湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期1月期末联考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期1月期末联考数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，星等是衡量天体光度的量，5等星亮度的倍等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列函数的最小正周期为，且在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
3.某旅游团计划去湖南旅游，该旅游团从长沙､衡阳､郴州､株洲､益阳这5个城市中选择4个（选择的4个城市按照到达的先后顺序分别记为第一站､第二站､第三站､第四站），且第一站不去株洲，则该旅游团四站的城市安排共有（ ）
A.96种 B.84种 C.72种 D.60种
4.在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（ ）
A.1 B. C.2 D.或2
5.星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕佮斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值和它们对应的亮度满足关系式，则（ ）
A.3等星的亮度是0.5等星亮度的倍
B.0.5等星的亮度是3等星亮度的倍
C.3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍
D.0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍
6.已知是抛物线上的两点，为的焦点，，点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A.9 B.10 C. D.
7.若函数与图象的交点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A.4 B.6 C. D.
8.在正三棱台中，，二面角为，则该三棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知半径为的圆的圆心在直线上，且圆与直线相切，则圆的圆心坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
10.若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（ ）
A.重合 B.相交于一点 C.两两平行 D.恰有两条交线平行
11.已知平行四边形的面积为，且，则（ ）
A.的最小值为2
B.当在上的投影向量为时，
C.的最小值为
D.当在上的投影向量为时，
12.已知函数的定义域为，函数是定义在上的奇函数，函数），则必有（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，则__________.
14.已知椭圆的周长，其中分别为椭圆的长半轴长与短半轴长.现有如图所示的椭圆形镜子，其外轮廓是椭圆，且该椭圆的离心率为，长轴长为，则这面镜子的外轮廓的周长约为__________cm.（取3.14，结果精确到整数）
15.某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是__________.
16.若为正整数，记集合中的整数元素个数为，则数列的前62项和为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知某超市销售的袋装食用盐的质量（单位：）服从正态分布，且0.15.某次该超市称量了120袋食用盐，其总质量为的值恰好等于这120袋食用盐每袋的平均质量（单位：）.
（1）若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取2袋，设这2袋中质量不小于的袋数为，求的分布列；
（2）若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取（为正整数）袋，记质量在的袋数为，求满足的的最大值.
18.（12分）
在平面四边形中，平分.
（1）证明：与相等或互补.
（2）若，求内切圆的半径.
19.（12分）
在数列中，且.
（1）证明：是等差数列.
（2）设的前项和为，证明：.
20.（12分）
在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，直线与平面交于点.
（1）求的长；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
21.（12分）
在平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹记为曲线.
（1）求的方程.
（2）已知，过点的直线（斜率存在且斜率不为0）与交于两点，直线与交于点，若为圆上的动点，试问是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
22.（12分）
已知函数.
（1）证明：当时，对恒成立.
（2）若存在，使得，比较与的大小，并说明理由.
2024届高三统一考试试题数学
参考答案
1.A 【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养.
因为，所以，所以.
2.C 【解析】本题考查三角函数的周期，考查数学运算的核心素养.
的最小正周期均为，但在上不单调递减，的最小正周期为，且在上单调递减，的最小正周期为.
3.A 【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查应用意识与逻辑推理的核心素养.
因为第一站不去株洲，所以第一站可以从长沙､衡阳､郴州､益阳这4个城市中选择1个，共有4种选择，所以该旅游团四站的城市安排共有种.
4.D 【解析】本题考查复数方程的求解与复数的模，考查数学运算的核心素养.
由，得.因为，所以或-1，所以的值为或2.
5.D 【解析】本题考查对数运算的实际应用，考查应用意识与逻辑推理的核心素养.
当时，，则，则，所以0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍.
6.A 【解析】本题考查抛物线的定义的应用，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
因为的准线方程为，所以.因为，
所以，当且仅当在线段上时，等号成立，所以的最小值为9.
7.B 【解析】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
由，得，设，则，所以为增函数，因为，所以.，则，所以曲线在点处的切线方程为，令，得，令，得，则所求三角形的面积为.
