专题03方程与不等式的应用大题押题预测（最新模拟50道）-【临考预测】2023中考数学重难题型押题培优【全国通用】

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类型一、一元一次方程的应用
1．（2023•雁塔区校级模拟）A、B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的办法不同，A旅行社的优惠办法是：全家有一人购全票，其余的人半价优惠；B旅行社的优惠办法是：全家每人均按6折票价优惠．请问当家庭的人数是多少时，两家旅行社的费用相同？
【分析】根据两家旅行社，优惠后的费用相同，可列出相应的方程，然后求解即可．
【详解】设当家庭的人数是x时，两家旅行社的费用相同，
由题意可得：90+（x﹣1）×90×0.5＝90x×0.6，
解得x＝5，
答：当家庭的人数是5时，两家旅行社的费用相同．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
2．（2023•临潼区一模）某商场举办促销活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减60元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，当某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金636元，求该电饭煲的进价．
【分析】设该电饭煲的进价为x元，则售价为80%×（1+50%）x元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金636元列出方程，求解即可．
【详解】设该电饭煲的进价为x元，则标价为（1+50%）x元，
售价为80%×（1+50%）x元，
根据题意，得80%×（1+50%）x﹣60＝636，
1.2x＝696，
解得x＝580．
答：该电饭煲的进价为580元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际运用，掌握题干数量关系是的关键．
3．（2023•雁塔区校级二模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，间有多少客人？”
【分析】设共有客人x人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗”列出方程即可．
【详解】设有x个客人，
则x2+x3+x4=78，
解得，x＝72，
答：有72个客人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
4．（2023•灞桥区校级二模）某校七年级科技兴趣小组计划制作一批飞机模型，如果每人做6个，那么比计划多做了10个，如果每人做5个，那么比计划少做了14个．该兴趣小组共有多少人？计划做多少个飞机模型？
【分析】设该兴趣小组共有x人，由题意表示出计划做的个数为（6x﹣10）或（5x+14），由此联立方程求得人数，进一步求得计划做的个数即可．
【详解】设该兴趣小组共有x人，由题意得
6x﹣10＝5x+14，
解得：x＝24，
则6x﹣10＝144﹣10＝134．
答：该兴趣小组共有24人，计划做134个飞机模型．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系：设出人数，表示出做的总个数，利用总个数相等联立方程解决问题．
5．（2023•定远县校级一模）某体育用品商店开展促销活动，有两种优惠方案．
方案一：不购买会员卡时，乒乓球享受8.5折优惠，乒乓球拍购买5副（含5副）以上才能享受8.5折优惠，5副以下必须按标价购买．
方案二：办理会员卡时，全部商品享受八折优惠，小健和小康的谈话内容如下：
小健：听说这家商店办一张会员卡是20元．
小康：是的，上次我办了一张会员卡后，买了4副乒乓球拍，结果费用节省了12元．（会员卡限本人使用）
（1）求该商店销售的乒乓球拍每副的标价．
（2）如果乒乓球每盒10元，小健需购买乒乓球拍6副，乒乓球a盒，小健如何选择方案更划算？
【分析】（1）设该商店销售的乒乓球拍每副的标价是x元，根据办会员卡购买比不办会员卡购买节省12元这一相等关系列方程求出x的值即可；
（2）先确定小健不办会员卡购买的乒乓球和球拍均享受8.5折优惠，再按不办会员卡与办会员卡所付钱数相同列方程求出a的值，再确定a为多少时不办会员卡划算、a为多少时办会员卡划算．
【详解】（1）设该商店销售的乒乓球拍每副的标价是x元，
根据题意得4x﹣20﹣0.8×4x＝12，
解得x＝40，
答：该商店销售的乒乓球拍每副的标价是40元．
（2）∵小健购买乒乓球拍6副，且6副＞5副，
∴小健不办会员卡购买的乒乓球和球拍均享受8.5折优惠，
若不办会员卡与办会员卡所付钱数相同，则0.85（10a+6×40）＝0.8（10a+6×40）+20，
解得a＝16，
答：若购买乒乓球少于16盒，则不办会员卡划算；若购买16盒乒乓球，不办会员卡与办会员卡所付钱数相同；若购买乒乓球多于16盒，则办会员卡划算．
【点睛】此题重点考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、方案选择问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示所购买的打折商品应付的钱数是解题的关键．
6．（2023•无为市一模）拉伊卜是2022年卡塔尔世界杯吉祥物，代表着技艺高超的球员．随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品．某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，每个大拉伊卜售价比小拉伊卜售价贵30元且销售30个小拉伊卜玩偶的销售额和21个大拉伊卜玩偶的销售额相同．
（1）求每个小、大拉伊卜玩偶的售价分别为多少元？
（2）世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶400个，大拉伊卜玩偶200个，世界杯开赛第二周，该经销商决定降价出售两种拉伊卜玩偶．已知：两种拉伊卜玩偶都降价a元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界杯开赛第一周多了10a个；大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为48000元，求a的值．
【分析】（1）设小拉伊卜玩偶售价为每个x元，则大拉伊卜玩偶售价每个（x+30）元，根据“销售30个小拉伊卜玩偶的销售额和21个大拉伊卜玩偶的销售额相同”可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可；
（2）根据题“该经销商世界杯第二周总销售额为48000元”，可以列出关于a的一元二次方程，然后求解即可．
【详解】（1）设小拉伊卜玩偶售价为每个x元，则大拉伊卜玩偶售价每个（x+30）元，
由题意可得30x＝21（x+30），
解得x＝70，
∴x+30＝100，
答：小、大拉伊卜玩偶售价分别为70元/个，100元/个；
（2）由题意可得，
（70﹣a）（400+10a）+（100﹣a）•200＝48000，
解得a1＝10，a2＝0（不符合题意，舍去），
即a的值是10．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7．（2023•秦都区校级二模）如图，悦悦将一张正方形纸片剪去一个宽为3cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为1cm的长条，如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍．
求：（1）原正方形纸片的边长；
（2）第二次剪下的长方形纸条的面积．
【分析】（1）设原正方形纸片的边长为xcm，根据长方形的周长公式结合第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据第一次的剪法找出剩余部分的长度，再根据长方形面积公式即可得出结论．
【详解】（1）设原正方形纸片的边长为xcm，
根据题意得：2（x+3）＝2×2（x﹣3+1），
解得：x＝7．
答：原正方形纸片的边长为7cm．
（2）x﹣3＝4，
4×1＝4（cm2）．
答：第二次剪下的长方形纸条的面积为4cm2．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是要注意：第一次剪完后，剩下的这边为（x﹣3）cm，难度一般．
8．（2023•未央区校级模拟）你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法．
（1）阅读下列材料：
问题：利用一元一次方程将0.7⋅化成分数．
解：设 0.7⋅=x．方程两边都乘以10，可得 10×0.7⋅=10x．由0.7⋅=0.777⋯，可知 10×0.7⋅=7.777⋯=7+0.7⋅，
即 7+x＝10x．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）可解得 x=79，即 0.7⋅=79．
填空：将0.2⋅写成分数形式为 29 ．
（2）请你仿照上述方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程：
①0.7⋅3⋅；②0.432⋅．
【分析】（1）根据阅读材料掌握无限循环小数转化为分数的方法运用方程求解即可；
（2）根据（1）的阅读材料化无限循环小数为分数的方法，建立方程求出其解即可．
