2023-2024学年江苏省南通市海门区重点学校九年级（上）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海门区重点学校九年级（上）月考数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算|8|−3的结果
( )
A. 5B. −5C. 1D. 0
2.下列图形中，不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是
( )
A. 120∘B. 240∘C. 360∘D. 90∘
4.甲、乙两个不透明的袋子中各有三种颜色的糖果若干，这些糖果除颜色外无其他差别．具体情况如下表所示．
若小明从甲、乙两个袋子中各随机摸出一颗糖果，则他从甲袋比从乙袋( )
A. 摸出红色糖果的概率大B. 摸出红色糖果的概率小
C. 摸出黄色糖果的概率大D. 摸出黄色糖果的概率小
5.如图，▵ABC中，∠ACB=90∘，顶点A，C分别在直线m，n上．若m/​/n，∠1=50∘，则∠2的度数为
( )
A. 140∘B. 130∘C. 120∘D. 110∘
6.直线y=ax+2与直线y=3x−2平行，下列说法不正确的是
( )
A. a=3
B. 直线y=ax+2与y=3x−2没有交点
C. 方程组y=ax+2y=3x−2无解
D. 方程组y=ax+2y=3x−2有无穷多个解
7.如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子(其中的n是正整数)，每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是
( )
A. A1B. B1C. A2D. B3
8.如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，⊙O的切线DF与BC的延长线交于点F，AE=2，ED=4.则sin∠ADB=( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
9.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，当B在x轴的正半轴上运动时，A随之在y轴的正半轴上运动，矩形ABCD的形状保持不变．若∠OAB=30°时，点A的纵坐标为2 3，点C的纵坐标为1，则点D到点O的最大距离是( )
A. 2 5B. 2 2+2C. 2 2+4D. 2 3+4
10.若实数x，y，m满足x+y+m=6，3x−y+m=4，则代数式−2xy+1的值可以是
( )
A. 3B. 52C. 2D. 32
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.分解因式：H2−HJ=__________
12.计算：3 2−2 2=_____．
13.若分式x−1x有意义，则x的取值范围是___________
14.在2023年度海门区公务员考试中，考生小丽的笔试成绩为98.5分，面试成绩为93.5分，若笔试成绩、面试成绩按5：5计算平均成绩，则小丽的平均成绩是_____分
15.一元二次方程a(a+3)=0的两根分别为____________
16.已知B港口位于A观测点北偏东45∘方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为10 2km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4 7km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75∘方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为_________km．
17.如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(5,12)，且与边BC交于点D.若AB=BD，则点D的坐标为_____．
18.关于x的一元二次方程m−2x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是____________
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8.0分)
(1)解方程组：2x+y=3①3x+y=5②
(2)先化简，再求值：x−2−5x+2÷x−32x+4，其中x选一个你喜欢的数字代入计算结果．
20.(本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE=CF，连接BE，DF．
(1)求证：▵ABE≌▵CDF；
(2)连接BD，∠1=30°，∠2=20°，当∠ABE=__°时，四边形BFDE是菱形．
21.(本小题8.0分)
配餐公司为某学校提供A、B、C三类午餐供师生选择，三类午餐每份的价格分别是：A餐5元，B餐6元，C餐8元；为做好下阶段的营销工作，配餐公司根据该校上周A、B、C三类午餐购买情况，将所得的数据处理后，制成统计表(如下左图)；根据以往销售量与平均每份利润之间的关系，制成统计图(如图)；

该校上周购买情况统计表
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)该校师生上周购买午餐费用的众数是_________元；
(2)计算该配餐公司上周在该校销售午餐约盈利为__________元；(均要写出计算结果)
22.(本小题8.0分)
有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．
(1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于___________；
(2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
23.(本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD；
(1)求证：∠CDE=2∠B；
(2)若BD：AB= 3：2，求⊙O的半径及DF的长．
24.(本小题8.0分)
如图，斜坡AB的坡角∠BAC=13∘，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F,E为DF与AB的交点．已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28∘．
(1)求AE的长(结果取整数)；
(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA=32∘.后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少(结果取整数)？参考数据： 2≈1.41, 3≈1.73, 6≈2.45
25.(本小题8.0分)
