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第38讲 函数模型及其应用--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练
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这是一份第38讲 函数模型及其应用--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练，文件包含第14讲函数模型及其应用原卷版docx、第14讲函数模型及其应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
1.三种函数模型的性质的比较
2.常见的函数模型
常用结论
1.函数f(x)=xa+bx(a>0,b>0,x>0)在区间(0,ab]上单调递减,在区间[ab,+∞)上单调递增.
2.直线上升、对数缓慢、指数爆炸.
分类训练
探究点一 用函数图象刻画变化过程
例1 水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水的速度如图2-14-2甲、乙所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示,给出以下3个论断:
图2-14-2
①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到5时不进水也不出水.
则一定正确的论断是( )
A.①B.①②
C.①③D.①②③
[总结反思] 判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时,首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变换趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.
变式题 某公司的一品牌电子产品,2020年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份,公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2020年该产品销售量的变化情况的图象是( )
图2-14-3
探究点二 已知函数模型解决实际问题
例2 根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=cx,xA.75,25B.75,16
C.60,25D.60,16
[总结反思] 用已知函数解决实际问题,解题时要理解题目给出的变量的实际意义,然后建立好数学模型,合理地运用函数的基本性质解决问题.
变式题 受疫情影响,某电器厂生产的空调滞销,经研究决定,在已有线下门店销售的基础上,成立线上营销团队,大力发展“网红”经济,当线下销售人数为a(a∈N*)时,每天线下销售空调可达m(a)=10a(百台),当线上销售人数为b(b∈N*)时,每天线上销量达到n(b)=b2,0≤b≤20,400,b>20(百台).
(1)解不等式m(a)(2)若该工厂有销售人员t(t∈N*)人,按市场需求,安排人员进行线上或线下销售,问该工厂每天销售空调总台数(单位:百台)的最大值是多少?
探究点三 构建函数模型解决实际问题
角度1 构建二次函数模型
例3 某汽车租赁公司有200辆小汽车.若每辆车一天的租金为300元,可全部租出;若将出租收费标准每天提高10x元(1≤x≤50,x∈N*),则租出的车辆会相应减少4x辆.
(1)求该汽车租赁公司每天的收入y(元)关于x的函数关系式.
(2)若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63 840元,则每辆汽车的租金可定为多少元?
[总结反思] 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,即函数的定义域,解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题中.
变式题 某企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资额成正比,设比例系数为k1,其关系如图2-14-4①;B产品的利润与投资额的算术平方根成正比,设比例系数为k2,其关系如图②.(注:利润与投资额单位是万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资额的函数,并求出k1,k2的值,写出它们的函数关系式.
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资额,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?
图2-14-4
角度2 构建指数、对数函数模型
例4 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量M之间的关系为v=a+blg3M-1510(其中a,b是常数),据统计,该种鸟类在静止时的耗氧量为45个单位,而其耗氧量为105个单位时,其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a,b的值.
(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?
[总结反思] 在求解与指数函数、对数函数有关的实际问题时,要学会合理选择模型.(1)在两类函数模型中,指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型,对数函数模型是增长速度越来越慢(底数大于1)的一类函数模型.(2)在解题时,一般先要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题.
变式题 (1)在十三届全国人大一次会议上的《政府工作报告》中指出:过去五年来,我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元,年均增长7.1%,占世界经济比重从11.4%提高到15%左右,对世界经济增长贡献率超过30%,2018年发展的主要预期目标之一是国内生产总值增长6.5%左右.如果从2018年开始,以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长,那么2020年的国内生产总值约为(提示:1.0653≈1.208)( )
A.93.8万亿元B.97万亿元
C.99.9万亿元万亿元
(2) 2018年5月至2019年春,在阿拉伯半岛和伊朗西南部,沙漠蝗虫迅速繁衍,呈现几何式的爆发,仅仅几个月,蝗虫数量增长了8000倍,引发了蝗灾,到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦,假设蝗虫的日增长率为5%,最初有N0只,则经过 天能达到最初的16 000倍.(结果保留整数,参考数据:ln 1.05≈0.048 8,ln 1.5≈0.405 5,ln 1600≈7.377 8,ln 16 000≈9.680 3)
角度3 构建分段函数模型
例5 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元.设该公司的仪器月产量为x台,当月产量不超过400台时,总收益为400x-12x2元,当月产量超过400台时,总收益为80 000元.(注:总收益=总成本+利润)
(1)将利润表示为关于月产量x的函数f(x).
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?
[总结反思] (1)某些实际问题中的变量关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,所以应建立分段函数模型;(2)构建分段函数时,要力求准确、简捷、合理、不重不漏;(3)分段函数的最大值(或最小值)是各段最大值(或最小值)中的最大值(或最小值).
