2024学年九年级中考数学专题复习：三角形综合解答题（提升篇）（含答案）

这是一份2024学年九年级中考数学专题复习：三角形综合解答题（提升篇）（含答案），共34页。试卷主要包含了【阅读理解】，在中，，，为平面内的一点等内容，欢迎下载使用。
1．小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
【习题回顾】：如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q使，AQ，BP相交于点O，求的度数．请你解答该习题．
【拓展延伸】：
（1）如图1，在等腰的边上各取一点P，Q，使，平分，，，求的长．小明的思路：过点A作交延长线于点G，证明，…
（2）如图2，在的边上各取一点P、Q，使，平分，，，求的数量关系，请你解答小明提出的问题．
2．【阅读理解】
（1）如图1，点A，B，C在同一直线上，于点A，于点C，，，求证：；
【拓展应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点，，分别连接，，设与x轴正半轴的夹角为，与x轴正半轴的夹角为，求证：；
【能力提升】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点，轴于点F，设点G为x轴上的一动点，当满足时，求OG的长.
3．已知四边形的一组对边、的延长线交于点E．
(1)如图1，若，求证：．
(2)如图2，若，，，，，求四边形的面积．
(3)如图3，另一组对边、的延长线相交于点F．若，，，直接写出的长（用含n的式子表示）．
4．如图，在中，，点D为边上一动点，连接，将线段绕着D点逆时针方向旋转与相同的度数得到线段，连接．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，当时，连接AE，将线段绕着A点逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：；
(3)如图3，当时，若，连接，作点C关于的对称点，点H是的中点，连接，当的长度最大时，直接写出的长度．
5．在中，，，为平面内的一点．
(1)如图1，当点在边上时，，且，求的长；
(2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：；
(3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值．
6．在中，，，过点B作直线l，点M在直线l上，连接，且，过C点作交于点N．
(1)如图1，请问和有怎样的数量关系，并证明；
(2)如图2，直线交直线l于点H，求证：；
(3)已知，在直线l绕点B旋转的过程中，当时，请直接写出的长度．
7．如图1，在中，，，点为内部一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，当点落在上时，求的度数；
(3)如图3，若为的中点，，求的长．
8．已知线段于点，点在直线上（点与不重合），分别以，为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点．
(1)如果点在线段上，如图①，证明：；
(2)如果点在线段的延长线上，如图②，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如果点在直线上，且，，请直接写出的值．
9．如图，分别过线段的端点、作直线、，且、、的角平分线交于点，过点的直线分别交、于点、．

(1)在图中，当直线时，线段、、之间的数量关系是________；
(2)当直线绕点旋转到与不垂直时，在如图两种情况下：
图中，线段、、之间的数量关系是________；
图中，线段、、之间是否有中同样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
10．在中，，点是射线上一点，点在线段上，连接并延长交于点．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，于点，交于点，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，当，求的面积．
11．如图，等边，点P、Q分别是边上的动点（端点除外），点P，Q分别从顶点A、B同时出发，且它们的运动速度相同，连接交于点M．

(1)求证：；
(2)当点P、Q分别在边上运动时，的大小变化吗？若变化，说明理由；若不变，请直接写出它的度数．
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
12．综合与实践
问题情境
在中，，点O是的中点，D为内一点，连接，将线段绕着点O旋转得到，连接．
探究证明
（1）如图1，延长交于点E，若．求证：；
（2）如图2，连接，交的延长线于点G，连接，若，用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
拓展提升
（3）如图3，在（2）的条件下，与交于点H，若，，，请求出的长度（直接写出答案）．
13．在和中，，，，连接，．
(1)求证：；
(2)若和 均为等边三角形，作直线，点 C 在直线l上且点 D 在 右侧，的延长线交l于E，连接，．
①求证：点D 在线段的垂直平分线上；
②若 斜边上的高为2，点C在直线l上运动，则 的最小值 = ．
答案
1．解答过程：解：习题回顾：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
拓展延伸：（1）过点A作交的延长线于点G，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）如图2，过点P作于H，过点A作于T，
设，
∵，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∴，
∴．
2．解答过程：解：（1）∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）作点B关于x轴的对称点C，连接，，如图所示：
根据对称性可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴为直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）取中点H，连接并延长，取，连接，过点F作于点N，如图所示：
∵，
∴，，
∵中点为H，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴．
3．解答过程：（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）过点C作于F，过点A作交延长线于G，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∵，
∴，即，
解得，，
∴四边形的面积的面积的面积的面积
；
（3）过点C作于H，过点A作于G，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
设，则，
由勾股定理得，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴．
4．解答过程：（1）证明：∵，，
∴，，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：作交的延长线于点，如图，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将线段绕着A点逆时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由对称的性质知，又，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，点H是的中点，
∴，
∴当共线时，的长度最大，延长交于点，作交于点，
同理得是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
5．解答过程：（1）证明：如图，将沿折叠，得到，连接，

∵，
∴，
将沿折叠，得到，
∴
∴，，，
∴，
∴为等边三角形，为等腰直角三角形
∴，
∴；
（2）如图，过作，且，连接，

∵
∴，
又∵，
∴
∴
又∵，
∴，，即
，，
∴
∴；
（3）如图3，连接交于G点
∵绕A点旋转
∴，，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴为直角三角形
∴点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N，
当时，点P到直线的距离最大，
∵
∴A、P、B、C四点共圆
∵，
∴N是的中点
∵M是的中点
∴
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴点P到所在直线的距离的最大值为 ．
∴的面积最大值为．
6．解答过程：（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2，在直线l上取点，连接，使，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴；
（3）解：由题意知，分两种情况求解；
①如图3，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得；
②如图4，
同理可得，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得；
综上所述，的长为或．
7．解答过程：（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过点作于点，连接，过点作，交于点，如图所示：
在和中，构成了“”字形，由于，对顶角，则，
，，
，则，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵由（1）中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点作，交于点，如图所示：
则，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵由（1）中，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，
∴．
8．解答过程：（1）证明：，都是等边三角形，
，，，
，
；
（2）解：．
∵，
∴，
由（）得，，
，，
∴
，
，
，
，
∵，
，
，
．
（3）解：①如图①中，

，
设，
，，
，
，
．
②如图③中，

设，则，
，，
，
，
，
综上所述，或．
9．(1)；
(2)；
解答过程：（1）解：如图，延长交于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，，
∵平分，
∴
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：．
理由：如图，延长交于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，，
∵平分，
∴
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
．
理由：如图，延长交于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，，
∵平分，
∴
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
10．解答过程：（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，作于N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（3）解：如图3，

设，由（2）知，，，则，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴的面积为．
11．解答过程：（1）证明： 是等边三角形
，，
又点、运动速度相同，
，
在与中，
，
，
；
（2）点、在、边上运动的过程中，不变．
理由：，
，
是的外角，
，
；
（3）点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变．
理由：同理可得，，
，
是的外角，
，
，
即若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，的度数为．
12．解答过程：解：（1）∵是线段绕着点O旋转得到的，
∴，
∵O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），
由（1）可知：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得（负值已舍），
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
在中，由勾股定理得．
13．解答过程：（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（2）①∵和 均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴点D 在线段的垂直平分线上；
②如图，过作于，则，
由①得：是的垂直平分线，
∴，
∴，
当，，三点共线时，
则，此时最小，
∵，，
∴，
即的最小值为．