湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期11月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期11月联考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了函数的图象大致为，若a，，则下列命题正确的是，某食品的保鲜时间y等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A.1B.4C.6D.7
2.已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A.B.C.D.
3.设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.函数的图象大致为（ ）
A.B.
C.D.
5.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
6.如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（ ）
A.B.C.D.
7.已知函数满足，对任意实数x，y都有成立，则（ ）
A.B.C.2D.1
8.已知，函数与的图象在上最多有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若a，，则下列命题正确的是（ ）
A.若且，则B.若，则
C.若，则D.若，则
10.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（ ）
参考数据：，
A.
B.若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时
C.
D.若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃
11.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（ ）
A.B.当n为奇数时，
C.数列为等比数列D.数列的前n项和小于
12.已知正方体的棱长为2，P是正方体表面上一动点，且，记点P形成的轨迹为，则下列结论正确的是（ ）
A.，，B.，，
C.的长度是8D.的长度是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知等差数列的前n项和为，若，，则______.
14.写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______.
15.已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是______.
16.已知函数则方程的解的个数是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知函数和在处有相同的导数.
（1）求；
（2）设是的极大值点，是的极小值点，求的值.
18.（本小题满分12分）
如图，在斜四棱柱中，底面正方形的中心是O，且平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若该四棱柱的所有棱长均为1，求二面角的余弦值.
19.（本小题满分12分）
为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1∼10分别对应年份2013∼2022.
图1 图2
根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中，.
（1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由；
（2）（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；
（ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大?
附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
20.（本小题满分12分）
在数列中，已知，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的值；
（3）若数列满足，求证：.
21.（本小题满分12分）
在中，为边上的高，已知.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值及取最小值时k的值.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）讨论函数的零点个数.
2024届高三11月质量检测•数学
参考答案、提示及评分细则
1.【答案】C
【解析】因为，，所以，有6个元素，故选C.
2.【答案】A
【解析】，所以复数的虚部为，故选A.
3.【答案】B
【解析】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点，故选B.
4.【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，又，函数为偶函数.故选B.
5.【答案】A
【解析】由，得.又，所以，所以向量在向量上的投影向量为，故选A.
6.【答案】D
【解析】以为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图.
则从点A到点B的最短路径为线段，，.
过S作，则公路距山顶的最近距离为，
因为，所以，故选D.
7.【答案】D
【解析】因为且，
令，得，则，
所以，即，所以，
所以，故函数是周期为6的周期函数.
令，，得，则；
令，，得，则.
由，得，，，，所以，
又，故由函数的周期性知，，故选D.
8.【答案】C
【解析】设.
因为在上最多有两个零点，故，所以.
由得.
（1）由得；（2）由得；
（3）由得；（4）由得；
（5）由得此时不等式组无实数解.
综上可得，故选C.
9.【答案】BD
【解析】对选项A，取，，满足且，则，错误；
对选项B，因为函数单调递增，当时，，正确；
对选项C，，要使，即，即，错误；
对选项D，因为函数单调递增，当，则，正确.故选BD.
10.【答案】ACD
【解析】在函数中，当时，，由，知，，故A正确；
当时，，所以，则，
当时，，故B不正确；
由，得，故C正确；
由，得，所以，故D正确.故选ACD.
11.【答案】ACD
【解析】对于A，因为，，，所以，故A正确；
对于B，由于，故B错误；
对于C，因为小于的所有正奇数与均互质，且小于的所有正奇数有个，所以，因此数列为等比数列，故C正确；
对于D，同理，所以，令，
则，故D正确，故选ACD.
12.【答案】ACD
【解析】是正方体的棱的中垂面与四个侧面的交线，它是一个边长为2的正方形，它的周长是8，且，，，所以A，C正确；
在正方体两侧面、和上底面都是一段圆弧，它与其它三个面无公共点.将正方体两侧面和沿展开为平面图，建立平面直角坐标系如图，设动点，因为，
所以，化简得，
故动点P在两侧面内轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，
因为，所以，所以，
所以在两侧面内点轨迹长度为.
