山东省菏泽市鄄城县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省菏泽市鄄城县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 总分120分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置）
1. 如果证明平行四边形为正方形，那么我们需要进一步证明（ ）
A. 且B. 且
C. 且D. 和互相垂直平分
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
【详解】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形是正方形；
B、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形是正方形；
C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形是矩形，不能判断四边形是正方形；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形是正方形．
故选：A
【点睛】此题考查了正方形判别的方法，判别一个四边形是正方形主要根据正方形的概念，途径有两种：①说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角是直角．
2. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根和c的值分别为（ ）
A. ，-1B. ，-1C. ，1D. ，1
【答案】C
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可求得方程的另一个根，进而根据求得的值
【详解】是方程的一个根，设另一个根为，，
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，
故选C
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
3. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：如图所示，几何体的左视图是：
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．
4. 若点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3B. y1＜y3＜y2C. y2＜y3＜y1D. y3＜y2＜y1
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可．
【详解】解：∵反比例函数的解析式为y＝（a为常数），
∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，
∴A在第三象限内，B、C在第一象限内，
∴y1＜0，0＜y3＜y2，
∴y1＜y3＜y2，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象和性质，能熟记反比例函数性质的内容是解此题的关键．
5. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比为．坝高为，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：；
∴AC=BC÷tanA=米，
∴米．
故选：B．
【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，根据坡比求出AC的长度是解答本题的关键．
6. 关于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 函数图象是抛物线，且开口向下
B. 函数图象与轴有两个交点
C. 当时，随的增大而增大
D. 函数图象的顶点坐标是
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数，当 ，抛物线开口向上，可得.
由二次函数与一元二次方程关系，当时，得一元二次方程，抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，若一元二次方程中，，则一元二次方程无实数根，即与轴无交点，由便可得.
由二次函数变形，可得对称轴，对称轴左右两边决定随的增大而增大或减少.
由二次函数变形，可得二次函数的顶点坐标.
【详解】选项A，∵二次函数，当 ，抛物线开口向上，
二次函数， ，抛物线开口向上，故选项A错误；
选项B，由二次函数与一元二次方程关系，当时，得一元二次方程，
抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，
若一元二次方程中，，则一元二次方程无实数根，即与轴无交点.
∵当中， ，
∴抛物线与轴无交点，故选项B错误；
选项C，∵，可得对称轴为，且图像开口向上，
∴时，随的增大而减小，故选项C错误.
选项D，∵，可得顶点坐标为，故选项D正确.
【点睛】本题旨在考查二次函数的图像的基本性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键.
7. 已知：如图，直线与双曲线在第一象限交于点，与轴、轴分别交于，两点，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 是等腰直角三角形
C. D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】把代入，即可判断A选项，把代入，即可判断C，求出A，B点的坐标，即可判断B选项，根据函数图像，即可判断D．
【详解】解：∵直线与双曲线在第一象限交于点，
∴，即：，故A正确，不符合题意，
把代入得：，解得：k=1，故C正确，不符合题意，
在中，令x=0，则，令y1=0，则x=-1，
∴A(-1，0)，B(0，1)，即：OA=OB，
∴是等腰直角三角形，故B正确，不符合题意，
由函数图像可知：当时，，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的图像和性质，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
8. 如图，一段抛物线，记为抛物线，它与轴交于点、；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点，…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ）
A. B. 5C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据可得，整个函数图像每隔个单位长度，函数值就相等，而，由此即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴整个函数图像每隔个单位长度，函数值就相等，
∵，
所以的值等于时的纵坐标，
所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数的图像与性质、二次函数与几何变换等知识，解题的关键是在于能根据函数图像发现规律：的值等于时的纵坐标．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字大于3的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了概率，正确理解题意，确定事件发生的可能情况是解题的关键．先确定大于3的数字的个数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6六个数字，数字大于3的有4，5，6三个，
所以掷该骰子一次，向上一面的数字大于3的概率是．
故答案为：．
10. 已知关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋4x＋m2＋m＝0的一个根为0，则m的值是_________．
【答案】0
【解析】
【分析】先把x=0代入方程得到m2+m=0，然后解关于m的方程，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
【详解】把x=0代入方程（m+1）x2+4x+m2+m=0得m2+m=0，解得m1=0，m2=-1，
而m+1≠0，
所以m=0．
故答案为0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为_____尺．
【答案】57.5
【解析】
【分析】根据题意有△ABF∽△ADE，再根据相似三角形的性质可求出AD的长，进而得到答案 ．
【详解】如图，AE与BC交于点F，
由BC//ED 得△ABF∽△ADE，
∴AB:AD=BF:DE，即5:AD=0.4:5，
解得：AD=62.5（尺），
则BD=AD－AB=62.5－5=57.5（尺）
故答案为57.5 ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等 ．
12. 年月日我国自主研发的大型飞机成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，其中，，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】延长交于点，设于点，通过解直角三角形可求出、的长度,再利用即可求出结论．
【详解】延长交于点，设于点，如图所示，
在中，，，
．
在中，，，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．通过解直角三角形求出、的长度是解题的关键．
13. 如图，在中，，，，点是上的任意一点，作于点，于点，连结，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据矩形的性质可知：，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长．
【详解】中，，，，
，
连接，
于点，于点，
四边形是矩形，
，
当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求的最小值转化为其相等线段的最小值．
14. 如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=（1+2）×2=3，从而得出S△AOB=3．
【详解】解：∵A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，
∴当x=2时，y=2，即A（2，2），
当x=4时，y=1，即B（4，1）．
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则S△AOC=S△BOD=×4=2．
∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB=S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=（1+2）×2=3，
∴S△AOB=3．
故答案是：3．
【点睛】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再根据二次根式混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值以及二次根式的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角三角函数值，整数指数幂以及二次根式等的运算．
16. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】首先对所求的式子进行化简，把所求的式子化成的形式，然后整体代入求解即可．
【详解】解；
．
，
，
∴原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值．正确理解完全平方公式的结构，对所求的式子进行化解变形是关键．
17. 解方程：
【答案】或x=1
【解析】
【分析】利用十字相乘法将左边因式分解，化为两个一元一次方程求解可得．
【详解】：∵（3x+1）（x-1）=0，
∴3x+1=0或x-1=0，
解得：或x=1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法，结合方程的特点选择合适的方法是解题的关键．
18. 如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上.
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度.