如图①，在正方形ABCD中，点E与点F分别在线段AC,BC上，且四边形DEFG是正方形．
(1)试探究线段AE与CG的关系，并说明理由．
(2)如图②若将条件中的四边形ABCD与四边形DEFG由正方形改为矩形，AB=3，BC=4．
①线段AE,CG在(1)中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由．
②当△CDE为等腰三角形时，求CG的长．
26.(本小题8.0分)
定义：平面直角坐标系xOy中，点Pa,b，点Qc,d，若c=ka，d=−kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”.例如，点−4,6是点2,3的“−2级变换点”．
(1)函数y=−4x的图象上是否存在点1,2的“k级变换点”?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
(2)点At,12t−2与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点m2,y1，m2,y2.若k≤−2，求证：y1−y2≥2；
(3)关于x的二次函数y=nx2−4nx−5nx≥0的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y=−x+5上，求n的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】先化简绝对值，再算减法．
【详解】解：|8|−3=8−3=5．
故选A．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，以及有理数的减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形，故不符合题意；
选项B不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，故符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据多边形内角和公式求解．
【详解】解：多边形内角和公式为(n−2)×180∘，
正六边形内角和=(6−2)×180∘=720∘，
每个内角=720∘÷6=120∘．
故选：A．
【点睛】本题主要考查内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】分别对甲乙两个袋子的 红色及黄色的糖果的概率进行计算，再去比较即可．
【详解】解：P(甲袋摸出红色糖果)=25，
P(甲袋摸出黄色糖果)=25，
P(乙袋摸出红色糖果)=410=25，
P(乙袋摸出黄色糖果)=210=15，
∴P(甲袋摸出红色糖果)=P(乙袋摸出红色糖果)，故A，B错误；
P(甲袋摸出黄色糖果)>P(乙袋摸出黄色糖果)，故D错误，C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了简单概率的计算，掌握概率公式并能灵活掌握是解题关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由∠ACB=90∘得出∠4的度数，根据补角的定义即可得出结论．
【详解】解：如图，

∵m//n，∠1=50∘，
∴∠3=∠1=50∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠4=∠ACB−∠3=90∘−50∘=40∘，
∴∠2=180∘−∠4=180∘−40∘=140∘，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
6.【答案】D
【解析】【分析】根据一次函数图象的特征解答即可．
【详解】解：A.两直线平行时，比例系数相等，a=3，故正确，不符合题意；
B.两直线平行，没有交点，故正确，不符合题意；
C.两直线平行，没有交点，所以方程组无解，故正确，不符合题意；
D.两直线平行，没有交点，所以方程组无解，故错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，掌握当两直线平行时比例系数k相等是解题关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【详解】解：由题意得：A1=2n+1+2n+3+2n+5=789，
整理得：2n=260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；
A2=2n+7+2n+9+2n+11=789，
整理得：2n=254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；
B1=2n+1+2n+7+2n+13=789，
整理得：2n=256=28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；
B3=2n+5+2n+11+2n+17=789，
整理得：2n=252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；
故选：B．
【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
8.【答案】A
【解析】【分析】由圆周角定理得∠ABC=∠ADB，证明▵ABE∽▵ADB，可求出AB2=12，再利用勾股定理求出BE，进而可得答案
【详解】∵点A是弧BC的中点，
∴AB⌢=AC⌢，
∴∠ABC=∠ADB，
∵∠A=∠A，
∴▵ABE∽▵ADB，
∴ABAD=AEAB，
∴AB2=AE×AD=2×2+4=12，
∴AB=2 3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE= AB2+AE2=4，
∴sin∠ADB=sin∠ABE=AEBE=12，
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，证明▵ABE∽▵ADB是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】由Rt△AOB中的条件可得AB=4，由△AOB∽△BFC，可得BC=2，再AB上取一点E，利用勾股定理求出OE，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出OE，由三角形两边之后大于第三边可求出OD最大值．
【详解】解：取AB中点E，连接DE、OE、OD，过C作CF⊥BF与点F，
在Rt△AOB中，AO=2 3，∠OAB=30°，
∴AB=4，OE=12AB=2=AE，
由矩形的性质，可得AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∴△AOB∽△BFC，
∵C的纵坐标为1，
∴BC=2=AD；
在 Rt△ADE中，DE=2 2，
当O、D、E三点共线时，OD=DE+OE最大，
