2023-2024学年江苏省南通一中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通一中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中，一定为二次函数的是( )
A. y=2x−1B. y=ax2+bx+cC. y=x2+1xD. s=3t2−2t+1
2.下列说法错误的是( )
A. 直径是圆中最长的弦B. 长度相等的两条弧是等弧
C. 面积相等的两个圆是等圆D. 半径相等的两个半圆是等弧
3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是( )
A. y=3(x+1)2+2B. y=3(x+1)2−2
C. y=3(x−1)2+2D. y=3(x−1)2−2
4.如图，在⊙O中，∠BOC=130°，点A在BAC上，则∠BAC的度数为( )
A. 55°
B. 65°
C. 75°
D. 130°
5.抛物线y=12x2−x−4的顶点是( )
A. (1,3)B. (−1,−3)C. (−1,−4.5)D. (1,−4.5)
6.如图，在⊙O中，AB是直径，AC=5，∠BAC=∠D.则AB的长为( )
A. 5
B. 10
C. 5 2
D. 10 2
7.若点M(−3,y1)，N(−1,y2)，P(9,y3)在抛物线y=−12x2+2x上，则下列结论正确的( )
A. y18.若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为( )
A. 5B. −3C. −13D. −27
9.二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是( )
A. k<3B. k<3且k≠0C. k≤3D. k≤3且k≠0
10.如图，已知，在正方形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，1为半径作⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP.将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′.在点P移动过程中，BP′长度的最小值是( )
A. 4 2−1
B. 4 2
C. 4 3
D. 3
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.二次函数y=5x2−2x的图象的对称轴是______．
12.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=121°，则∠BAD的度数为______°.
13.把二次函数y=2x2−4x+3的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为______．
14.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t−5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m才能停下来．
15.已知抛物线y=x2−(k−1)x−3k−2与x轴交于A (α,0)，B(β,0)两点，且α2+β2=17，则k=______．
16.已知⊙O的半径为13cm，弦AB/​/CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB、CD之间的距离为______cm．
17.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc>0；③a>c； ④4a−2b+c>0，其中正确有______(填序号)．
18.已知点A(4m+t−1,n)，点B(t+3,n)都在关于x的函数y=−14x2+mx−m2−4m+3的图象上，且m≠l，则n的取值范围是______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
已知y=(k+2)xk2−7是关于x的二次函数．
(1)若函数有最小值，求k的值；
(2)判断点P(− 3,6)是否在(1)中的函数图象上．
20.(本小题10分)
如图，A，B是⊙O上的两点，C是AB的中点．求证：∠A=∠B．
21.(本小题10分)
一座拱型桥，桥下水面宽度AB是16米，拱高CD是4米，大雨过后，桥下水面宽度EF是12米，求水面上涨了多少米？若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中(如图)，可设抛物线的表达式为y=ax2+c，请你求出此时水面上涨了多少米？
22.(本小题10分)
如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，BD=8，OF= 5．
(1)求AB的长；
(2)求OE的长．
23.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−1,0)，点B(3,0)，且OB=OC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD的面积．
24.(本小题12分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB．
(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；
(2)若AB= 2，AD=1，求CD、BD的长度．
25.(本小题14分)