【详解】（1）设0.2⋅=x，
∴2+0.2⋅=10x，
∴2+x＝10x，
∴x=29．
故答案为：29；
（2）①设 0.7⋅3⋅=x．
方程两边都乘以100，
∴100×0.7⋅3⋅=100x．
∵0.7⋅3⋅=0.7373⋯，
∴100×0.7⋅3⋅=73.7373⋯=73+0.7⋅3⋅，
∴73+x＝100x．
解得：x=7399，
∴0.7⋅3⋅=7399．
②设 0.432⋅=x．由题意，得
方程两边都乘以100，可得 43.2⋅=100x．
∵0.2⋅=29，
∴43+29=100x．
解得：x=389900．
∴0.432⋅=389900．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，无限循环小数化为分数的方法的运用，解答时根据式子变形建立方程是关键．
9．（2023•包头一模）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；
（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设每件真丝围巾降价y元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，结合要保证销售利润不低于原来最大利润的90%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）依题意得：50a+80×25＝15000，
解得：a＝260．
答：a的值为260．
（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，
依题意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100．
设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此时300﹣x＝300﹣100＝200．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
（3）设每件真丝围巾降价y元，
依题意得：（300﹣260）×100+（100﹣80）×12×200+（100﹣y﹣80）×12×200≥8000×90%，
解得：y≤8．
答：每件真丝围巾最多降价8元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
10．（2023•郓城县一模）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
【分析】（1）每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，根据“每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理”，可列方程，即可解得答案；
（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，《条例》施行后，每个A型点位每天处理生活垃圾37吨，每个B型点位每天处理生活垃圾30吨，根据题意列出不等式：37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，可解得y的范围，在求得的范围内取最小正整数值即得到答案．
【详解】（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾（x+7）吨，根据题意可得：
12（x+7）+10x＝920，
解得：x＝38，
答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨；
（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，
由（1）可知：《条例》施行前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则《条例》施行后，每个A型点位每天处理生活垃圾45﹣8＝37（吨），
《条例》施行前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则《条例》施行后，每个B型点位每天处理生活垃圾38﹣8＝30（吨），
根据题意可得：37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，
解得y≥167，
∵y是正整数，
∴符合条件的y的最小值为3，
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
【点睛】本题考查一次方程及一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系或不等关系，列方程或不等式．
类型二、二元一次方程组的应用
11．（2023•合肥模拟）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋，已知购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元，求每支毛笔和每副围棋的单价各多少元．
【分析】设每副围棋的单价是y元，每支毛笔的单价是x元，由题意：购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元，即可列出关于x、y的二元一次方程组，解二元一次方程组即可得出结论．
【详解】设每副围棋的单价是y元，每支毛笔的单价是x元，
依题意得：5x+12y=3158x+6y=240，
解得：x=15y=20，
答：每支毛笔的单价是15元，每副围棋的单价是20元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．（2023•海口模拟）海南的三月伊始，芒果已经飘香，小明家有两块地种芒果，去年共收芒果5000千克，今年在农业专家的种植指导下共收获芒果5600千克，已知第一块芒果园的产量比去年增加10%，第二块芒果园的产量比去年增加15%，问这两块芒果园今年收获芒果各多少千克？
【分析】设第一块芒果园去年收获芒果x千克，第二块芒果园收获芒果y千克，则第一块芒果园今年收获芒果（1+10%）x千克，第二块芒果园收获芒果（1+15%）y千克，由题意：去年共收芒果5000千克，今年在农业专家的种植指导下共收获芒果5600千克，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【详解】设第一块芒果园去年收获芒果x千克，第二块芒果园收获芒果y千克，
则第一块芒果园今年收获芒果（1+10%）x千克，第二块芒果园收获芒果（1+15%）y千克，
由题意得：x+y=5000(1+10%)x+(1+15%)y=5600，
解得：x=3000y=2000，
∴（1+10%）x＝1.1×3000＝3300，（1+15%）y＝1.15×2000＝2300，
答：第一块芒果园今年收获芒果3300千克，第二块芒果园收获芒果2300千克．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13．（2023•太和县一模）《九章算术》中“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛（古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，…”译文：“已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，…”问：1个大桶和1个小桶分别盛酒多少斛？
【分析】根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【详解】设1个大桶和1个小桶分别盛酒x斛、y斛，
5x+y=3x+5y=2，
∴x=1324y=724，
答：1个大桶和1个小桶分别盛酒1324斛、724斛．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，列出方程组．
14．（2023•瑶海区校级模拟）近年来，妇女权益得到有力保障，参加养老保险（即城镇职工养老保险和城乡居民养老保险）的人数越来越多，2022年某地区参加养老保险的妇女共165万人，与2010年相比，增加了120万人，其中参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别是2010年的1.5倍和8倍，求2022年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数．
【分析】设2010年参加城镇职工养老保险的人数为x万人，参加城乡居民养老保险的人数为y万人，则2022年参加城镇职工养老保险的人数为1.5x万人，参加城乡居民养老保险的人数为8y万人，由题意：2022年某地区参加养老保险的妇女共165万人，与2010年相比，增加了120万人，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】设2010年参加城镇职工养老保险的人数为x万人，参加城乡居民养老保险的人数为y万人，
则2022年参加城镇职工养老保险的人数为1.5x万人，参加城乡居民养老保险的人数为8y万人，
由题意得：1.5x+8y=165x+y=165−120，
解得：x=30y=15，
∴1.5x＝1.5×30＝45，8y＝8×15＝120，
答：2022年参加城镇职工养老保险的人数为45万人，参加城乡居民养老保险的人数为120万人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（2023•碑林区校级二模）周末同学们和部分家长代表共30人组团到动物园进行春游活动．已知动物的门票销售标准是：家长成人票150元/张，学生门票是成人票价的五折．该团队购门票共花费2400元．问该团队家长代表和学生分别有多少人？