变式题 某校高二(1)班学生为了筹措经费给班上购买课外读物,班委会成立了一个社会实践小组,决定利用暑假,在八月份(按30天计算)轮流换班去销售一种时令水果.在这30天内每斤水果的收入p(元)与时间t(天)的函数关系如图2-14-5所示,已知日销售量Q(斤)与时间t(天)满足一次函数关系,具体数据如下表.
图2-14-5
(1)根据提供的图象和表格,写出每斤水果的收入p(元)与时间t(天)所满足的函数关系式及日销售量Q(斤)与时间t(天)的一次函数关系式.
(2)用y(元)表示销售水果的日收入,写出y与t的函数关系式,并求这30天中第几天的收入最多?最多日收入为多少元?
同步作业
1.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为f(x)=12x2+2x+20(万元),商品的售价是每件20元,为获取最大利润(利润=收入-成本)(每月生产的商品当月全部售出),该企业一个月应生产该商品的数量为( )
A.9万件B.18万件
C.22万件D.36万件
2.污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一.凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数为150,若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216,则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为 ( )
3.我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰.2019年,为响应党中央提出的“防治土地荒漠化助力脱贫攻坚战”的号召,当地政府积极行动,计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10%.已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里,则2025年该地区的荒漠化土地面积为( )
A.7×0.94万平方公里
B.7×0.95万平方公里
C.7×0.96万平方公里
D.7×0.97万平方公里
4.(多选题)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.图K14-1表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系,下列结论正确的是( )
图K14-1
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B.甲同学从家到公园的时间是30 min
C.甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y=115x
5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图K14-2,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,截取的矩形面积的最大值为 .
图K14-2
6.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数,从足够长远的角度看,最有前途的生意是 .(填序号)
①y=10×1.05x;②y=20+x1.5;③y=30+lg(x-1);④y=50.
7.1943年,我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文《西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究》,这一研究成果使病毒在试管内繁殖成为现实,从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数y和天数t的函数关系为y=2t-1,且该种病毒细胞的个数超过108时会发生变异.当该种病毒细胞不变异时,该种病毒细胞实验最多进行的天数为 .(lg 2≈0.301 0)
8.“开车不喝酒,喝酒不开车.”公安部交通管理局下发的《关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定,根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准,即车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值(如下表),经过反复试验,一般情况下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图K14-3所示,且其所表示的函数模型为f(x)=40sin(π3x)+13,0≤x<2,90e-0.5x+14,x≥2,则该人喝一瓶啤酒后可以驾车所经过的最少小时数为(时间以整小时计算,参考数据:ln 15≈2.71,ln 30≈3.40)( )
图K14-3
A.5B.6C.7D.8
9.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得的一组试验数据如下表:
现有如下四个模拟函数:①y=0.6x-0.2;②y=x2-55x+8;③y=lg2x;④y=2x-3.02.请从中选择一个模拟函数,使它比较近似地反映表中数据的变化规律,应选( )
A.①B.②C.③D.④
10.小明在如图K14-4①所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t s,他与教练间的距离为y m,表示y与t的函数关系的图象大致如图②所示,则这个固定位置可能是图①中的( )
图K14-4
A.点MB.点N
C.点PD.点Q
11.衡东土菜辣美鲜香,享誉三湘.某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标,拟制订员工的奖励方案:在经营利润超过6万元的前提下奖励,且奖金y(单位:万元)随经营利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中,符合该点要求的是(参考数据:1.015100≈4.432,lg 11≈1.041)( )
A.y=0.04x
B.y=1.015x-1
C.y=tanx19-1
D.y=lg11(3x-10)
12.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.6B.9
C.8D.7
13.某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:若顾客选购物品的总金额不超过600元,则不享受任何折扣优惠;若顾客选购物品的总金额超过600元,则超过600元的部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下表计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元,则他实际所付金额为 元.
14.科学家发现某种特别物质的温度y(单位:℃)随时间x(时间:min)的变化规律满足关系式y=m·2x+21-x(0≤x≤4,m>0).
(1)若m=2,求经过多少分钟后该物质的温度为5 ℃?
(2)若该物质的温度总不低于2 ℃,求实数m的取值范围.
15.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2 mg/m3,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为1.94 mg/m3.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1,则第n次改良后所排放的废气中含有的污染物数量rn可由函数模型rn=r0-(r0-r1)50.5n+p(p∈R,n∈N*)给出,其中n是指改良工艺的次数.
(1)试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型.
(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08 mg/m3,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标?(参考数据:lg 2≈0.3)
函数性质
y=ax(a>1)
y=lgax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的增减性
单调
单调
单调
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数模型
f(x)=kx+b(k,b为常数且k≠0)
指数函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数模型
f(x)=blgax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数模型
f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
第t天
2
8
16
24
Q(斤)
38
32
24
16
驾驶行为类别
阈值(mg/100 mL)
饮酒后驾车
≥20,<80
醉酒后驾车
≥80
x
1.99
2.8
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
可以享受折扣优惠金额
折扣优惠率
不超过500元的部分
5%
超过500元的部分
10%
1.三种函数模型的性质的比较
2.常见的函数模型
常用结论
1.函数f(x)=xa+bx(a>0,b>0,x>0)在区间(0,ab]上单调递减,在区间[ab,+∞)上单调递增.