直播是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式．某公司直播销售一种成本为40元/件的产品，当月销售单价为50元/件时，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于50元/件．设月销售单价为x(单位：元/件)，月销售量为y(单位：万件)．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向贫困山区捐款a(a>0)元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a值．
26.(本小题14分)
定义：函数图象上到两坐标轴的距离之和小于或等于n(n≥0)的点，叫做这个函数图象的“n阶近距点”.例如，点(15,15)为函数y=x图象的“12阶近距点”；点(1,−1)为函数y=x2−2图象的“2阶近距点”．
(1)在①(1,3)；②(0,1)；③(−14,12)三点中，是一次函数y=2x+1图象的“1阶近距点”的有______(填序号)；
(2)若y关于x的反比例函数y=kx(x>0)图象的“2阶近距点”不止一个，求k的取值范围；
(3)若y关于x的二次函数y=−x2+2nx−n2−2n+6图象的“n阶近距点”不存在，请直接写出n的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、y=2x−1是一次函数，不合题意；
B、y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数，不合题意；
C、y=x2+1x不是二次函数，不合题意；
D、s=3t2−2t+1是二次函数，符合题意；
故选：D．
根据二次函数的定义可得答案．
本题考查了二次函数的定义，y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数，注意二次函数都是整式．
2.【答案】B
【解析】解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．
故选：B．
根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断．
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等)．
3.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为(0,0)，
∴抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,2)，
∴平移后抛物线的解析式为y=3(x−1)2+2．
故选：C．
先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为(0,0)，则抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,2)，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y=a(x−k)2+h，其中对称轴为直线x=k，顶点坐标为(k,h)，若把抛物线先右平移m个单位，向上平移n个单位，则得到的抛物线的解析式为y=a(x−k−m)2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠BOC=130°，点A在BAC上，
∴∠BAC=12∠BOC=12×130°=65°，
故选：B．
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC的度数．
本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：抛物线y=12x2−x−4的对称轴为：
x=−b2a=1，
当x=1时，y=12−1−4=−92=−4.5．
∴抛物线y=12x2−x−4的顶点坐标为(1,−4.5)．
故选：D．
根据解析式先求出对称轴为直线x=1，将x=1代入二次函数解析式求出顶点坐标的纵坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，灵活二次函数顶点坐标的求法是关键．
6.【答案】C
【解析】解：
∵∠BAC=∠D，∠B=∠D，
∴∠B=∠BAC，
∴BC=AC，
∵AB是直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴AB=5 2，
故选：C．
根据圆周角定理得出∠D=∠B，进而得出△ABC是等腰直角三角形，进而解答即可．
此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B解答．
7.【答案】C
【解析】解：x=−3时，y=−12x2+2x=−12×(−3)2+2×(−3)=−92−6=−−212，
x=−1时，y=−12x2+2x=−12×(−1)2+2×(−1)=−12−2=−52，
x=9时，y=−12x2+2x=−12×92+2×9=−812+18=−452，
∵−452<−212<−52，
∴y3故选：C．
把点M、N、P的横坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线是轴对称图形，由表看出抛物线的对称轴为x=−3，顶点为(−3,5)，是本题的关键．
由表可知，抛物线的对称轴为x=−3，顶点为(−3,5)，再用待定系数法求得二次函数的解析式，再把x=1代入即可求得y的值．
【解答】
解：设二次函数的解析式为y=a(x−h)2+k，
∵当x=−4或−2时，y=3，由抛物线的对称性可知h=−3，k=5，