【分析】设该团队家长代表有x人，学生有y人，利用总价＝单价×数量，结合该团队共30人且购买门票共花费2400元，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】设该团队家长代表有x人，学生有y人，
根据题意得：x+y=30150x+150×0.5y=2400，
解得：x=2y=28．
答：该团队家长代表有2人，学生有28人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16．（2023•邯山区校级一模）小明到某水果店购买苹果和梨，他发现一人购买1千克苹果和2千克梨共花费了28元，另一人购买2千克苹果和1千克梨共花费了32元．
（1）妈妈给小明带了20元钱，想购买1千克苹果和1千克梨；小明带的钱够用吗？说明理由；
（2）到家后妈妈给小明出了一道题：如果给你带250元钱．
①当购买苹果和梨的重量相等时，最多能够买多少千克苹果？（千克只取整数）
②当购买苹果的重量是梨的重量的2倍时，最多能够买多少千克苹果？（千克只取整数）
【分析】（1）设1千克苹果的价格为x元，1千克梨的价格为y元，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x+y）中可求出购买1千克苹果和1千克梨所需费用，将其与20比较后可得出小明带的钱够用；
（2）①设可以购买m千克苹果，则购买m千克梨，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过250元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出最多能够买12千克苹果；
②设可以购买n千克苹果，则购买12n千克梨，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过250元，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，再结合n，12n均为正整数，即可得出最多能够买14千克苹果．
【详解】（1）小明带的钱够用，理由如下：
设1千克苹果的价格为x元，1千克梨的价格为y元，
依题意得：
x+2y=282x+y=32，
解得：x=12y=8，
∴x+y＝12+8＝20．
答：小明带的钱够用．
（2）①设可以购买m千克苹果，则购买m千克梨，
依题意得：12m+8m≤250，
解得：m≤1212，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为12．
答：最多能够买12千克苹果．
②设可以购买n千克苹果，则购买12n千克梨，
依题意得：12n+8×12n≤250，
解得：n≤1558，
又∵n，12n均为正整数，
∴n的最大值为14．
答：最多能够买14千克苹果．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
17．（2023•未央区校级模拟）某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽西安”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价．
【分析】设A型垃圾桶的单价是x元，B型垃圾桶的单价是y元，根据“用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】设A型垃圾桶的单价是x元，B型垃圾桶的单价是y元，
根据题意得：14x+8y=16003x=4y，
解得：x=80y=60．
答：A型垃圾桶的单价是80元，B型垃圾桶的单价是60元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（2023•禅城区一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
（1）求甲、乙两人各带的钱数；
（2）若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？
【分析】（1）设甲有钱x，乙有钱y，根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱50，列二元一次方程组，求解即可；
（2）分别求出单独购买和合起来购买的数量，进一步求解即可．
【详解】（1）设甲有钱x，乙有钱y，
根据题意，得x+12y=5023x+y=50，
解得x=37.5y=25，
答：甲有钱37.5，乙有钱25；
（2）37.5÷2.5+25÷2.5＝25（本），
（37.5+25）÷（2.5×0.8）＝31.25，取正整数31本，
31﹣25＝6（本），
答：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立二元一次方程组是解题的关键．
19．（2023•南海区校级模拟）新冠肺炎疫情期间，佩戴口罩是做好个人防护的重要举措．因此，小明购买了一次性医药口罩和N95口罩共60个，其中一次性医药口罩数量是N95口罩数量的2倍多6个．求小明购买一次性医药口罩和N95口罩各有多少个？
【分析】题中有两个等量关系：购一次性医药个数+N95口罩个数＝60个，购一次性医药口罩数量＝2倍N95口罩+6个．据此设未知数列方程组解答即可．
【详解】小明购买一次性医药口罩和N95口罩各有x个，y个，
则x+y=60x=2y+6，
解得：x=42y=18，
即小明购买一次性医药口罩42个，N95口罩18个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，注重建模思想，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，提高学生分析问题，解决问题的能力．
20．（2023•青秀区校级模拟）广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案．
【分析】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输土方x吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方y吨，根据“5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需要安排m辆大型渣土运输车，则安排（20﹣m）辆小型渣土运输车，根据20辆渣土运输车至少一次运输土方156吨，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设总运输费用为w元，利用总运输费用＝600×派出大型渣土运输车的数量+400×派出小型渣土运输车的数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输土方x吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方y吨，
根据题意得：5x+2y=606x+4y=80，
解得：x=10y=5．
答：一辆大型渣土运输车一次运输土方10吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方5吨；
（2）设需要安排m辆大型渣土运输车，则安排（20﹣m）辆小型渣土运输车，
根据题意得：10m+5（20﹣m）≥156，
解得：m≥565．
设总运输费用为w元，则w＝600m+400（20﹣m）＝200m+8000，
∵200＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≥565，且m为正整数，
∴当m＝12时，w取得最小值，此时20﹣m＝20﹣12＝8，
∴最省钱的运输方案为：派车12辆大型渣土运输车，8辆小型渣土运输车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
类型三、一元二次方程的应用
21．（2023•东莞市校级模拟）某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可出售200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元，那么每天的销售量就减少20件，将每件商品提价多少元时，才能使每天的利润为640元？
【分析】设售价为x元，则有（x﹣进价）（每天售出的数量−x−101×20）＝每天利润，解方程求解即可．
【详解】设售价为x元，
根据题意列方程得（x﹣8）（200−x−101×20）＝640，
整理得：（x﹣8）（400﹣20x）＝640，
即x2﹣28x+192＝0，
解得x1＝12，x2＝16．
故将每件售价定为12或16元时，才能使每天利润为640元．
原价为10元，
∴12﹣10＝2（元），16﹣10＝6（元），
故应将商品的售价提高2元或6元．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．
22．（2023•贾汪区一模）“民以食为天，食以粮为先”，粮食安全事关国计民生．为了确保粮食安全，优选品种，某农业科技公司对原有小麦进行改良种植研究，在保持种植面积不变的情况下，今年小麦平均亩产量在去年的基础上增加了a%，每千克售价也在去年的基础上上涨了2a%，全部售出后总收入将增加15.5%．
（1）求a的值；
（2）如果明年的种植面积仍然不变，预计明年小麦平均亩产量将在今年的基础上增加a%，每千克售价将在今年的基础上上涨85a%，求全部售出后明年的总收入将在今年的基础上增加的百分数．