2.直线上升、对数缓慢、指数爆炸.
分类训练
探究点一 用函数图象刻画变化过程
例1 水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水的速度如图2-14-2甲、乙所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示,给出以下3个论断:
图2-14-2
①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到5时不进水也不出水.
则一定正确的论断是( )
A.①B.①②
C.①③D.①②③
[总结反思] 判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时,首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变换趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.
变式题 某公司的一品牌电子产品,2020年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份,公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2020年该产品销售量的变化情况的图象是( )
图2-14-3
探究点二 已知函数模型解决实际问题
例2 根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=cx,x
C.60,25D.60,16
[总结反思] 用已知函数解决实际问题,解题时要理解题目给出的变量的实际意义,然后建立好数学模型,合理地运用函数的基本性质解决问题.
变式题 受疫情影响,某电器厂生产的空调滞销,经研究决定,在已有线下门店销售的基础上,成立线上营销团队,大力发展“网红”经济,当线下销售人数为a(a∈N*)时,每天线下销售空调可达m(a)=10a(百台),当线上销售人数为b(b∈N*)时,每天线上销量达到n(b)=b2,0≤b≤20,400,b>20(百台).
(1)解不等式m(a)
探究点三 构建函数模型解决实际问题
角度1 构建二次函数模型
例3 某汽车租赁公司有200辆小汽车.若每辆车一天的租金为300元,可全部租出;若将出租收费标准每天提高10x元(1≤x≤50,x∈N*),则租出的车辆会相应减少4x辆.
(1)求该汽车租赁公司每天的收入y(元)关于x的函数关系式.
(2)若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63 840元,则每辆汽车的租金可定为多少元?
[总结反思] 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,即函数的定义域,解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题中.
变式题 某企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资额成正比,设比例系数为k1,其关系如图2-14-4①;B产品的利润与投资额的算术平方根成正比,设比例系数为k2,其关系如图②.(注:利润与投资额单位是万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资额的函数,并求出k1,k2的值,写出它们的函数关系式.
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资额,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?
图2-14-4
角度2 构建指数、对数函数模型
例4 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量M之间的关系为v=a+blg3M-1510(其中a,b是常数),据统计,该种鸟类在静止时的耗氧量为45个单位,而其耗氧量为105个单位时,其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a,b的值.
(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?
[总结反思] 在求解与指数函数、对数函数有关的实际问题时,要学会合理选择模型.(1)在两类函数模型中,指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型,对数函数模型是增长速度越来越慢(底数大于1)的一类函数模型.(2)在解题时,一般先要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题.
变式题 (1)在十三届全国人大一次会议上的《政府工作报告》中指出:过去五年来,我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元,年均增长7.1%,占世界经济比重从11.4%提高到15%左右,对世界经济增长贡献率超过30%,2018年发展的主要预期目标之一是国内生产总值增长6.5%左右.如果从2018年开始,以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长,那么2020年的国内生产总值约为(提示:1.0653≈1.208)( )
A.93.8万亿元B.97万亿元
C.99.9万亿元万亿元
(2) 2018年5月至2019年春,在阿拉伯半岛和伊朗西南部,沙漠蝗虫迅速繁衍,呈现几何式的爆发,仅仅几个月,蝗虫数量增长了8000倍,引发了蝗灾,到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦,假设蝗虫的日增长率为5%,最初有N0只,则经过 天能达到最初的16 000倍.(结果保留整数,参考数据:ln 1.05≈0.048 8,ln 1.5≈0.405 5,ln 1600≈7.377 8,ln 16 000≈9.680 3)
角度3 构建分段函数模型
例5 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元.设该公司的仪器月产量为x台,当月产量不超过400台时,总收益为400x-12x2元,当月产量超过400台时,总收益为80 000元.(注:总收益=总成本+利润)
(1)将利润表示为关于月产量x的函数f(x).
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?
[总结反思] (1)某些实际问题中的变量关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,所以应建立分段函数模型;(2)构建分段函数时,要力求准确、简捷、合理、不重不漏;(3)分段函数的最大值(或最小值)是各段最大值(或最小值)中的最大值(或最小值).
变式题 某校高二(1)班学生为了筹措经费给班上购买课外读物,班委会成立了一个社会实践小组,决定利用暑假,在八月份(按30天计算)轮流换班去销售一种时令水果.在这30天内每斤水果的收入p(元)与时间t(天)的函数关系如图2-14-5所示,已知日销售量Q(斤)与时间t(天)满足一次函数关系,具体数据如下表.