∴y=a(x+3)2+5，
把(−2,3)代入得，a=−2，
∴二次函数的解析式为y=−2(x+3)2+5，
当x=1时，y=−27．
故选：D．
9.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有两个交点，
∴△>0k≠0，即△=36−12k>0k≠0，
解得k<3且k≠0．
故选：B．
根据根的判别式与二次函数的定义列出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与△的关系是解答此题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，
连接BP，
由旋转得：AP=AP′，∠PAP′=90°，
∴∠PAB+∠BAP′=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAP′+∠DAP′=90°，
∴∠PAB=∠P′AD，
在△PAB和△P′AD中，
AB=AD∠PAB=∠P′ADAP=AP′
∴△PAB≌△P′AD(SAS)，
∴P′D=PB=1，
在Rt△ABD中，∵AB=AD=4，
由勾股定理得：BD= 42+42=4 2，
∴BP′=BD−P′D=4 2−1，
即BP′长度的最小值为4 2−1．
故选：A．
通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△PAB≌△P′AD，则P′D=PB=1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．
本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明三角形全等求出BP′长度的最小值．
11.【答案】直线x=15
【解析】解：∵二次函数y=5x2−2x，
∴a=5，b=−2，
∴由对称轴公式可知，对称轴是直线x=−b2a=15．
故答案为：直线x=15．
利用二次函数的对称轴公式x=−b2a可求对称轴．
本题主要考查了求抛物线的对称轴的方法，难度不大，关键是掌握求对称轴的公式．
12.【答案】59
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BCD=121°，
∴∠BAD=180°−121°=59°，
故答案为：59．
根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13.【答案】y=−2x2−4x−3
【解析】解：∵抛物线y=2x2−4x+3=2(x−1)2+1的顶点坐标为(1,1)，
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为(−1,−1)，
∴所得到的图象的解析式为y=−2(x+1)2−1，即y=−2x2−4x−3．
故答案为：y=−2x2−4x−3．
求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
14.【答案】20
【解析】【分析】
本题考查二次函数的实际应用．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值，把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
【解答】
解：依题意：该函数关系式化简为s=−5(t−2)2+20，
当t=2时，汽车停下来，滑行了20m．
15.【答案】2
【解析】解：∵抛物线y=x2−(k−1)x−3k−2与x轴交于A (α,0)，B(β,0)两点，
∴α+β=k−1，αβ=−3k−2，
∵α2+β2=17，
∴α2+β2=(α+β)2−2αβ=(k−1)2−2(−3k−2)=17，
解得，k=2或k=−6，
∵△≥0，
∴k=2．
故答案为：2．
先根据一元二次方程根与系数的关系得到α+β=k−1，αβ=−3k−2，再由完全平方公式即可得到关于k的一元二次方程，求出k的值即可．
本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知一元二次方程的根与系数的关系及完全平方公式是解答此题的关键．
16.【答案】7或17
【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=12−5=7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=OF+OE=17cm．
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
故答案为7或17．
分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
17.【答案】②③④
【解析】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2−4ac>0，即b2>4ac，
所以①错误；
②∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴ab>0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc>0，
所以②正确；
③∵x=−1时，y<0，
即a−b+c<0，
∵对称轴为直线x=−1，
∴−b2a=−1，
∴b=2a，
∴a−2a+c<0，即a>c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴x=−2和x=0时的函数值相等，即x=−2时，y>0，
∴4a−2b+c>0，
所以④正确．
所以本题正确的有：②③④，
