2023-2024学年山东省菏泽市鄄城县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市鄄城县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要进一步证明( )
A. AB=AD且AC=BDB. AB=AD且AC⊥BD
C. ∠A=∠B且AC=BDD. AC和BD互相垂直平分
2.已知2+ 3是方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根和c的值分别为( )
A. 3−6，−1B. 2− 3，−1C. 2− 3，1D. 3−6，1
3.如图所示几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.若点A(−3,y1)，B(2,y2)，C(5,y3)都在反比例函数y=a2+1x(a为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y15.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1： 3.坝高BC为4m，则AB的长度为( )
A. 4 3m
B. 8m
C. 8 3m
D. 16m
6.关于二次函数y=x2−4x+7，下列说法中正确的是( )
A. 函数图象是抛物线，且开口向下B. 函数图象与x轴有两个交点
C. 当x≤2时，y随x的增大而增大D. 函数图象的顶点坐标是(2,3)
7.已知：如图，直线y1=kx+1与双曲线y2=2x在第一象限交于点P(1,t)，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是( )
A. t=2B. △AOB是等腰直角三角形
C. k=1D. 当x>1时，y2>y1
8.如图，一段抛物线y=−x2+6x(0≤x≤6)，记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3，…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M(2021,m)在此“波浪线”上，则m的值为( )
A. −5B. 5C. −8D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字大于3的概率是______．
10.已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+4x+m2+m=0的一个根为0，则m的值是______．
11.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为______尺．
12.2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，其中m=1，n= 3，则AB的长为______．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为______．
14.如图，A、B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A、B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
计算： 2cs45°− 3sin60°+tan230°
16.(本小题6分)
已知x2−x−5=0，求代数式(x+1)2−x(2x+1)的值．
17.(本小题6分)
解方程：3x2−2x−1=0．
18.(本小题6分)
如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．
(1)求坡底C点到大楼距离AC的值；
(2)求斜坡CD的长度．
19.(本小题7分)
如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)连接CF，若∠ABC=60°，AB=4，AF=2DF，求CF的长．
20.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象经过点A(2,2)．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于B，与反比例函数图象在第一象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．
21.(本小题10分)
在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．
(1)“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是______事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是______事件；
(2)从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是______；
(3)学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
22.(本小题10分)
如图，在平直角坐标系xOy中，直线y=x+2与反比例函数y=kx的图象交于点P(1,a)．
(1)求点P的坐标及反比例函数的解析式；
(2)点Q(n,0)是x轴上的一个动点，若PQ≤5，直接写出n的取值范围．
23.(本小题10分)
已知二次函数的图象经过点(0,−3)，且顶点坐标为(−1,−4)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
24.(本小题10分)
矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是BC边上一个动点(不与B，C重合)，过点F的反比例函数y=kx(k>0)的图象与边AC交于点E．
(1)当点F为边BC的中点时，求点E的坐标；
(2)连接EF，求∠EFC的正切值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；
B、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；
C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．
故选：A．
根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
本题考查了正方形的判别方法，掌握正方形的概念是关键．
2.【答案】C
【解析】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2+ 3+t=4，(2+ 3)⋅t=c，
所以t=2− 3，c=(2+ 3)(2− 3)=1，
即方程的另一个根和c的值分别为2− 3，1．
故选：C．
设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+ 3+t=4，(2+ 3)⋅t=c，然后先求出t，再计算c的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
3.【答案】C
【解析】解：如图所示，几何体的左视图是：
故选：C．
左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数的解析式为y=a2+1x(a为常数)，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A(−3,y1)，B(2,y2)，C(5,y3)都在反比例函数y=a2+1x(a为常数)的图象上，
∴A在第三象限内，B、C在第一象限内，
∴y1<0，0∴y1故选：B．
根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可．
本题考查了反比例函数图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵迎水坡AB的坡比为1： 3，
∴BCAC=1 3，
∵BC=4m，
