DE，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥DE，
∵OC是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图1，连接OC，
∵AD∥OC，
∴△COE∽△DAE，
∴OCAD=OEAE，
∴3AD=2+32+3+3，
∴AD=245．
【点睛】本题考查了等边对等角、平行线的判定与性质、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质，解本题的关键是作辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．（2023·广西·统考一模）如图1，AB是⊙O的直径，点D，F在⊙O上，OD⊥AB，延长AB至点C，连接DF，交AB于点E，连接CF，CF=CE．
(1)证明：CF是⊙O的切线；
(2)如图2，连接AD，G是AD的中点，连接BG，若CF=5，BC=3，求tan∠ABG的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)13
【分析】（1）如图1，连接OF．由等边对等角可得∠ODF=∠OFD， ∠CFE=∠FEC．由对顶角相等可得∠OED=∠FEC，则∠OED=∠CFE．由题意知∠DOE=90°，可证∠CFE+∠OFD=∠OED+∠ODE=90°，则∠OFC=90°，即OF⊥CF，进而结论得证．
（2）如图2，过点G作GH⊥AB于点H．由题意知，∠DAB=45°，∠GHA=90°，则∠AGH=45°，有AH=HG，由GH⊥AB，DO⊥AB，可得HG∥DO，进而可证HG为△ADO的中位线，即HG=AH=12DO=12OB=12OA，可得OH=OA−AH=AH，BH=OH+OB=3AH，在Rt△BGH中，tan∠ABG=HGBH=AH3AH，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OF．
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD．
∵FC=CE，
∴∠CFE=∠FEC．
又∵∠OED=∠FEC，
∴∠OED=∠CFE．
∵OD⊥AB，
∴∠DOE=90°，
∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠CFE+∠OFD=90°，即∠OFC=90°，
∴OF⊥CF．
又∵OF是半径，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：如图2，过点G作GH⊥AB于点H．
由题意知，∠DAB=45°，∠GHA=90°，
∴∠AGH=45°，
∴AH=HG，
∵GH⊥AB，DO⊥AB，
∴HG∥DO，
∵G为AD中点，
∴HG为△ADO的中位线，
∴HG=AH=12DO=12OB=12OA，
∴OH=OA−AH=AH，BH=OH+OB=3AH，
在Rt△BGH中，tan∠ABG=HGBH=AH3AH=13，
∴tan∠ABG=13．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，垂径定理，中位线，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握并灵活运用．
17．（2023·广东梅州·校考模拟预测）如图：以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E．
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)求证：CG=BG．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【分析】（1）连接OC，根据∠A=∠CBD可得DC=CB，从而证明OC⊥DB，再根据DB∥CE可得OC⊥CE，即可得出结论；
（2）根据∠ACB=∠CFB=90°可证∠BCF=∠A，再根据∠A=∠CBD和等腰三角形的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵∠A=∠CBD，
∴DC=CB，
∴OC⊥DB，
∵DB∥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线．
（2）证明：∵AB为直径 ，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CF⊥AB，
∴∠CFB=90°，
∴∠BCF+∠CBA=90°，
∴∠BCF=∠A，
又∵∠A=∠CBD，
∴∠BCF=∠CBD，
∴CG=GB．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理和平行线的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解决问题的关键．
18．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点M是BMC的中点，作MN∥BC交AB的延长线于点N，连接AM交BC于点D．
(1)求证：MN是⊙O的切线；
(2)若BC=8，AD=3，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)256
【分析】（1）先根据弧、弦之间的关系得到AB=AC，再由点M是BMC的中点，得到BM=CM，由此即可证明ABM=ACM，则AM是⊙O的直径，由垂径定理可知AM⊥BC，即可证明AM⊥MN，则MN是⊙O的切线；