故答案为：②③④．
①利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断；
②由抛物线对称轴位置确定ab>0，由抛物线与y轴交点位置得到c>0，则可作判断；
③利用x=−1时a−b+c<0，然后把b=2a代入可判断；
④利用抛物线的对称性得到x=−2和x=0时的函数值相等，即x=−2时，y>0，则可进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点，观察二次函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
18.【答案】n≤3且n≠−1
【解析】解：∵点A(4m+t−1,n)，点B(t+3,n)都在关于x的函数y=−14x2+mx−m2−4m+3的图象上，
∴4m+t−1+t+32=−m2×(−14)，
整理得，2m+t+1=2m，
∴t=−1，
∴B(2,n)，
代入y=−14x2+mx−m2−4m+3得，
n=−1+2m−m2−4m+3=−(m+1)2+3，
∵m=−1，n有最大值3，
∵m≠1，所以n≠−1，
∴n的取值范围是n≤3且n≠−1．
故答案为：n≤3且n≠−1．
根据抛物线的对称性得到4m+t−1+t+32=−m2×(−14)，解得t=−1，从而得到B(2,n)，代入解析式得到n=−1+2m−m2−4m+3=−(m+1)2+3，利用二次函数的性质即可求得n≤3，然后根据m≠1，得到n≠−1，从而求得n的取值范围是n≤3且n≠−1．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得t的值从而得到B的坐标为(2,n)是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵y=(k+2)xk2−7是关于x的二次函数，且函数有最小值，
∴k2−7=2k+2>0，
解得，k=3，
即k的值是3；
(2)由(1)可知二次函数为y=3x2，
当x=− 3时，y=9，
∴点P(− 3,6)不在(1)中的函数图象上．
【解析】(1)根据二次函数的定义以及二次函数的最值可以求得k的值；
(2)把P点的坐标代入解析式即可判断．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的定义，解答本题的关键是明确二次函数的定义．
20.【答案】证明：连接OC．
∵C是AB的中点，
∴AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC，
在△AOC和△BOC中，
OA=OB∠AOC=∠BOCOC=OC，
∴△AOC≌△BOC(SAS)，
∴∠A=∠B．
【解析】本题考查圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
连接OC.证明△AOC≌△BOC(SAS)，可得结论．
21.【答案】解：由题意可知抛物线顶点为(0,4)，
设抛物线解析式为：y=ax2+4，
将点B(8,0)代入，得：64a2+4=0，
解得：a=−116，
∴该抛物线解析式为：y=−116x2+4，
当x=6时，y=−116×36+4=74，
故水位上涨了74米；
如图，连接OB、OF，记EF与OD交点为P，

根据题意知，BC=12AB=8m，PF=12EF=6m，CD=4m，
设⊙O半径为r，则OC=r−4，
由OB2=OC2+BC2，可得r2=(r−4)2+82，
解得：r=10，
∴OC=6m，
在RT△OPF中，由OF2=PF2+OP2，得：102=62+OP2，
解得：OP=8m，
∴PC=OP−OC=8−6=2(m)
故此时水面上涨了2米．
【解析】根据题意知抛物线顶点坐标(0,4)，设其顶点式y=ax2+4，将点A或点B坐标代入求得其解析式，再求当x=6时y的值即可得答案；
由垂径定理知BC=12AB、PF=12EF，设⊙O半径为r，在RT△OBC中根据OB2=OC2+BC2求得r的值及OC的长，再在RT△OFP中根据OF2=PF2+OP2求得OP的长，由OP−OC可得答案．
本题主要考查待定系数法求函数解析式及垂径定理、勾股定理的应用，根据不同条件设出合适的二次函数解析式是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)∵OF⊥BC，
∴CF=FB，
∵CO=OA，OF= 5，
∴AB=2OF=2 5，
(2)如图，连接OB，
∵BD⊥AO，BD=8，
∴BE=ED=12BD=4，
由勾股定理得：AE= AB2−BE2=2，
在Rt△BOE中，OB2=OE2+BE2，
即OA2=(OA−2)2+42，
解得：OA=5，
∴OE=OA−AE=5−2=3．
【解析】(1)根据垂径定理得CF=FB，根据三角形中位线定理求出AB即可；
(2)连接OB，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−1,0)，点B(3,0)，且OB=OC，
∴OC=OB=3，
∴C(0,3)，
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，将C(0,3)代入得，
−3a=3，
∴a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3；
(2)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴D(1,4)．
如图，过点D作DF⊥AB于点F，交BC于点E．
设直线BC的解析式为y=kx+3，将(3,0)代入得，0=3k+3，
∴k=−1，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