此时OD=2 2+2；
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形三边关系，根据性质求出相应线段，根据两边之和大于第三边求出最大值是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】联立方程组，解得x=5−m2y=7−m2，设w=−2xy+1，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，x+y+m=63x−y+m=4,
解得：x=5−m2y=7−m2
设w=−2xy+1
∴w=−2×5−m2×7−m2+1=−m22+6m−332
∵−12<0
∴w有最大值，最大值为4×−12×−332−364×−12=32
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】HH−J
【解析】【分析】利用提公因式法分解因式．
【详解】解：H2−HJ=HH−J
故答案为：HH−J．
【点睛】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法是解题的关键．
12.【答案】 2
【解析】【分析】直接进行同类二次根式的合并即可．
【详解】解：3 2−2 2= 2．
故答案为： 2
13.【答案】x≠0
【解析】【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：x≠0，
故答案为：x≠0．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
14.【答案】96
【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式计算即可．
【详解】解：小丽的平均成绩=98.5×5+93.5×55+5=96
故答案为：96．
【点睛】本题考查加权平均数的计算公式，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
15.【答案】a1=0，a2=−3
【解析】【分析】根据因式分解法直接写出方程的根．
【详解】解：由于一元二次方程a(a+3)=0，
故a=0或a+3=0，
解得a1=0，a2=−3．
故答案为：a1=0，a2=−3．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
16.【答案】8 3
【解析】【分析】根据∠MAB=45∘，BM=10 2和勾股定理求出AB的长，再根据tan∠BAD=BDAD求出BD的长，即可得到AD以及CD的长，进而得到答案．
【详解】解：∵∠MAB=45∘,BM=10 2，
∴AB= BM2+MA2= (10 2)2+(10 2)2=20km，
过点B作BD⊥AC.交AC的延长线于D，
在Rt▵ADB中，，
∠BAD=∠MAC−∠MAB=75∘−45∘=30∘，
tan∠BAD=BDAD= 33，
∴AD= 3BD，
∴BD2+AD2=AB2，
即BD2+( 3BD)2=202，
∴BD=10，
∴AD=10 3，
在Rt▵BCD中，BD2+CD2=BC2，BC=4 7，
∴CD=2 3，
∴AC=AD−CD=10 3−2 3=8 3．

故答案为：8 3．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得到边长是解题的关键．
17.【答案】(8,152)
【解析】【详解】解：∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(5,12)，∴k=12×5=60，∴反比例函数的解析式为y=60x，设D(m,60m)，由题可得OA的解析式为y=125x，AO//BC，∴可设BC的解析式为y=125x+b，把D(m,60m)代入，可得125m+b=60m，∴b=60m−125m，∴BC的解析式为y=125x+60m−125m，令y=0，则x=m−25m，即OC=m−25m，∴平行四边形ABCO中，AB=m−25m，如图所示，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，则△DEB∽△AFO，∴DBDE=AOAF，而AF=12，DE=12−60m，OA= 52+122=13，∴DB=13−65m，∵AB=DB，∴m−25m=13−65m，解得m1=5，m2=8，又∵D在A的右侧，即m>5，∴m=8，∴D的坐标为(8,152).故答案为(8,152).
点睛：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用．
18.【答案】m≤3且m≠2
【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根得到Δ≥0且m−2≠0，即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程m−2x2+2x+1=0有实数根，
∴Δ=22−4m−2≥0，且m−2≠0，
解得m≤3且m≠2，
故答案为：m≤3且m≠2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．
19.【答案】(1)x=2y=−1；(2)2x+3，x=1时原式=8
【解析】【分析】(1)利用加减法解方程组；
(2)先计算分式的混合运算，化简后代入符合题意的x的值计算即可．
【详解】解：(1)②−①得x=2，
将x=2代入②得，6+y=5，
得y=−1
∴方程组的解为x=2y=−1；
(2)原式=x−2x+2−5x+2⋅2x+2x−3
=x−3x+3x+2⋅2x+2x−3
=2x+3
∵x≠−2，x≠3，
∴当x=1时，原式=2×1+3=8．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，分式的化简求值，正确掌握各解法是解题的关键．
20.【答案】1)见解析；(2)当∠ABE=10°时，四边形BFDE是菱形
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性子和“SAS”可证△ABE≌△CDF；
(2)先证明四边形BFDE是平行四边形，再通过证明BE=DE，可得结论．
【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∴∠1=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
AE=CF∠1=∠DCFAB=CD,
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)当∠ABE=10°时，四边形BFDE是菱形，
理由如下：∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，AE=CF，
∴BF=DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵∠1=30°，∠2=20°，
