专题11.1 不等式及不等式的基本性质【十大题型】-2022-2023学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

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\l "_Tc17123" 【题型1 不等式的概念及意义】 PAGEREF _Tc17123 \h 1
\l "_Tc11701" 【题型2 取值是否满足不等式】 PAGEREF _Tc11701 \h 2
\l "_Tc13521" 【题型3 根据实际问题列出不等式】 PAGEREF _Tc13521 \h 2
\l "_Tc10997" 【题型4 在数轴上表示不等式】 PAGEREF _Tc10997 \h 2
\l "_Tc16274" 【题型5 利用不等式的性质判断正误】 PAGEREF _Tc16274 \h 3
\l "_Tc4175" 【题型6 利用不等式性质比较大小】 PAGEREF _Tc4175 \h 4
\l "_Tc22347" 【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】 PAGEREF _Tc22347 \h 5
\l "_Tc26606" 【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】 PAGEREF _Tc26606 \h 6
\l "_Tc4524" 【题型10 不等关系的简单应用】 PAGEREF _Tc4524 \h 6
【知识点1 认识不等式】
定义：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.
【题型1 不等式的概念及意义】
【例1】（2022春•郏县期中）在数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
【变式1-1】（2022春•苍溪县期末）下列式子是不等式的是（ ）
A．x+4y＝3B．xC．x+yD．x﹣3＞0
【变式1-2】（2022春•平泉市期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（ ）
A．3%以上B．6.15g
C．6.15g及以上D．不足6.15g
【变式1-3】（2022春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 ．
【题型2 取值是否满足不等式】
【例2】（2022春•卧龙区期中）下列数值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的个数有 个．
【变式2-1】（2022春•泸县期末）x＝3是下列哪个不等式的解（ ）
A．x+2＜4B．13x＞3C．2x﹣1＜3D．3x+2＞10
【变式2-2】（2022春•雁塔区校级期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．3
【变式2-3】（2022春•夏津县期中）请写出满足下列条件的一个不等式．
（1）0是这个不等式的一个解： ；
（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解： ；
（3）0不是这个不等式的解： .
【题型3 根据实际问题列出不等式】
【例3】（2022春•川汇区期末）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是（ ）
A．210＜x≤260B．210＜x≤300C．210＜x≤250D．250＜x≤260
【变式3-1】（2022•南京模拟）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是25℃，最高气温是32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（ ）
A．t＜32B．t＞25C．t＝25D．25≤t≤32
【变式3-2】（2022春•玉田县期末）用不等式表示“a是负数”应表示为 ．
【变式3-3】（2022秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是 ．
【题型4 在数轴上表示不等式】
【例4】（2022•嘉善县模拟）数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为 ．
【变式4-1】（2022春•永丰县期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则a＝ ．
【变式4-2】（2022秋•衢州期中）在数轴上表示下列不等式
（1）x＜﹣1 （2）﹣2＜x≤3．
【变式4-3】（2022•防城港模拟）在数轴上表示﹣2≤x＜1正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【知识点2 不等式的基本性质】
性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.
性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
若a＞b，则a±c＞b±c.
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac＞bc;
若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜bc
【题型5 利用不等式的性质判断正误】
【例5】（2022春•雁塔区校级期中）如果有理数a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（ ）
A．3﹣a＞3﹣bB．a2＜abC．2a＜2bD．−a3＞−b3
【变式5-1】（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是（ ）
A．若a＞b，c≠0，则ac＞bcB．若ab＜0，则a＞0，b＜0
C．若a＞0，b＜0，则ab＜0D．若ab＞1，则a＞b
【变式5-2】（2022春•大埔县期末）下列结论正确的有 （填序号）．
①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果ac2＜bc2，那么a＜b．
【变式5-3】（2022春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；
（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；
（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；
（4）若ac2＞bc2，则a＞b；
（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）
（6）若a＞b＞0，则1a＜1b． ．
【题型6 利用不等式性质比较大小】
【例6】（2022春•闵行区期中）如果7x＜4时，那么7x﹣3 1．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
【变式6-1】（2022春•辉县市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空
（1）a﹣4 b﹣4
（2）a5 b5
（3）﹣2a ﹣2b．
【变式6-2】（2022春•饶平县校级期末）要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决：
（1）如果a﹣b＞0，则a＞b；
（2）如果a﹣b＝0，则a＝b；
（3）如果a﹣b＜0，则a＜b．
若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，试比较x、y的大小．
【变式6-3】（2022春•濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b） b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）
【题型7 利用不等式性质化简不等式】
【例7】（2022秋•余杭区期中）利用不等式的性质解不等式：﹣5x+5＜﹣10．
【变式7-1】（2022秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）2x+5＞3；
（2）﹣6（x﹣1）＜0．
【变式7-2】（2022秋•余杭区期中）试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）．
（1）13x＞−23x﹣2（2）12x≤12（6﹣x）
【变式7-3】（2022秋•湖州期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）x+7＞9
（2）6x＜5x﹣3
（3）15x＜25．
【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】
【例8】（2022春•西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题：
【问题背景】
小明在学习完不等式的性质之后，思考：
“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”
在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：
①已知：a＞b，c＜0．
求证：ac＜bc．
②已知：a＞b，c＜0．
求证：ac＜bc．
【问题探究】
（1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：
∵c＜0，即c是一个负数
∴c的相反数是正数，即﹣c＞0
∵a＞b
∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据： ）
即﹣ac＞﹣bc
不等式的两端同时加（ac+bc）可得：
﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据： ）
合并同类项可得：bc＞ac
即：ac＜bc得证．
（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．
【变式8-1】（2022春•武侯区期末）求证：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．
【变式8-2】（2022春•江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证：b＜a．
【变式8-3】（2022春•夏津县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．
求证：（1）a＞c；
（2）﹣2＜ba＜−1．
【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】
【例9】（2022春•龙凤区期中）已知实数x，y，z满足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥﹣2y，则x+y+z的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式9-1】（2022春•郫都区校级期中）若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是 ．
【变式9-2】（2022•天门校级自主招生）已知正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，则k＝a2+b2的取值范围为 ．
【变式9-3】（2022春•朝阳区校级期中）已知a，b，c为整数，且a+b＝2006，c﹣a＝2005，若a＜b，求a+b+c的最大值．
【题型10 不等关系的简单应用】
【例10】（2022春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？
【变式10-1】（2022春•巩义市期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A．D＜B＜A＜CB．B＜D＜C＜AC．B＜A＜D＜CD．B＜C＜D＜A
【变式10-2】（2022春•兰山区期末）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．反之也成立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一总面积记为S1，方案二总面积记为S2，则S1 S2（填“＞，＜或＝”）．
【变式10-3】（2022•苏州自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）
A．a+b2＞c+d2B．c+d2＞a+b2C．c+d2=a+b2D．以上都不对