（2）如图所示，连接OB，设AM、BC交于D，由垂径定理得BD=4，设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，OD=r−3，在Rt△BOD中，由勾股定理的r2=42+r−32，解得r=256，则⊙O的半径为256．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴AB=AC，
∵点M是BMC的中点，
∴BM=CM，
∴BM+AB=CM+AC
∴ABM=ACM，
∴AM是⊙O的直径，
∴AM⊥BC，
∵MN∥BC，
∴AM⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：如图所示，连接OB，设AM、BC交于D，
∵AM⊥BC，BC=8，
∴BD=CD=12BC=4，
设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，
∵AD=3，
∴OD=OA−AD=r−3，
在Rt△BOD中，由勾股定理的OB2=BD2+OD2，
∴r2=42+r−32，
∴r=256，
∴⊙O的半径为256．
【点睛】本题主要考查了弧、弦之间的关系，切线的判定，垂径定理，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
19．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD
(1)求证：FD是⊙O的切线；
(2)若AB=10，BC=6，求DF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)203
【分析】（1）∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，得到∠CAB=∠BFD，推出FD∥AC；得到OD⊥FD，进而得出结论；
（2）利用勾股定理先求解AC，再利用垂径定理得出AE的长，可得OE的长，证明△AEO∽△FDO，再利用相似三角形的判定与性质得出DF的长．
【详解】（1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，
∴FD∥AC，
∵OD垂直于弦AC于点E，
∴OD⊥FD，
∵OD是⊙O的半径，
∴FD是⊙O的切线.
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，BC=6，
∴AC=102−62=8，AO=OB=OD=5，
∵DO⊥AC，
∴AE=CE=4，
∴OE=OA2−AE2=52−42=3，
∵AC∥FD，
∴△AEO∽△FDO，
∴AEFD=EODO，
∴35=4FD，
解得：DF=203．经检验符合题意.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理，切线的判定，以及平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理以及平行线的判定是解题的关键．
20．（2023·广东东莞·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
(1)证明：EF是⊙O的切线；
(2)若圆的半径R=5，BH=3，求GH的长；
(3)求证：DF2=AF⋅BF．
【答案】(1)见解析
(2)29
(3)见解析
【分析】（1）连接OD，证明OD⊥EF即可由切线的判定定理得出结论；
（2）连接OG，因为G是半圆弧中点，所以∠BOG=90°，在Rt△OGH中，根据勾股定理求解即可；
（3）证明△FBD∽△FDA，得FDFA=FBFD，即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接OG，
∵G是半圆弧中点，
∴∠BOG=90°，
在Rt△OGH中，OG=5，OH=OB−BH=5−3=2．
∴GH=OH2+OG2=29．
（3）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠OBD=90°，
由（1）得，EF是⊙O的切线，
∴∠ODF=90°，
∴∠BDF+∠ODB=90°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠DAB=∠BDF，
又∠F=∠F，
∴△FBD∽△FDA，
∴FDFA=FBFD，
∴DF2=AF⋅BF．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相关性质与判定定理．
类型三、弧长、扇形与阴影部分的面积
21．（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°．直线l过点C，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．
(1)求证：直线l是⊙O的切线；
(2)若AF=43，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)963−32π9
【分析】（1）连接OC，根据角平分线得出AF∥OC，再根据垂直定理得出OC⊥l，OC为半径，即可解答
（2）如图，连接CD，根据题意得出∠ACD=90°，∠FAC=∠CAD=30°，再根据含30°的直角三角形三边关系得到FC=12AC，设FC=x，得到CF=4，即可解答
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