∴AC=4 3m，
由勾股定理得：AB= BC2+AC2= 42+(4 3)2=8(m)，
故选：B．
根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，所以A选项的说法错误；
∵y=0时，x2−4x+7=0，
而△=42−4×7=−12<0，
∴函数图象与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；
∵y=x2−4x+7=(x−2)2+3，
∴抛物线的对称轴为直线=2，当x≤2时，y随x的增大而减小，所以C选项的说法错误；
抛物线的顶点坐标为(2,3)，所以D选项的说法正确．
故选：D．
利用二次函数的性质直接对A进行判断；方程x2−4x+7=0的判别式小于0可对B进行判断；通过配方把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质对C、D进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
7.【答案】D
【解析】【分析】
利用待定系数法求得t，k，利用直线的解析式求得A，B的坐标，可得线段OA，OB的长度，利用图象可以判断函数值的大小．
本题主要考查了一次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，待定系数法，数形结合．利用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．
【解答】
解：∵点P(1,t)在双曲线y2=2x上，
∴t=21=2，正确；
∴A选项不符合题意；
∴P(1,2)．
∵P(1,2)在直线y1=kx+1上，
∴2=k+1．
∴k=1，正确；
∴C选项不符合题意；
∴直线AB的解析式为y=x+1
令x=0，则y=1，
∴B(0,1)．
∴OB=1．
令y=0，则x=−1，
∴A(−1,0)．
∴OA=1．
∴OA=OB．
∴△OAB为等腰直角三角形，正确；
∴B选项不符合题意；
由图像可知，当x>1时，y1>y2．
∴D选项不正确，符合题意．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】解：∵y=−x2+6x=−x(x−6)(0≤x≤6)，
∴A1(6,0)，
∴整个函数图象每隔6×2=12个单位长度，函数值就相等，
∵2021=12×168+5，
所以m的值等于x=5时的纵坐标，
所以m=−52+6×5=5．
故选：B．
根据y=−x2+6x(0≤x≤6)可以得到：整个函数图象每隔6×2=12个单位长度，函数值就相等，而2021=12×168+5，由此即可计算．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，解决此题的关键在于能根据函数图象发现规律：m的值等于x=5时的纵坐标．
9.【答案】12
【解析】解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有6种可能，而只有出现点数为4、5，6才大于3，
所以这个骰子向上的一面点数大于3的概率=36=12．
故答案为：12．
由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为1、2、3、4、5、6，共有6种可能，大于3的点数有4、5，6则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点数大于3的概率．
本题考查了概率公式，正确记忆随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题关键．
10.【答案】0
【解析】解：把x=0代入方程(m+1)x2+4x+m2+m=0得m2+m=0，解得m1=0，m2=−1，
而m+1≠0，
所以m=0．
故答案为0．
先把x=0代入方程得到m2+m=0，然后解关于m的方程，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11.【答案】57.5
【解析】解：如图，依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB：AD=BF：DE，
即5：AD=0.4：5，
解得AD=62.5，
∴BD=AD−AB=62.5−5=57.5(尺)．
故答案为57.5．
根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABF∽△ADE．
12.【答案】2− 3
【解析】解：延长BA交CE于点E，设CF⊥BF于点F，如图所示．
在Rt△BDF中，BF=n，∠DBF=30°，
∴DF=BF⋅tan∠DBF= 33n.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=45°，
∴AE=CE=BF=n，
∴AB=BE−AE=CD+DF−AE=m+ 33n−n，
∵m=1，n= 3，
∴AB=2− 3，
故答案为：2− 3．
延长BA交CE于点E，设CF⊥BF于点F，通过解直角三角形可求出DF、AE的长度，再利用AB=CD+DF−AE即可求出结论．
本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形求出DF、AE的长度是解题的关键．
13.【答案】4.8
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
连接CP，
∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，
∴四边形DPEC是矩形，
∴DE=CP，
当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，
∴DE=CP=6×810=4.8，
故答案为：4.8．
连接CP，根据矩形的性质可知：DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出CP的长．
本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求DE的最小值转化为其相等线段CP的最小值．
14.【答案】3
【解析】解：∵A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，
∴当x=2时，y=2，即A(2,2)，
当x=4时，y=1，即B(4,1)．
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC=S△BOD=12×4=2．
∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB=S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC=12(BD+AC)⋅CD=12(1+2)×2=3，
∴S△AOB=3．
故答案为：3．
先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A(2,2)，B(4,1).再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义推导S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC，从而得出S△AOB=3．
主要考查了反比例函数k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|.也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积．
15.【答案】解：原式=2 22− 3× 32+( 33)2，
=1−32+13，
=−16．
【解析】首先代入特殊角的三角函数，然后再进行有理数的加减即可．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
16.【答案】解：原式=x2+2x+1−2x2−x
=−x2+x+1．
∵x2−x−5=0，
∴x2−x=5．
∴原式=−x2+x+1=−(x2−x)+1=−5+1=−4．