当x=1时，y=2，
∴E(1,2)，
∴DE=4−2=2，
∴S△CDB=12⋅DE⋅OB=12×2×3=3
【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，将C(0,3)代入求解；
(2)求出DE的长，可得结论．
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，
∴AB=BC，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
(2)在Rt△ABC中，AB=BC= 2，
∴AC=2，
在Rt△ADC中，AD=1，AC=2，
∴CD= AB2−AD2= 3，
过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，
则△ADE和△CDF是等腰直角三角形，
∴AE= 22AD= 22，CF= 22CD= 62，
∵S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ABD+S△BCD，
∴12×1× 3+12× 2× 2=12× 22BD+12× 62BD，
∴BD= 2+ 62．
【解析】(1)根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
(2)根据等腰直角三角形的性质得到AC=2，根据勾股定理得到CD= AB2−AD2= 3，过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了圆内接四边形的下在，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意得：y=5−(x−50)×0.1=10−0.1x，
∴y与x之间的函数关系式为：y=−0.1x+10；
(2)由题意得：w=(x−40)y
=(x−40)(−0.1x+10)
=−0.1x2+14x−400
=−0.1(x−70)2+90，
∵−0.1<0，
∴当x=70时，w有最大值，最大值为90，
∴当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；
(3)由题知，利润w=(x−40−a)(10−0.1x)=−0.1x2+(14+0.1a)x−400−10a，
此函数的对称轴为直线x=−14+0.1a2×(−0.1)=70+0.5a>70，
∴当月销售单价是70元时，月销售利润最大，
即(70−40−a)×(10−0.1×70)=78，
解得a=4，
∴a的值为4．
【解析】(1)根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可；
(2)根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可；
(3)根据(2)中的函数和月销售单价不高于70元/件的取值范围，确定a值即可．
本题主要考查二次函数的应用及方程的应用，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．
26.【答案】(1)②③，
(2)当k>0时，
∵y关于x的反比例函数y=kx(x>0)图象的“2阶近距点”不止一个
∴反比例函数y=kx与直线y=−x+2有交点，
由y=−x+2y=kx，
可得kx=−x+2，
∴x2−2x+k=0，
∵Δ>0，
∴4−4k>0，
∴k<1，
∴0当k<0时，
∵y关于x的反比例函数y=kx(x>0)图象的“2阶近距点”不止一个
∴反比例函数y=kx与直线y=x−2有交点，
由y=x−2y=kx
可得x−2=kx，
∴x2−2x−k=0，
∵Δ>0，
∴4+4k>0，
∴−1综上所述k的取值范围是−1(3)n的取值范围为：0⩽n<1或n>258．
【解析】解(1)①∵1+3>1，
∴(1,3)不是一次函数y=2x+1图象的“1阶近距点”；
②∵0+1=1，
∴(0,1)是一次函数y=2x+1图象的“1阶近距点”；
③∵14+12=34<1，
∴(−14,12)是一次函数y=2x+1图象的“1阶近距点”；
故答案为：②③；
(2)见答案；
(3)∵二次函数y=−x2+2nx−n2−2n+6=−(x−n)2−2n+6，
∴抛物线的顶点(n,−2n+6)，
∴抛物线的顶点在直线y=−2x+6(x≥0)上运动，
如图1中，当点P在第一象限时，过点P作PH⊥x轴于点H，在x轴的负半轴上截取OF，使得OF=OH，以FH为对角线作正方形EFGH．
当抛物线经过F(−n,0)时，
0=−n2−2n2−n2−2n+6，
∴n=−32(舍去)或n=1，
如图2中，当点P在第四象限，抛物线与直线y=x−n相切时，
y=−x2+2nx−n2−2n+6y=x−n，
∴x2+(1−2n)x+n2+n−6=0，
∵Δ=0，
∴(1−2n)2−4(n2+n−6)=0，
∴n=258，
综上所述二次函数图象的“n阶近距点”不存在，n的取值范围为：0⩽n<1或n>258．
(1)根据定义进行判断即可；
(2)y关于x的反比例函数y=kx(x>0)图象的“2阶近距点”不止一个，推出反比例函数y=kx与直线y=−x+2有两个不同的交点，构建方程组，利用判别式求解即可；
(3)二次函数y=−x2+2nx−n2−2n+6=−(x−n)2−2n+6，推出抛物线的顶点(n,−2n+6)，推出抛物线的顶点在直线y=−2x+6(x≥0)上运动，分顶点在第一象限或第四象限讨论，求出两种特殊位置n的值，即可判断．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．x
−7
−6
−5
−4
−3
−2
y
−27
−13
−3
3
5
3