∵ OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC=∠CAD，
∴∠FAC=∠ACO，
∴ AF∥OC，
∵AF⊥l，
∴OC⊥l，
∵OC为半径，
∴直线l是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接CD．
∵AD是圆的直径，
∴∠ACD=90°
又∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠CAD=30°，
∴∠FAC=∠CAD=30°，
在Rt△ACE中，∠FAC=30°，AF=43，
∴FC=12AC，
设FC=x，
则AC=2x，2x2−x2=432，
解得：x=4，
∴CF=4．
在Rt△OCG中，∠COG=60°，
得OC=432=833．
在Rt△CEO中，OE=1633．
∴S阴影=S△CEO−S扇形COD=12OE·CG−60π·OC2360=3233−32π9=963−32π9．
【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了直角三角形的性质和扇形的面积．
22．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，C，E在⊙O上，AC平分∠EAB，CD⊥AE，垂足为D，DC，AB的延长线交于点F．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若DE=1,AE=2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)23−23π
【分析】（1）连接OC，根据角平分线的意义和等边对等角得出∠EAC=∠OCA，继而根据平行线的判定与性质求出∠D=∠OCF，根据切线的判定证明即可；
（2）作OP⊥AE于点P，利用特殊角的三角函数值求出∠PAO=60°，进而求出CF，最后根据S阴影=S△FOC−S扇形OBC求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OC．
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠EAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠D=∠OCF．
∵CD⊥AE．
∴∠OCF=∠D=90°．
∴OC⊥DF．
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图，作OP⊥AE于点P，则四边形OCDP是矩形，AP=PE．
∵DE=1，AE=2，
∴OA=OC=PD=2，
∴cs∠PAO=PAOA=12，
∴∠PAO=60°．
∵AD∥OC，
∴∠COF=∠PAO=60°，
∴CF=OC⋅tan∠COF=2×tan60°=23，
∴S阴影=S△FOC−S扇形OBC=12×2×23−60π×22360=23−23π．
【点睛】本题考查了角平分线的意义和等边对等角，平行线的判定与性质，切线的判定，解直角三角形等知识．连接常用的辅助线是解题关键．
23．（2023·湖南永州·校考一模）．如图，AB是⊙O直径，弦CD垂直于AB，交AB于点E，连接AC，∠CDB=30°， CD=43．
(1)求半径OC；
(2)BC的弧长；
(3)求阴影面积．
【答案】(1)4
(2)43π
(3)83π
【分析】（1）根据圆周角定理得∠CAB=∠CDB=30°，根据垂径定理得CE=DE=23，∠COE=2∠CAB=60°，即可求出半径OC；
（2）根据弧长公式求BC的长度即可；
（3）连接OD，阴影面积为扇形BOD的面积．
【详解】（1）解：∵∠CDB=30°，
∴∠CAB=∠CDB=30°，
∵AB是⊙O直径，弦CD垂直于AB，CD=43，
∴CE=DE=12×43=23，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∵∠COE=2∠CAB=60°，
在Rt△COE中，sin∠COE=CEOC，
∴OC=CEsin∠COE=23sin60°=2332=4，
∴半径OC为4；
（2）∵∠COB=60°，OC=4，
∴BC的长为：60π×4180=43π，
∴BC的弧长为43π；
（3）如图，连接OD，
∴OD=OB=OC=4，
∵OB⊥CD，CE=DE，
∴BC=BD，S△COE=12CE⋅OE=12DE⋅OE=S△DOE，
∴∠DOB=∠COB=60°，
∴阴影部分的面积等于扇形DOB的面积，
∵扇形DOB的面积为：60π×42360=83π，
∴阴影面积为83π．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理及垂径定理的推论，锐角三角函数，弧长公式以及扇形面积等知识．熟练应用垂径定理及推论，弧长和扇形面积公式是解题关键．
24．（2023·安徽·校联考一模）如图，Rt△ABC中，在斜边AB上选一点O为圆心画圆，此圆恰好经过点A，且与直角边BC相切于点D，连接AD、DE．

(1)求证：△EAD∽△DAC；
(2)若∠CAD=30°，BE=2，求阴影部分图形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)23π+2+23
【分析】（1）连接OD，由题意易知∠ADE=∠ACD=90°，∠DAO=∠ADO，OD⊥BC，证得OD∥AC，可得∠CAD=∠ADO，可证得∠CAD=∠DAO，即可证得结论；