∴∠ABD=∠1−∠2=10°，
∴∠DBE=20°，
∴∠DBE=∠EDB=20°，
∴BE=DE，
∴平行四边形BFDE是菱形，
故答案为10．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定是解题的关键．
21.【答案】(1)6 (2)配餐公司上周在该校销售午餐约盈利7800元．
【解析】【分析】(1)根据图表和众数的定义即可得出答案，众数是一组数据中出现次数最多的数；
(2)根据图表可知上周的A、B、C三类午餐的购买数量，再根据条形统计图中配餐公司上周在该校销售午餐的盈利情况，分别把A、B、C三类午餐的盈利加起来即可．
【 小问1详解】
∵出现次数最多的是B餐，
∴该校师生上周购买午餐费用的众数是6元；
故答案为：6．
【小问2详解】
根据图表和直方图可得：
1.5×1000+3×1700+3×400=1500+5100+1200=7800(元)．
答：配餐公司上周在该校销售午餐约盈利7800元．
【点睛】本题考查了频率分布直方图和众数，读懂频数分布直方图，从统计图中获取必要的信息，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22.【答案】(1)13
(2)PM=13

【解析】【分析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图求概率即可求解．
【小问1详解】
解：共有三把钥匙，取出c钥匙的概率等于13；
故答案为：13．
【小问2详解】
解：据题意，可以画出如下的树状图：

由树状图知，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的可能性相等．
其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁(记为事件M)的结果有2种．
∴PM=26=13．
【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】(1)见解析
(2)103 3，10

【解析】【详解】(1)
[证明]连接OD，∵直线CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，∴∠CDE+∠ODE=90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠DEO=∠DEC=90°，
∴∠EOD+∠ODE=90°，
∴∠CDE=∠EOD，
又∵∠EOD=2∠B，
∴∠CDE=2∠B．
(2) [解]
连接AD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD：AB= 3：2，
∴在Rt△ADB中，csB=BDAB= 32，
∴∠B=30°，
∴∠AOD=2∠B=60°，
又∵在Rt△CDO中，CD=10，
∴OD=10tan30°=103 3，
即8O的半径为103 3，
在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°，
∴DE=CDsin30°=5，
∵弦DF⊥直径AB于点E，
∴DE=EF=12DF，
∴DF=2DE=10．
24.【答案】(1)91cm (2)32cm
【解析】【分析】(1)在Rt△ADF中，由锐角三角函数定义求出AF的长，再在Rt△AEF中，由锐角三角函数定义求出AE的长即可；
(2)设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，由锐角三角函数定义求出DF、FG的长，得出AG的长，再由锐角三角函数定义求出AN的长，然后证△AMN为等腰直角三角形，得AM= 2AN≈123.1(cm)，由EM=AM−AE，即可得出答案．
【小问1详解】
解：(1)在Rt△ADF中，cs∠DAF=AFAD，
∴AF=ADcs∠DAF
=100×cs28∘
=100×0.88
=88cm，
在Rt△AEF中，cs∠EAF=AFAE，
∴AE=AFcs∠EAF=88cs13∘=880.97≈91cm．
【小问2详解】
设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图所示：
则∠AMN=∠MAC+∠MGA，
∴∠AMN=13∘+32∘=45∘，
在Rt△ADF中，DF=AD•sin∠DAF=100×sin28∘=100×0.47=47cm，
在Rt△DFG中，DFFG=tan∠DGF=tan32∘=0.62，
∴FG=DF0.62≈75.8(cm)，
∴AG=AF+FG=88+75.8=163.8(cm)，
∵AN⊥GD，
∴∠ANG=90°，
∴AN=AG×sin32∘=163.8×0.53≈86.8cm，
在Rt△ANM中，sin45∘=ANAM=86.8AM，
∴AM=86.8 22≈123.1cm，
∴EM=AM−AE=123.1−91=32.1cm≈32cm，
∴EH的最小值为32cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，求出AE、AM的长是解题的关键．
25.【答案】(1)AE=CG,AE⊥CG，理由见解析
(2)①位置关系保持不变，数量关系变为CGAE=34；理由见解析；②当△CDE为等腰三角形时，CG的长为32或2120或158．

【解析】【分析】(1)如图1，根据SAS证明▵ADE≅▵DGC，可得AE=CG，及∠ACG=90∘，则AG⊥AC，所以AE⊥CG；
(2)①如图2，连接EG,DF交于点O，连接OC，根据矩形的性质和直角三角形斜边中线的性质得：OE=OF=OG=OD=OC，可知D,E,F,C,G在以点O为圆心的圆上，根据直径所对的圆周角是直角得∠ECG=90∘，再证明▵ADE∼▵CDG，得CGAE=DCAD=34；
②先根据CGAE=34，设CG=3x,AE=4x，
分三种情况：
(i)当ED=EC时，如图3，根据等腰三角形三线合一性质和中位线定理可得x的值，从而计算CG的长；
(ii)当DE=DC=3时，如图4，证明▵CDH∼▵CAD，列比例式可得CH的长，从而根据AE=4x=AC−2CH=5−2×95=75，求得x的值，同理可得CG的长；
(iii)当CD=CE=3时，如图5，根据AE=2.，可得x的值，同理可得CG的长．
【小问1详解】
AE=CG,AE⊥CG,
理由：如图1，∵四边形EFGD是正方形，
∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90∘,
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD,∠ADE+∠EDC=90∘,
∴∠ADE=∠CDG,
∴▵ADE≅▵CDG，
∴AE=CG,∠DCG=∠DAE=45∘,
∵∠ACD=45∘,
∴∠ACG=90∘,
∴CG⊥AC,
即AE⊥CG．
【小问2详解】
①位置关系保持不变，数量关系变为CGAE=34.