【分析】（1）根据总收入＝亩产量×销售单价，即可得出关于a的一元二次方程，然后解一元二次方程即可得出a的值，再取正值即可；（2）先求出明年的总收入增长的百分数，再减去1即可求解．
【详解】（1）依题意得：（1+a%）（1+2a%）＝1+15.5%，整理得：a2+150a﹣775＝0，
解得：a1＝5，a2＝﹣155（不合题意，舍去）．
答：a的值为5．
（2）(1+5%)×(1+85×5%)−1=0.134=13.4%，
答：明年的总收入增加的百分数为13.4%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（2023•澄城县一模）随着环保意识日益深入，我国新能源汽车的生产技术也不断提升．市场上某款新能源汽车1月份的售价为25万元/辆，3月份下降到20.25万元/辆，求该款汽车售价的月平均下降率．
【分析】设该款汽车售价的月平均下降率是x，利用某款新能源汽车3月的售价＝该新能源汽车1月的售价×（1﹣该款汽车售价的月平均下降率）2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
【详解】设该款汽车售价的月平均下降率是x，
由题意得：25（1﹣x）2＝20.25，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
∴该款汽车售价的月平均下降率是10%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（2023•秦都区校级二模）如图，将一块正方形空地的三边各修出一条1m宽的小路（图中阴影部分），剩余部分（图中空白部分）的面积为12m2，求原正方形空地的边长．
【分析】设原正方形空地的边长为xm，由题意：剩余部分（图中空白部分）的面积为12m2，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】设原正方形空地的边长为xm，
由题意得：（x﹣1）（x﹣2）＝12，
整理得：x2﹣3x﹣10＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣2，（不符合题意舍去），
答：原正方形空地的边长为5m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2023•定远县校级模拟）2022年年底某市提出了确保到2024年年底实现全市生活垃圾利用率达到35%的目标．
（1）已知截止2022年年底该市生活垃圾利用率只有28%，要实现这个目标，从2023年起该市生活垃圾利用率的年平均增长率应达到多少？（参考数据：5≈2.2）
（2）照（1）的速度增长，2026年年底该市生活垃圾利用率可否超过40%？请说明理由．
【分析】（1）设从2023年起该市生活垃圾利用率的年平均增长率应达到x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）根据题意列出算式，进而和40%比较即可求解．
【详解】（1）设从2023年起该市生活垃圾利用率的年分析平均增长率应达到x，
根据题意得，28%（1+x）2＝35%
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），
答：从2023年起该市生活垃圾利用率的年平均增长率应达到10%
（2）35%（1+10%）2＝35%×1.12＝42.35%＞40%
∴照（1）的速度增长，2026年年底该市生活垃圾利用率能超过40%
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键．
26．（2023•播州区一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为x米，剩余部分为绿化．
（1）道路①的面积为 20x 平方米；道路②的面积为 20x 平方米（都用含x的代数式表示）；
（2）如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为x米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度．
【分析】（1）道路①根据长方形的面积公式求解即可，道路②利用平移，可转化为道路①求解；
（2）设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣x）m的长方形，根据草坪的面积为551平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】（1）道路①的面积为20x平方米，道路②的面积为20x平方米，
故答案为：20x，20x；
（2）根据题意，得（30﹣x）（20﹣x）＝551，
解得x1＝1，x2＝49（不符合题意，舍去），
答：道路的宽度为1米．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
27．（2023•桂林一模）小王计划经营某种时尚产品的专卖店，已知该产品的进货价为70元/件，售价不能低于80元/件，专卖店每月有800元的固定成本开支，根据市场调研，产品的销售量y（件）随着产品的售价x（元/件）的变化而变化，销售量y与售价x之间的部分对应关系如表：
（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
（2）小王预计每月盈利8200元，为尽可能让利于顾客，则该产品的售价每件应定为多少元？
【分析】（1）由销售量y与售价x之间的部分对应关系可设y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），待定系数法求解析式即可；
（2）根据小王预计每月盈利8200元，列一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）由销售量y与售价x之间的部分对应关系可设y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），
将x＝80，y＝500和x＝82，y＝490代入，
得80k+b=50082k+b=490，
解得k=−5b=900，
∴销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣5x+900；
（2）根据题意，得（x﹣70）（﹣5x+900）﹣800＝8200，
解得x1＝160，x2＝90，
∵售价不能低于80元/件，且尽可能让利于顾客，
∴x＝90，
答：该产品的售价每件应定为90元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
28．（2023•三明模拟）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2，3两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？
【分析】（1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，利用三月份的销售量＝一月份的销售量×（1+月均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）解法一：设每台降价y元，则每台的销售利润为（40﹣y﹣30）元，四月份可售出（576+12y）台，利用总利润＝每台的销售利润×四月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
解法二：设每台售价定为y元，则每台的销售利润为（y﹣30）元，四月份可售出[576+12（40﹣y）]台，利用总利润＝每台的销售利润×四月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意，得：400（1+x）2＝576，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为20%．
（2）解法一：设这种台灯每个降价y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，
依题意，得：（40﹣y﹣30）（576+12y）＝4800，
整理，得：y2+38y﹣80＝0，
解得y1＝2，y2＝﹣40（不符合题意，舍去），
当y＝2时，40﹣y＝38．
答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．
解法二：设这种台灯售价定为y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，
依题意，得：（y﹣30）[576+12（40﹣y）]＝4800，
整理，得y2﹣118y+3040＝0，
解得y1＝38，y2＝80（不符合题意，舍去）．
答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．本题运用了一题多解的思路．
29．（2023•南山区校级模拟）某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1475元，每件应降价多少元？
【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）关系式为：每件商品的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝每天盈利，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