8.B 【解析】本题考查正棱台的体积与二面角，考查空间想象能力与运算求解能力.
如图，取的中点，取的中点，连接，
则，所以二面角的平面角为，
则.设上底面与下底面的中心分别为，连接，则.过点作，
垂足为，则，则，
则，故该三棱台的体积为.
9.AC 【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.
依题意可设圆的圆心坐标为，则，解得或，所以圆的圆心坐标为或.
10.ABC 【解析】本题考查立体几何初步中的点､线､面的位置关系，考查空间想象能力.
如图，交线的位置关系可能是重合.由三棱锥的三个侧棱相交于一点，可知交线的位置关系可能是相交于一点.由三棱柱的三个侧棱两两平行，可知交线的位置关系可能是两两平行.若有两条交线互相平行，则可证它们均与第三条直线平行，所以交线的位置关系不可能是恰有两条交线平行.
11.ACD 【解析】本题考查平面向量的综合与基本不等式，考查逻辑推理与直观想象的核心素养.
因为，所以.设，则，解得，则，当且仅当时，等号成立，A正确.
因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为C正确.
如图，过点作，垂足为，则在上的投影向量为，当在上的投影向量为时，.因为，所以，得，则错误，D正确.
12.ABD 【解析】本题考查函数的奇偶性与抽象函数，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.
由条件可知.因为，所以，且，可得，所以均正确.
取，则，此时满足是定义在上的奇函数，，所以未必成立.
13. 【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.
因为，所以，依题意得，所以，解得.
14.211 【解析】本题考查椭圆的性质，考查应用意识与数学运算的核心素养.
因为，所以.因为长轴长为，所以，故.
15. 【解析】本题考查全概率公式的实际应用，考查应用意识与数学运算的核心素养.若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为，解得.因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以.故的取值范围是.
16.3841 【解析】本题考查数列与不等式的交汇，考查逻辑推理的核心素养与分类讨论的数学思想.
.
当时，；当时，；
当时，.
因为，
所以.
又，所以.
故数列的前62项和为.
17.解：（1）依题意可得，
则，
的可能取值为，，
所以的分布列为
（2）因为，所以.
依题意可得，
所以.
因为，所以，又为正整数，所以的最大值为199.
18.（1）证明：在中，，
在中，.
因为平分，所以.
又，所以，
所以与相等或互补.
（2）解：因为，所以与互补.
在中，，
在中，，
所以.
又，
所以，
则.
所以的面积，
故内切圆的半径.
19.证明：（1）因为，所以，
所以，
所以是公差为1的等差数列.
（2）因为，所以，由（1）知，则.
设，
则，
所以，
则.
所以
.
20.解：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以.
设，则.
设平面的法向量为，
则
令，得.
依题意可得，解得.
所以.
（2）因为，
所以.
设直线与平面所成的角为，
则
，所以直线与平面所成角的正弦值为.
21.解：（1）因为，
所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为6的双曲线的左支.
由，得，
所以的方程为.
【注】的方程也可以写为.
（2）由题意可设的方程为，
设，
联立得
则.
直线，直线，
联立与，
得
，
解得，故点在定直线上.
因为圆的圆心到直线的距离为，
所以的最小值为.
22.（1）证明：设函数，则，当时，，
所以为增函数，所以.
.
因为，所以，当时，，
所以，所以在上为增函数，
故，即当时，对恒成立.
（2）解：.
证明如下：
不妨设，由，得，
所以要证明，只需证，
即证
即证.
设函数，则.
（方法一）设函数，则.
当时，；当时，.
所以，所以.
易证，所以，所以在上单调递减，
又，所以，
则
从而得证.
（方法二）设函数，则，当时，
，当时，.
所以，所以.
所以，因为此连不等式的两个等号的取等条件不同，所以，
从而，所以，所以在上单调递减.
又，所以，
则，0
1
2
0.25
0.5
0.25