在上底面内，动点P轨迹为以为圆心的一段圆弧，如上图，由，可知，故，又，所以，即圆弧所在圆的半径为，所以圆弧的长为，所以动点P形成的轨迹的长度为，且不存在这样的点P，Q，使，所以D正确，B错误.故选ACD.
13.【答案】0
【解析】设数列的公差为d，由已知有，，所以，，所以.
14.【答案】或或（答案不唯一）
【解析】由题设知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，即两圆外离，故共有4条公切线.又M，N关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线.设过原点的公切线为，则，可得或，所以公切线为或；设与平行的公切线为，且M，N与公切线距离都为1，则，即，所以公切线为.
15.【答案】
【解析】设函数，，则过定点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象.由题意得得，故所求实数a的取值范围是.
16.【答案】4
【解析】依题意可得，，
当时，由得；当时，由得；
当时，由得；当时，由得.
综上可得，方程有4个实数根.
17.【解析】（1）由题设知，.
因为，所以，即.
又，，故，得.……5分
（2）由题意得，，，.
于是，
所以，，
故的值是.……10分
18.【解析】（1）连接交于，连接.
在平行四边形中，
由于，分别是、的中点，
所以.
因为平面，平面平面，
所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）法一：由于平面，所以，.
又，
故可以直线，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图.由于斜四棱柱的棱长均为1，所以，，，.
所以，.……8分
设是平面的一个法向量，
由得 令得.
又由（1）知，，，所以平面.
即是平面的一个法向量.……10分
设二面角的平面角为，由图可知，.
所以.
故所求二面角的余弦值为.……12分
法二：由（1）知，，又，所以平面.
过点作于点，连接，则.
所以是二面角的平面角.……9分
因为该四棱柱的棱长为1，所以.
在中，，，所以.
在中，，则.
故所求二面角的余弦值为.……12分
19.【解析】（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜.……3分
（2）（i）设，所以，
所以，，
所以关于的经验回归方程为.……8分
（ii）由题设可得，
当，即时，年利润L有最大值，
故该公司2028年的年利润最大.……12分
20.【解析】（1）由可得，
因为，所以，从而是以1为首项，1为公比的等比数列，
所以，.……4分
（2）因为，
所以.……8分
（3）因为
.
所以.
即.……12分
21.【解析】设a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，则.
（1）在中，由余弦定理得.
由，得，所以.
因为，所以，于是，
而.……6分
（2）法一：由（1）知，.
如图，在中，过B作的垂线，且使，
则，则，
即，所以.
于是，即.……10分
令函数，，则在上单调递增，
所以，此时.
故所求的最小值为，此时k的值为.……12分
法二：由，
得，即，
化简得，即，
因为，，所以，
于是.……10分
以下同解法一……12分
22.【解析】（1）由题意可知对恒成立.
当时，显然成立；当时，；当时，.
令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，故当时，；当时，.
综上，实数的取值范围是.……5分
（2）法一：由（1）可知，当时，有一个零点；
当时，在上单调递增，当x趋于0时，趋于负无穷大，且，故只有一个零点.……7分
当时，.令，则，
在上单调递减，在上单调递增..
当x趋于0时，因为趋于0，所以趋于正无穷大.
又，所以存在，使得.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，所以当时，在只有一个零点.……9分
当时，在上单调递减，，且x趋于正无穷大时，.所以存在，使得，所以在上单调递增，在上单调递减，又当x趋于0时，趋于负无穷大，.
所以当时，，当时，.
故当时，无论k为何值，取，总能有.
所以当时，有两个零点.……11分
综上所述，当时，有两个零点；当时，有一个零点.……12分
法二：，故当时，.
令，则，
所以在上单调递减，在上也单调递减，且当x大于0且趋于0时，趋于正无穷大，当x小于e且趋于e时，趋于负无穷大，当x大于e且趋于e时，趋于正无穷大，当x趋于正无穷大时，趋于0，其大致图象如图.
由图可知，当时，有两个零点；当时，有一个零点.……12分
75
2.25
82.5
4.5
120
28.35