【详解】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，
依题意，得：200（1﹣x）2＝128，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去），
答：该种商品每次降价的百分率为20%；
（2）设每件商品应降价x元，根据题意，得：
（128﹣80﹣x）（20+5x）﹣100＝1475，
解方程得x1＝41，x2＝3，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x＝41不合题意舍去．
答：每件商品应降价3元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．
30．（2023•镜湖区校级一模）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径．现有甲、乙两个社区疫苗接种点，已知甲社区接种点平均每天接种疫苗的人数是乙社区接种点平均每天接种疫苗的人数的1.25倍，且甲社区接种点完成3000人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成4000人的疫苗接种所需的时间少2天．
（1）求甲、乙两个社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数；
（2）一段时间后，乙社区疫苗接种点加大了宣传力度．该接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数增加了25%，受乙社区疫苗接种点宣传的影响，甲社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数减少了5m人，但不低于800人，这样乙社区接种点（m+15）天接种疫苗的人数比甲社区接种点2m天接种疫苗的人数多6000人，求m的值．
【分析】（1）设乙社区疫苗接种点平均每天接种x人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种1.25x人，根据题意：甲社区接种点完成3000人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成4000人的疫苗接种所需的时间少2天．即可列出关于x的分式方程，解分式方程即可；
（2）根据题意：乙社区接种点（m+15）天接种疫苗的人数比甲社区接种点2m天接种疫苗的人数多6000人，列出关于m的一元二次方程，解方程，即可解决问题．
【详解】（1）设乙社区疫苗接种点平均每天接种x人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种1.25x人，
由题意得：30001.25x=4000x−2，
解得：x＝800，
经检验，x＝800是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.25x＝1.25×800＝1000，
答：甲社区疫苗接种点平均每天接种1000人，乙社区疫苗接种点平均每天接种800人；
（2）由题意得：（1000﹣5m）×2m+6000＝800×（1+25%）×（m+15），
整理得：m2﹣100m+900＝0，
解得：m1＝90，m2＝10，
∵1000﹣5m≥800，
∴m≤40，
∴m1＝90不符合题意舍去，
答：m的值为10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
类型四、分式方程的应用
31．（2023•绿园区校级模拟）秋收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．求一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷．
【分析】设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦（x+2）公顷，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦（x+2）公顷，
依题意得：15x+2=9x，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝3+2＝5．
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
32．（2023•南海区一模）在“妇女节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价2元促销，降价后300元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.2倍．
（1）求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不多于2000元的资金再次购进两种鲜花共300枝，康乃馨进价为8元/枝，玫瑰进价为6元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？
【分析】（1）设降价后每枝玫瑰花的售价是x元，则降价前每枝玫瑰偶的价钱为（x+2）元，根据降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.2倍，可得300x=300x+2×1.2；求解上述方程可得降价后每枝玫瑰花的售价，加1可得降价前的售价，注意要要验根；
（2）设购进玫瑰y枝，根据至少对应的不等号为≤，结合题意可得8（500﹣n）+6y≤2000，求解即可．
【详解】（1）设降价后每枝玫瑰花的售价是x元，
根据题意得，300x=300x+2×1.2，
解得：x＝10．
经检验，x＝0是原方程的解．
答：降价后每枝玫瑰的售价是10元．
（2）设购进玫瑰y枝，
依题意有8（300﹣y）+6y≤2000，
解得：y≥200．
答：至少购进玫瑰200枝．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键．
33．（2023•和平区模拟）为了创造优美的居住环境，沈阳市修建了很多“口袋公园”，准备购买A，B两种树木，在购买时发现，A种树木的单价比B种树木的单价提高了50%，用900元购买A种树木的棵数比用900元购买B种树木的棵数少10棵．
（1）求A，B两种树木的单价各是多少元？
（2）某一个“口袋公园”准备购买A，B两种树木共150棵，且购买的总费用不超过5600元，求至少购买多少棵B种树木？
【分析】（1）设B种树木的单价是x元，则A种树木的单价是（1+50%）x元，由题意：用900元购买A种树木的棵数比用900元购买B种树木的棵数少10棵．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买m棵B种树木，则购买（150﹣x）棵A种树木，由题意：购买的总费用不超过5600元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题．
【详解】（1）设B种树木的单价是x元，则A种树木的单价是（1+50%）x元，
由题意得：900x−900(1+50%)x=10，
解得：x＝30，
经检验．x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x＝1.5×30＝45，
答：A种树木的单价是45元，B种树木的单价是30元；
（2）设购买m棵B种树木，则购买（150﹣x）棵A种树木，
由题意得：30m+45（150﹣m）≤5600，
解得：m≥7623，
∵m为正整数，
∴m的最小值为77，
答：至少购买77棵B种树木．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
34．（2023•沙坪坝区校级模拟）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线2.4km，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少km？
（2）现计划再修建长度为12km的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路1.5x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两队各自修建公路2.4km时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工12−0.2m0.3天，根据总费用不超过38元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路1.5x米，
依题意得：2.4x−．
解得：x＝0.2，
经检验，x＝0.2是原方程的解．
∴1.5x＝0.3．
答：甲工程队每天修路0.3千米，乙工程队每天修路0.2千米；
（2）设安排乙工程队施工m天，
则安排甲工程队施工的天数为12−0.2m0.3，
依题意得：0.6m+12−0.2m0.3×1≤38，
解得：m≥30．
答：至少安排乙工程队施工30天．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
35．（2023•静乐县一模）深中通道横跨珠江口东西两岸，全长约24千米，集“桥、岛、隧、水下互通”于一体，是连接粤港澳大湾区的重要交通枢纽．目前，深中通道正在如火如荼地建设中，其中中山大桥正开展路面施工．根据规划．中山大桥长为1200米，现有甲、乙两个工程队，按规定各自完成600米的建设任务，已知甲队的工作效率是乙队的2倍，结果两队共用了90天完成了任务，求甲、乙两队每天各完成多少米．