图2-14-5
(1)根据提供的图象和表格,写出每斤水果的收入p(元)与时间t(天)所满足的函数关系式及日销售量Q(斤)与时间t(天)的一次函数关系式.
(2)用y(元)表示销售水果的日收入,写出y与t的函数关系式,并求这30天中第几天的收入最多?最多日收入为多少元?
同步作业
1.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为f(x)=12x2+2x+20(万元),商品的售价是每件20元,为获取最大利润(利润=收入-成本)(每月生产的商品当月全部售出),该企业一个月应生产该商品的数量为( )
A.9万件B.18万件
C.22万件D.36万件
2.污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一.凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数为150,若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216,则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为 ( )
3.我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰.2019年,为响应党中央提出的“防治土地荒漠化助力脱贫攻坚战”的号召,当地政府积极行动,计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10%.已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里,则2025年该地区的荒漠化土地面积为( )
A.7×0.94万平方公里
B.7×0.95万平方公里
C.7×0.96万平方公里
D.7×0.97万平方公里
4.(多选题)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.图K14-1表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系,下列结论正确的是( )
图K14-1
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B.甲同学从家到公园的时间是30 min
C.甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y=115x
5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图K14-2,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,截取的矩形面积的最大值为 .
图K14-2
6.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数,从足够长远的角度看,最有前途的生意是 .(填序号)
①y=10×1.05x;②y=20+x1.5;③y=30+lg(x-1);④y=50.
7.1943年,我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文《西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究》,这一研究成果使病毒在试管内繁殖成为现实,从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数y和天数t的函数关系为y=2t-1,且该种病毒细胞的个数超过108时会发生变异.当该种病毒细胞不变异时,该种病毒细胞实验最多进行的天数为 .(lg 2≈0.301 0)
8.“开车不喝酒,喝酒不开车.”公安部交通管理局下发的《关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定,根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准,即车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值(如下表),经过反复试验,一般情况下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图K14-3所示,且其所表示的函数模型为f(x)=40sin(π3x)+13,0≤x<2,90e-0.5x+14,x≥2,则该人喝一瓶啤酒后可以驾车所经过的最少小时数为(时间以整小时计算,参考数据:ln 15≈2.71,ln 30≈3.40)( )
图K14-3
A.5B.6C.7D.8
9.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得的一组试验数据如下表:
现有如下四个模拟函数:①y=0.6x-0.2;②y=x2-55x+8;③y=lg2x;④y=2x-3.02.请从中选择一个模拟函数,使它比较近似地反映表中数据的变化规律,应选( )
A.①B.②C.③D.④
10.小明在如图K14-4①所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t s,他与教练间的距离为y m,表示y与t的函数关系的图象大致如图②所示,则这个固定位置可能是图①中的( )
图K14-4
A.点MB.点N
C.点PD.点Q
11.衡东土菜辣美鲜香,享誉三湘.某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标,拟制订员工的奖励方案:在经营利润超过6万元的前提下奖励,且奖金y(单位:万元)随经营利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中,符合该点要求的是(参考数据:1.015100≈4.432,lg 11≈1.041)( )
A.y=0.04x
B.y=1.015x-1
C.y=tanx19-1
D.y=lg11(3x-10)
12.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.6B.9
C.8D.7
13.某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:若顾客选购物品的总金额不超过600元,则不享受任何折扣优惠;若顾客选购物品的总金额超过600元,则超过600元的部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下表计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元,则他实际所付金额为 元.
14.科学家发现某种特别物质的温度y(单位:℃)随时间x(时间:min)的变化规律满足关系式y=m·2x+21-x(0≤x≤4,m>0).
(1)若m=2,求经过多少分钟后该物质的温度为5 ℃?
(2)若该物质的温度总不低于2 ℃,求实数m的取值范围.
15.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2 mg/m3,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为1.94 mg/m3.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1,则第n次改良后所排放的废气中含有的污染物数量rn可由函数模型rn=r0-(r0-r1)50.5n+p(p∈R,n∈N*)给出,其中n是指改良工艺的次数.
(1)试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型.
(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08 mg/m3,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标?(参考数据:lg 2≈0.3)
函数性质
y=ax(a>1)
y=lgax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的增减性
单调
单调
单调
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数模型
f(x)=kx+b(k,b为常数且k≠0)
指数函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数模型
f(x)=blgax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数模型
f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
第t天
2
8
16
24
Q(斤)
38
32
24
16
驾驶行为类别
阈值(mg/100 mL)
饮酒后驾车
≥20,<80
醉酒后驾车
≥80
x
1.99
2.8
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
可以享受折扣优惠金额
折扣优惠率
不超过500元的部分
5%
超过500元的部分
10%
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