理由：如图2，连接EG,DF交于点O，连接OC，
∵四边形EFGD是矩形，
∴OE=OF=OG=OD,
Rt▵DGF中，OG=OF，
Rt▵DCF中，OC=OF，
∴OE=OF=OG=OD=OC,
∴D,E,F,C,G在以点O为圆心的圆上，
∵∠DGF=90∘,
∴DF为⊙O的直径，
∵DF=EG,
∴EG也是⊙O的直径，
∴∠ECG=90∘，即AE⊥CG,
∴∠DCG+∠ECD=90∘,
∵∠DAC+∠ECD=90∘,
∴∠DAC=∠DCG,
∵∠ADE=∠CDG,
∴▵ADE∼▵CDG，
∴CGAE=DCAD=34.
②由①知：CGAE=34.
∴设CG=3x,AE=4x,
分三种情况：
(i)当ED=EC时，如图3，过E作EH⊥CD于H，则EH//AD，
∴DH=CH,
∴AE=EC=4x,
由勾股定理得：AC= AB2+BC2= 32+42=5,
∴8x=5,
即x=58.
∴CG=3x=158；
(ii)当DE=DC=3时，如图4，过D作DH⊥AC于H，
∴EH=CH,
∵∠CDH=∠CAD,∠CHD=∠CDA=90∘,
∴▵CDH∼▵CAD,
∴CDCA=CHCD,
∴35=CH3,
∴CH=95,
∴AE=4x=AC−2CH=5−2×95=75,
∴x=720,
∴CG=3x=2120,
(iii)当CD=CE=3时，如图5，
∴AE=4x=5−3=2,
∴x=12,
∴CG=3x=32,
综上所述，当△CDE为等腰三角形时，CG的长为32或2120或158．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质、菱形的性质、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的判定、圆的定义以及全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理，并采用分类讨论的思想是解题的关键．
26.【答案】(1)存在，k=± 2
(2)见解析 (3)n的取值范围为0
【解析】【分析】(1)根据“k级变换点”定义求解即可；
(2)求出点B的坐标为kt,−12kt+2k，得到直线l1，l2的解析式分别为y=12x−2和y=−12x+2k，根据k≤−2进行证明．
(3)由题意得，二次函数y=nx2−4nx−5nx≥0的图象上的点的“1级变换点”都在函数y=−nx2+4nx+5nx≥0的图象上，得到函数y=−nx2+4nx+5n的图象与直线y=−x+5必有公共点．分当n>0时和当n<0，x≥0时分类讨论即可．
【小问1详解】
解：函数y=−4x的图象上存在点1,2的“k级变换点”
根据“k级变换点”定义，点1,2的“k级变换点”为k,−2k，
把点k,−2k代入y=−4x中，
得k⋅−2k=−4，解得k=± 2．
【小问2详解】
证明：∵点B为点At,12t−2的“k级变换点”，
∴点B的坐标为kt,−12kt+2k．
∴直线l1，l2的解析式分别为y=12x−2和y=−12x+2k．
当x=m2时，y1−y2=12m2−2−−12m2+2k=m2−2k−2．
∵k≤−2，
∴−2k−2≥2．
∵m2≥0，
∴m2−2k−2≥2．
∴y1−y2≥2．
【小问3详解】
解：由题意得，二次函数y=nx2−4nx−5nx≥0的图象上的点的
“1级变换点”都在函数y=−nx2+4nx+5nx≥0的图象上．
由−nx2+4nx+5n=−x+5，整理得nx2−4n+1x+5−5n=0．
∵▵=−4n+12−4n5−5n=36n2−12n+1=6n−12≥0，
∴函数y=−nx2+4nx+5n的图象与直线y=−x+5必有公共点．
由y=−nx2+4nx+5n=−nx−5x+1得该公共点为5,0．
①当n>0时，由6n−12≠0得n≠16．
又5n≤5得n≤1，
∴0②当n<0，x≥0时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．
综上，n的取值范围为0【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键．
袋子 糖果
红色
黄色
绿色
总计
甲袋
2颗
2颗
1颗
5颗
乙袋
4颗
2颗
4颗
10颗
种类
数量(份)
A
1000
B
1700
C
400
三角函数锐角A
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
csA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62