【分析】设乙队每天完成x米，则甲队每天完成2x米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合两队共用了90天完成了任务，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队的工作效率，再将其代入2x中，即可求出甲队的工作效率．
【详解】设乙队每天完成x米，则甲队每天完成2x米，
根据题意得：6002x+600x=90，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×10＝20．
答：甲队每天完成20米，乙队每天完成10米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
36．（2023•交城县一模）某商场在夏季来临之际，用4000元购进一批衬衣，投入市场后供不应求，商场又投入8800元购进了第二批同种衬衣，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了8元．
（1）该商场购进第一批和第二批衬衣每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批衬衣按相同的标价销售，要使两批衬衣全部打八折售完后利润不低于80%，那么每件衬衣的标价至少是多少元？
【分析】（1）设该商场购进第一批衬衣每件的进价是x元，则购进第二批衬衣每件的进价是（x+8）元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购进数量是第一批购进数量的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出该商场购进第一批衬衣每件的进价，再将其代入（x+8）中，即可求出该商场购进第二批衬衣每件的进价；
（2）设每件衬衣的标价是y元，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）设该商场购进第一批衬衣每件的进价是x元，则购进第二批衬衣每件的进价是（x+8）元，
根据题意得：8800x+8=2×4000x，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意，
∴x+8＝80+8＝88．
答：该商场购进第一批衬衣每件的进价是80元，第二批衬衣每件的进价是88元；
（2）设每件衬衣的标价是y元，
根据题意得：0.8y×（400080+880088）﹣4000﹣8800≥（4000+8800）×80%，
解得：y≥192，
∴y的最小值为192．
答：每件衬衣的标价至少是192元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
37．（2023•太谷区一模）乡村振兴战略总方针中提出，生态宜居是提高乡村发展质量的保证．生态宜居其内容涵盖村容整洁，村内水、电、路等基础设施完善，以保护自然、顺应自然、敬畏自然的生态文明理念．“村村通”公路政策是国家构建和谐社会、支持新农村建设，实现生态宜居的一项重大公共决策，是一项民心工程．某工程队承接了60万平方米的乡村筑路工程，由于情况有变，……设原计划每天筑路的面积为x万平方米，列方程为：60(1−20%)x−60x=30．
（1）根据方程在下列四个选项中选择省略的部分是 C ．
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果推迟30天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果推迟30天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务
（2）在（1）的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题，写出完整的解题过程．
E．求：实际每天筑路的面积是多少万平方米？
F．求：原计划完成这项筑路工程需要多少天？
我选的问题是： E（或F） ．
【分析】（1）根据所列方程及x表示的意义，可找出题干中省略的条件；
（2）选择E，解（1）中的方程，可得出x的值，检验后代入（1﹣20%）x中，即可得出结论；选项F，设原计划完成这项筑路工程需要y天，则实际完成这项筑路工程需要（y+30）天，利用工作效率＝工作总量÷工作时间，可得出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】（1）∵所列方程为60(1−20%)x−60x=30，且x表示原计划每天筑路的面积，
∴（1﹣20%）x表示实际每天筑路的面积，
∴题干中省略的部分为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果推迟30天完成了这一任务．
故选：C；
（2）选择E，根据题意得：60(1−20%)x−60x=30，
解得：x＝0.5，
经检验，x＝0.5是所列方程的解，且符合题意，
∴（1﹣20%）x＝（1﹣20%）×0.5＝0.4．
答：实际每天筑路的面积是0.4万平方米；
选择F，设原计划完成这项筑路工程需要y天，则实际完成这项筑路工程需要（y+30）天，
根据题意得：60y+30=（1﹣20%）×60y，
解得：y＝120，
经检验，y＝120是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划完成这项筑路工程需要120天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
38．（2023•济南二模）某中学为落实“山西新中考”中关于球类项目的测评方案，欲购进一批足球和排球，补充体育活动器材，其中每个排球的价格比每个足球的价格贵15元，用3000元购买足球的数量与用3600元购买排球的数量相同．
（1）分别求出足球和排球的单价．
（2）若学校计划用不超过8000元的经费购进足球、排球共100个，那么最多可以购进排球多少个？
【分析】（1）设每个足球的单价为x元，则每个排球的单价为（x+15）元，根据“用3000元购买足球的数量与用3600元购买排球的数量相同”得到方程，即可解得结果；
（2）设该学校可以购进排球a个，则购进足球（100﹣a）个，根据题意得不等式组即可得到结果．
【详解】（1）设每个足球的进价为x元，则每个排球的进价为（x+15）元，
根据题意得3000x=3600x+15．
解得x＝75．
经检验x＝75是原分式方程的解．
∴x+15＝75+15＝90（元）．
∴篮球的进价为75元，排球的进价为90元．
答：足球的单价为75元，排球的单价为90元；
（2）设该学校可以购进排球a个，则购进足球（100﹣a）个，
根据题意，得90a+75（100﹣a）≤8000．
解得a≤1003．
∵a是整数，
∴a＝33，
答：最多可以购进排球33个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，找准数量关系是解题的关键．
39．（2023•泗阳县一模）某社区在防治新型冠状病毒期间，需要购进一批防护服，现有甲、乙两种不同型号的防护服，已知每件甲型防护服的价格比每件乙型防护服的价格便宜30元，用4200元购买甲型防护服的件数与用5250元购买乙型防护服的件数刚好相等．
（1）求甲、乙两种型号的防护服每件各是多少元？
（2）如果该社区计划购进的防护服共需80件，且要求投入的经费不超过11400元，则最多可购买多少件乙型防护服？
【分析】（1）设每件乙型防护服为x元，则每件型防护服为（x﹣30）元，根据数量＝总价÷单价，结合用4200元购买甲型防护服的件数恰好与用5250元购买乙型防护服的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设购买y件乙型防护服，则购买（80﹣y）件甲型防护服，根据总价＝单价×购买数量结合投入的经费不超过12000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，取其内的最大正整数即可．
【详解】（1）设每件乙型防护服为x元，则每件型防护服为（x﹣30）元，
根据题意得：4200x−30=5250x，
解得：x＝150，
经检验，x＝150原方程的解，
∴x﹣30＝120．
答：每件甲型防护服为120元，每件乙型防护服为150元；
（2）设购买y件乙型防护服，则购买（80﹣y）件甲型防护服，
根据题意得：150y+120（80﹣y）≤11400，
解得：y≤60．
答：最多可购买60件乙种商品．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量＝总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据总价＝单价×购买数量，列出关于y的一元一次不等式．
40．（2023•鹤山市模拟）宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共5000张，已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的2倍，生产800张熟宣比生产600张生宣多用1天．
（1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？
（2）若生产工期不超过6天，则最多生产熟宣多少张？
【分析】（1）设该工厂的工人平均每天生产熟宣x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣2x张，由题意：“生产800张熟宣比生产600张生宣多用1天”，列出分式方程，解方程即可；