（2）由（1）可知，∠CAD=∠DAO=30°，可知∠CAB=60°，∠B=30°，∠DOE=60°，证得△DOE为等边三角形，易得∠BDE=30°，可得DE=BE=2，进而可得OD=DE=OE=2，BD=23，求得DE的长度，结合阴影部分图形的周长为DE+BE+BD即可求解．
【详解】（1）证明：连接OD，
由题意可知，∠ACD=90°，AE为直径，
∴∠ADE=90°，则∠ADE=∠ACD=90°，
∵BC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥BC，则∠ODB=90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ADO，
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠CAD=∠DAO，
∴△EAD∽△DAC；
（2）解：∵∠CAD=30°，由（1）可知，∠CAD=∠DAO，
∴∠CAD=∠DAO=30°，则∠CAB=60°，∠B=30°，∠DOE=60°，
∴△DOE为等边三角形，则∠ODE=60°，OD=DE=OE
又∵∠ODB=90°，
∴∠BDE=30°，
∴DE=BE=2，
∴OD=DE=OE=2，则BD=23，
DE=60°360°×2π×2=23π，
∴阴影部分图形的周长为：DE+BE+BD=23π+2+23．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，圆周角定理，切线的性质，等边三角形的判定及性质，弧长公式，连接圆心与切点是解决问题的关键．
25．（2023·吉林松原·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，连接CE．
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CD=3,BC=23，求AC的长（结果保留π）．
【答案】(1)CD是⊙O的切线．理由见解析
(2)2π3
【分析】（1）连接OC，证明OC⊥CD即可；
（2）根据三角函数的定义和弧长公式即可得到结论．
【详解】（1）结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠CBE，
∴∠OCB=∠CBE，
∴OC∥BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）在Rt△BCD中，∵CD=3,BC=23，，
∴sin∠CBD=CDBC=323=12，
∴∠CBD=30°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=BCcs30°=4，
∴AO=2，
∴AC的长为60π×2180=2π3．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．（2023·广东深圳·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若BE=AC=6，⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)10−32π
【分析】（1）连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，如图，由切线的性质得到OE⊥BC，再由角平分线的性质得到OE=OG，由此即可证明AB是⊙O的切线；
（2）连接OE，OF，过点O作OG⊥AB于点G，如图，先证明四边形OECF为正方形．得到EC=FC=OE=OF=2．求出BC=8，即可求出AB=10．证明AO平分∠BAC，进而推出∠OAB+∠OBC=45°，则∠AOB=135°．即可得到S阴影=S△OAB−S扇形OMN=12×10×2−135π×22360=10−32π=10．
【详解】（1）证明：连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，如图，
∵BC为⊙O的切线，
∴OE⊥BC．
∵BO平分∠ABC，OG⊥AB，OE⊥BC，
∴OE=OG．
∴直线AB经过半径OG的外端G，且垂直于半径OG，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，OF，过点O作OG⊥AB于点G，如图，
∵⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠ACB=90°，
∴四边形OECF为矩形，
∵OE=OF，
∴四边形OECF为正方形．
∴EC=FC=OE=OF=2．
∵BE=AC=6，
∴BC=8，
∴AB=AC2+BC2=10．
由（1）知：OG=OE=2，
∴OG=OF，
∵OG⊥AB，OF⊥AC，
∴AO平分∠BAC，
∴∠OAB=∠BAC．
∵BO平分∠ABC，
∴∠OBA=∠ABC．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠OBC=12∠ABC+∠BAC=45°，
∴∠AOB=135°．
∴S阴影=S△OAB−S扇形OMN=12×10×2−135π×22360=10−32π=10．
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质与判定，求不规则图形面积得到，正确作出辅助线是解题的关键．
27．（2023·河北·统考模拟预测）如图，已知AB是半圆O的直径，AB=4，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直于射线AB于点D，在直线DF上选取一点C（点C在点D的上方），使CD=OA，将射线CD绕点D逆时针旋转，旋转角为α(0°