【解析】首先对所求的式子进行化简，把所求的式子化成x2−x=5的形式，然后代入求解即可．
本题考查了整式的化简求值，正确理解完全平方公式的结构，对所求的式子进行变形是关键．
17.【答案】解：由原方程得：(3x+1)(x−1)=0，
可得3x+1=0或x−1=0，
解得：x1=−13，x2=1．
【解析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法．
首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
18.【答案】解：(1)在直角△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，AB=60米，则AC=ABtan60∘=60 3=20 3(米)
答：坡底C点到大楼距离AC的值是20 3米．
(2)设CD=2x，则DE=x，CE= 3x，
在Rt△BDF中，∵∠BDF=45°，
∴BF=DF，
∴60−x=20 3+ 3x，
∴x=40 3−60，
∴CD=2x=80 3−120，
∴CD的长为(80 3−120)米．
【解析】(1)在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
(2)设CD=2x，则DE=x，CE= 3x，构建方程即可解决问题；
此题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC．
∴∠AFB=∠CBF．
∴∠ABF=∠AFB．
∴AB=AF．
∵AE⊥BF，
∴∠BAO=∠FAE．
∵∠FAE=∠BEO，
∴∠BAO=∠BEO．
∴AB=BE．
∴AF=BE．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∴四边形ABEF是菱形．
(2)解：∵AD=BC，AF=BE，
∴DF=CE．
∵AF=2DF
∴BE=2CE．
∵AB=BE=4，
∴CE=2．
过点A作AG⊥BC于点G．
∵∠ABC=60°，AB=BE，
∴△ABE是等边三角形．
∴BG=GE=2．
∴AF=CG=4．
∴四边形AGCF是平行四边形．
∴▱AGCF是矩形．
∴AG=CF．
在△ABG中，∠ABC=60°，AB=4，
∴AG=2 3．
∴CF=2 3．
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，得到AD//BC，证明AF与BE平行且相等，可得四边形ABEF是平行四边形，再说明AB=AF，于是得出结论；
(2)过点A作AG⊥BC于点G，由菱形的性质和等边三角形的性质解答即可．
本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形和矩形的性质和判定，熟练掌握菱形的判定是关键．
20.【答案】解：(1)把A(2,2)代入y=kx得2k=2，解得k=1；
把A(2,2)代入y=mx得m=2×2=4，
∴正比例函数的解析式为y=x，反比例函数的解析式为y=4x；
(2)直线y=x向上平移3的单位得到直线BC的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，则B(0,3)，
解方程组y=4xy=x+3得：x=1y=4或x=−4y=−1，
∴点C的坐标为(1,4)；
连接OC，
S△ABC=S△OBC=12×3×1=32．
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
(1)把A点坐标分别代入y=kx和y=mx中分别求出k、m即可；
(2)利用直线平移的规律得到直线BC的解析式为y=x+3，则B(0,3)再解方程组y=4xy=x+3得点C的坐标为(1,4)；连接OC，根据三角形面积公式，利用S△ABC=S△OBC进行计算．
21.【答案】(1)必然，不可能;
(2) 35；
(3)解：画树状图如下：
，
由树状图可得：一共有20种等可能的结果，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为820=25；
则选择乙的概率为20−８20=35．
∵25≠35，
∴此规则不公平．
【解析】【分析】
此题主要考查了游戏公平性，正确列出树状图是解题关键．
(1)直接利用必然事件以及不可能事件的定义分别分析得出答案；
(2)直接利用概率公式求出答案；
(3)首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案．
(1)解：∵盒子里面只有红球和白球，不存在其他颜色的球，
∴“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件，
故答案为：必然；不可能．
(2)解：∵盒子中共有3+2=5个球，其中3个为红球，
∴从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是P=35；
故答案为：35．
(3)见答案．
22.【答案】解：(1)∵直线y=x+2与反比例函数y=kx的图象交于点P(1,a)，
∴a=1+2=3．
∴点P的坐标为(1,3)，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y=3x．
(2)∵点P的坐标为(1,3)，Q(n,0)是x轴上的一个动点，PQ≤5，
由勾股定理得 52−32=4，
∴1−4=−3，1+4=5，
∴n的取值范围为−3≤n≤5．
【解析】(1)依据直线y=x+2与反比例函数y=kx的图象交于点P(1,a)，即可得到点P的坐标为(1,3)，进而得出反比例函数的解析式为y=3x．
(2)依据点P的坐标为(1,3)，Q(n,0)是x轴上的一个动点，PQ≤5，即可得到n的取值范围为−3≤n≤5．
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
23.【答案】解：(1)设y=a(x+1)2−4，把点(0,−3)代入得：a=1，
∴函数解析式y=(x+1)2−4或y=x2+2x−3；
(2)∵x2+2x−3=0，
解得x1=1，x2=−3，
∴A(−3,0)，B(1,0)，C(0,−3)，
∴△ABC的面积=12×4×3=6．
【解析】(1)先设所求函数解析式是y=a(x+1)2−4，再把(0,−3)代入，即可求a，进而可得函数解析式；
(2)令函数等于0，解关于x一元二次方程，即可求A、B两点的坐标；
(3)△ABC的面积等于AB×OC的一半．
本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点、三角形的面积，解题的关键是先求出函数解析式．
24.【答案】解：(1)∵OB=4，OA=3，
∴A(0,3)，B(4,0)，
∵四边形AOBC是矩形，
∴∠OAC=∠OBC=90°，AC=OB=4，BC=OA=3，
∴C(4,3)，
∵点F是BC的中点，F(4,32)，
∵点F在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=4×32=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
∵点E在反比例函数y=6x的图象上，且纵坐标为3，
∴点E的横坐标为63=2，
∴E(2,3)；
(2)如图，设点E(m,3)，F(4,n)，AE=m，BF=n，
∵点E，F在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=3m=4n，
∴n=34m，
∴CE=AC−AE=4−AE=4−m，CF=BC−BF=3−BF=3−34m，
在Rt△ECF中，tan∠EFC=CECF=4−m3−34m=4−m34(4−m)=43．
【解析】(1)先确定出点A，B坐标，进而求出点C坐标，再用点F是BC中点，求出点F坐标，利用待定系数法求出k，最后将点E的纵坐标为3代入反比例函数解析式中即可求出点E坐标；
(2)设出点E(m,3)，F(4,n)，代入反比例函数y=kx中得出n=34m，进而用m表示出CE，CF即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，锐角三角函数，掌握反比例函数的性质是解本题的关键．