（2）设生产熟宣a张，由题意：“计划生产生宣和熟宣共5000张，生产工期不超过6天”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果．
【详解】（1）设该工厂的工人平均每天生产熟宣x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣2x张，
由题意得：800x=6002x+1，
解得：x＝500，
经检验，x＝500是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×500＝1000，
答：该工厂的工人平均每天生产熟宣500张，该工厂的工人平均每天生产生宣1000张；
（2）设生产熟宣a张，
由题意得：a500+5000−a1000≤6，
解得：a≤1000，
∴最多生产熟宣1000张，
答：最多生产熟宣1000张．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
类型五、不等式（组）的应用
41．（2023•福田区模拟）某企业计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，根据“A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同”列方程即可得解；
（2）先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再根据题意列出一次函数解析式，利用次函数的性质，即可求出答案．
【详解】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，
由题意得：540x=600x+10，
解得：x＝90，
当x＝90时，x（x+10）≠0，
∴x＝90是分式方程的根，
∴x+10＝90+10＝100，
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨；
（2）设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，
由题意得：90m+100(30−m)≥28301.2m+2(30−m)≤48，
解得：15≤m≤17，
w＝1.2m+2（30﹣m）＝﹣0.8m+60；
∵﹣0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝17时，w最小，此时w＝﹣0.8×17+60＝46.4，
∴购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．
42．（2023•游仙区模拟）2022年3月1日，新冠疫情卷土重来，疫情发生后，市政府高度重视，并第一时间启动应急预案，迅速做好疫情防控工作，由于疫情原因，市急需大量物资．某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．
（1）甲、乙两种物资各采购了多少吨？
（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资，A种卡车每辆需付运输费1500元，B种卡车每辆需付运输费1300元．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有几种运输方案？哪种运输方案的运输费最少，并求此时的运输费．
【分析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物资采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物资及240吨乙物资，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案；再求出三种方案的运费比较即可．
【详解】（1）设甲物资采购了x吨，乙物资采购了y吨，
依题意，得：x+y=5403x+2y=1380，
解得：x=300y=240，
答：甲物资采购了300吨，乙物资采购了240吨；
（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，
依题意，得：7m+5(50−m)≥3003m+7(50−m)≥240，
解得：25≤m≤2712，
∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，
∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车；
方案1的运费：25×1500+25×1300＝70000（元）；
方案2的运费：26×1500+24×1300＝70200（元）；
方案3的运费：27×1500+23×1300＝70400（元）；
∴方案1运费的运费最少，此时运费为70000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
43．（2023•郸城县一模）党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，某市政府欲购进一批风景树绿化荒山，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．
（1）问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？
（2）该市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？
【分析】（1）设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，根据购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进A风景树m万棵，B风景树（100﹣m）万棵，根据A风景树的数量不多于58万棵和购买A，B风景树的总费用不超过5460万元列出不等式组，解不等式组求出m的取值范围即可．
【详解】（1）设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，
根据题意得：4x+3y=3808x+5y=700，
解得x=50y=60，
答：A风景树每棵的进价为50元，B风景树每棵的进价为60元；
（2）设购进A风景树m万棵，B风景树（100﹣m）万棵，
则50m+60(100−m)≤5460m≤58，
解得54≤m≤58，
∵m为整数，
∴m为54，55，56，57，58，
∴共有5种购买方案．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
44．（2023•曲靖一模）2022年1月7日，《云南省全民健身实施计划（2021﹣2025年）》新闻发布会顺利举行．会议上就“十四五”时期深化体育改革，推进新时代全民健身高质量发展作了全面部署和安排．其中，“强化供给，补齐全民健身设施建设短板”是《云南省全民健身实施计划（2021﹣2025年）》的主要任务之一．春城小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买1台B型健身器材比1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元．
（1）A型健身器材和B型健身器材的单价是多少钱？
（2）春城小区计划购买B型健身器材的数量不超过A型健身器材的数量的2倍，购买资金不低于10800元，请问共有哪几种购买方案，哪一种方案最省钱．
【分析】（1）设A型健身器材的单价是x元，B型健身器材的单价是y元，根据“购买1台B型健身器材比1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m台A型健身器材，则购买（10﹣m）台B型健身器材，根据“购买B型健身器材的数量不超过A型健身器材的数量的2倍，购买资金不低于10800元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案，求出选择各方案所需购买资金，比较后即可得出结论．
【详解】（1）设A型健身器材的单价是x元，B型健身器材的单价是y元，
依题意得：y−x=2002x+5y=8000，
解得：x=1000y=1200．
答：A型健身器材的单价是1000元，B型健身器材的单价是1200元．
（2）设购买m台A型健身器材，则购买（10﹣m）台B型健身器材，
依题意得：10−m≤2m1000m+1200(10−m)≥10800，
解得：103≤m≤6．
又∵m为整数，
∴m可以为4，5，6，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买4台A型健身器材，6台B型健身器材，所需购买资金为1000×4+1200×6＝11200（元）；
方案2：购买5台A型健身器材，5台B型健身器材，所需购买资金为1000×5+1200×5＝11000（元）；
方案3：购买6台A型健身器材，4台B型健身器材，所需购买资金为1000×6+1200×4＝10800（元）．
∵11200＞11000＞10800，
∴最省钱的购物方案为：购买6台A型健身器材，4台B型健身器材．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
45．（2023•咸阳一模）如图按下列程序进行计算．规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算，结果大于244，则输出此结果；若结果不大于244，则将此结果的值赋给m，再进行第二次计算．
（1）当m＝100时，求输出的结果是多少？