【答案】（1）坡底C点到大楼距离AC的值为20米；（2）斜坡CD的长度为80-120米.
【解析】
【详解】分析：（1）在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，得AF=DE，DF=AE.利用DF=AE=AC+CE求解即可.
详解：（1）在直角△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，AB=60米，则AC=（米）
答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米．
（2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，

∴AF=DE，DF=AE.
设CD=x米，在Rt△CDE中，DE=x米，CE=x米
在Rt△BDF中，∠BDF=45°，
∴BF=DF=AB-AF=60-x（米）
∵DF=AE=AC+CE，
∴20+x=60-x
解得：x=80-120（米）
故斜坡CD的长度为（80-120）米.
点睛：此题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
19. 如图，中，平分交于点，于点，交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）由四边形是平行四边形，得到，证明与平行且相等，可得四边形是平行四边形，再说明，于是得出结论；
（2）过点作于点，由菱形的性质和等边三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：，，
，
，
，
，
．
过点作于点，

，，
是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
，
在中，，，
，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形和矩形的性质和判定，熟练掌握菱形的判定是关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线向上平移个单位长度后与轴交于，与反比例函数图象在第一象限内的交点为，连接，，求点的坐标及的面积.
【答案】（1）；；（2）
【解析】
【分析】（1）将A点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数的解析式即可求得答案；
（2）利用直线平移的规律得到直线BC的解析式，再解方程组可求得点C的坐标，利用进行计算可求得结论.
【详解】解：（1）把代入得，解得；
把代入得，
正比例函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
（2）直线向上平移的单位得到直线的解析式为，
当时，，则，
解方程组得或，
∵点在第一象限内，
点的坐标为；
连接，
.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，只要把这两个函数的关系式联立成方程组求解即可.
21. 在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是 事件；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是 ；
（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
【答案】（1）必然，不可能；（2）；（3）此游戏不公平．
【解析】
【分析】（1）直接利用必然事件以及怒不可能事件的定义分别分析得出答案；
（2）直接利用概率公式求出答案；
（3）首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案．
【详解】（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件；
故答案为：必然，不可能；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是：；
故答案为；
（3）如图所示：
，
由树状图可得：一共有20种可能，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为：；
则选择乙的概率为：，
故此游戏不公平．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．正确列出树状图是解题关键．
22. 如图，在平直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象关于点
（1）求点P的坐标及反比例函数的解析式；
（2）点是x轴上的一个动点，若，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先把P（1，a）代入y=x+2，求出a的值，确定P点坐标为（1，3），然后把P（1，3）代入y=求出k的值，从而可确定反比例函数的解析式；
（2）过P作PB⊥x轴于点B，则B点坐标为（1，0），PB=3，然后利用PQ≤5，由垂线段最短可知，PQ≥3，然后利用PQ≤5，在直角三角形PBQ中，PQ=5时，易确定n的取值范围，要注意分点Q在点B左右两种情况．当点Q在点B左侧时，点Q坐标为（-3，0）；当点Q在点B右侧时，点Q坐标为（5，0），从而确定n的取值范围.
【详解】解：（1）∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴.
∴点P的坐标为.
∴.
∴反比例函数的解析式为.
（2）过P作PB⊥x轴于点B，
∵点P的坐标为（1，3），Q（n，0）是x轴上的一个动点，PQ≤5，
由勾股定理得BQ≤，
∴1-4=-3，1+4=5，
∴n的取值范围为-3≤n≤5．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了勾股定理的应用．
23. 已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
【答案】（1）y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3；（2）
【解析】
【分析】（1）先设所求函数解析式是y=a（x+1）2﹣4，再把（0，﹣3）代入，即可求a，进而可得函数解析式；
（2）令函数等于0，解关于x一元二次方程，即可求A、B两点的坐标；从而可得△ABC的面积等于AB×OC的一半．
【详解】解：（1）设y=a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a=1，
∴函数解析式y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3；
（2）∵x2+2x﹣3=0，
解得x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），
∴△ABC的面积=．
24. 矩形中，，分别以所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．
（1）当点F为边的中点时，求点E的坐标；
（2）连接，求的正切值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先确定出点A，B坐标，进而求出点C坐标，再用点F是中点，求出点F坐标，利用待定系数法求出k，最后将点E的纵坐标为3代入反比例函数解析式中即可求出点E坐标；
（2）设出点，代入反比例函数中得出，进而用m表示出，即可得出结论．
【小问1详解】
解：，
，
四边形是矩形，
，
，
点F是的中点，
点F在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点E在反比例函数的图象上，且纵坐标为3，
点E横坐标为，
【小问2详解】
解：如图，设点，
点E，F在反比例函数的图象上，
，
，
，
在中，
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，锐角三角函数，掌握反比例函数的性质是解题关键．