（2）若m＝5，求运算进行多少次才会停止？
（3）若运算进行了5次才停止．求m的取值范围．
【分析】（1）把m＝100代入代数式3m﹣2中计算结果即可；
（2）把m＝5代入代数式3m﹣2计算，直到结果大于244为止，从而判断运算了多少次；
（3）输入的数乘3减2，由第五次的数大于244，第四次的数不大于244，列关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）当m＝100时，3m﹣2＝3×100﹣2＝298＞244，
∴输出结果为298；
（2）当m＝5时，①3m﹣2＝3×5﹣2＝13，
当m＝13时，②3m﹣2＝3×13﹣2＝37，
当m＝37时，③3m﹣2＝3×37﹣2＝109，
当m＝109时，④3m﹣2＝3×109﹣2＝325＞244，
∴运算进行了4次才停止；
（3）由题意得：①3m﹣2，
②3（3m﹣2）﹣2＝9m﹣8，
③3（9m﹣8）﹣2＝27m﹣26，
④3（27m﹣26）﹣2＝81m﹣80，
⑤3（81m﹣80）﹣2＝243m﹣242，
∴243m−242＞24481m−80≤244，
解得：2＜m≤4，
答：m的取值范围是2＜m≤4．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用和整式的计算，关键是对输出的数据与244进行比较．
46．（2023•平罗县校级模拟）一中双语举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生，已知购买2个甲种文具，1个乙种文具共需要花费35元，购买1个甲种文具，3个乙种文具共需要花费30元．
（1）求购买一个甲种文具，一个乙种文具各需多少钱？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元，又不多于1000元，问有多少种购买方案？
【分析】（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；
（2）根据题意列不等式组解答即可．
【详解】（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，
由题意得：2a+b=35a+3b=30，
解得a=15b=5，
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
（2）根据题意得：
955≤15x+5（120﹣x）≤1000，
解得35.5≤x≤40，
∵x是整数，
∴x＝36，37，38，39，40．
∴有5种购买方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列出不等式组．
47．（2023•天山区校级一模）列方程组（或不等式组）解应用题
在城市创卫工作中为“保护好环境，拒绝冒黑烟”，武汉市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元；
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
【分析】（1）设购买每辆A型公交车需要x万元，每辆B型公交车需要y万元，根据“若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车（10﹣m）辆，根据“该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各购车方案，设该公司购买这10辆公交车的总费用为w元，根据总价＝单价×数量即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）设购买每辆A型公交车需要x万元，每辆B型公交车需要y万元，
依题意，得：3x+2y=1802x+3y=195，
解得：x=30y=45．
答：购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元．
（2）设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车（10﹣m）辆，
依题意，得：30m+45(10−m)≤36060m+100(10−m)≥680，
解得：6≤m≤8．
∵m为整数，
∴m＝6，7，8，
∴该公司有三种购车方案，方案1：购进6辆A型公交车，4辆B型公交车；方案2：购进7辆A型公交车，3辆B型公交车；方案3：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车．
设该公司购买这10辆公交车的总费用为w元，则w＝30m+45（10﹣m）＝﹣15m+450，
∵k＝﹣15＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝8时，w取得最小值，最小值为330，
∴购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
48．（2023•化州市模拟）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【分析】（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，利用总价＝单价×数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，
依题意得：2x+3y=690x+4y=720，
解得：x=120y=150．
答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元．
（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，
依题意得：m≤3(40−m)120m+150(40−m)≤5400，
解得：20≤m≤30．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（160﹣120）m+（200﹣150）（40﹣m）＝﹣10m+2000．
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最大值，此时40﹣m＝40﹣20＝20．
答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
49．（2023•镇海区校级一模）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨．
（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；
（2）若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？
【分析】（1）设安排x辆大型车，则安排（30﹣x）辆中型车，根据30辆车调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可得出各运输方案；
（2）根据总运费＝单辆车所需费用×租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）设安排x辆大型车，则安排（30﹣x）辆中型车，
依题意，得：8x+3(30−x)≤1905x+6(30−x)≤162，
解得：18≤x≤20．
∵x为整数，
∴x＝18，19，20．
∴符合题意的运输方案有3种，方案1：安排18辆大型车，12辆中型车；方案2：安排19辆大型车，11辆中型车；方案3：安排20辆大型车，10辆中型车．
（2）方案1所需费用为：900×18+600×12＝23400（元），
方案2所需费用为：900×19+600×11＝23700（元），
方案3所需费用为：900×20+600×10＝24000（元）．
∵23400＜23700＜24000，
∴方案1安排18辆大型车，12辆中型车所需费用最低，最低费用是23400元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
50．（2023•东营区校级一模）为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
【分析】（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案；
（2）要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．
【详解】（1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元．
由题意得2x+3y=78003x+y=5400，
解得x=1200y=1800，
答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元．
（2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所，
由题意得：(1200−300)a+(1800−500)(10−a)≤11800300a+500(10−a)≥4000，
解得 a≥3a≤5，
∴3≤a≤5，
∵a取整数，
∴a＝3，4，5．
即共有3种方案：
方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；
方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；
方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
售价x（元/件）
80
82
84
86
…
销售量y（件）
500
490
480
470
…