第10讲 指数与指数函数-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.根式
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1).
②正数的负分数指数幂:a-mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1).
③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .
(2)有理数指数幂的性质
①asat= (a>0,s,t∈Q);
②(as)t= (a>0,s,t∈Q);
③(ab)s= (a>0,b>0,s∈Q).
3.指数函数的图象与性质
常用结论
1.函数y=ax+b(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0,1+b).
2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象以x轴为渐近线.
分类训练
探究点一 指数幂的化简与求值
1.化简[3(-5)2]34的结果为( )
A.5B.5C.-5D.-5
2.化简a23b12·-3a12b13÷13a16b56的结果为( )
A.6aB.-aC.-9aD.9a2
3.计算:(32×3)6+(-2020)0-4×1649 -12+4(3-π)4= .
4.已知x+x-1=3,则x32+x-32-3x2+x-2-6的值为 .
[总结反思] 指数幂运算的一般原则:
(1)指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂,以便利用法则计算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数.
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
探究点二 指数函数的图象及应用
例1 (1)函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=(a-1)x2-2x-1在同一个坐标系内的图象可能是( )
图2-10-1
(2)函数y=ax(a>0且a≠1)与y=xb的图象如图2-10-2所示,则下列不等式一定成立的是( )
图2-10-2
A.ba>0B.a+b>0
C.ab>1D.lga2>b
[总结反思] (1)研究指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),-1,1a.
(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究,往往利用指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.
(3)一些指数方程、不等式问题,往往结合相应的指数型函数图象,利用数形结合求解.
变式题 (1)函数f(x)=12|x+1|的图象大致为( )
图2-10-3
(2)设函数f(x)=e|ln x|(e为自然对数的底数),若x1≠x2且f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是( )
A.x2·f(x1)>1
B.x2·f(x1)=1
C.x2·f(x1)<1
D.x2·f(x1)探究点三 利用指数函数的性质解决有关问题
微点1 比较指数式的大小
例2 (1)已知a=3615,b=343,c=925,则( )
A.bC.a(2)(多选题)已知实数a,b满足等式12a=13b,下列关系式可能正确的是( )
A.0C.b[总结反思] 比较指数式的大小,其依据是指数函数的单调性,原则上是将待比较的指数式化为同底的指数式,并要注意底数的范围是(0,1)还是(1,+∞),若不能化为同底,则可化为同指数或利用中间变量比较.
微点2 解简单的指数方程或不等式
例3 (1)已知关于x的不等式2x-a>0在区间-1,-12上有解,那么实数a的取值范围是( )
A.-∞,12B.-∞,22
C.12,22D.22,+∞
(2)若f(x)为偶函数,当x≥0时满足f(x)=2x-4,则不等式f(x-2)>0的解集为 .
[总结反思] (1)af(x)=ag(x)(a>0且a≠1)⇔f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0微点3 指数函数性质的综合问题
例4 (1)已知函数f(x)=3x+13x,则使得f(2x)>f(x+1)成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.(1,+∞)
C.-13,1D.-∞,-13∪(1,+∞)
(2)若关于x的不等式4ax-1<3x-4(a>0且a≠1)对于任意的x>2恒成立,则a的取值范围为 .
[总结反思] 指数函数性质的综合问题,主要涉及单调性、奇偶性、最值等,应在有关性质的基础上,结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化.
▶ 应用演练
1.【微点1】下列关系中正确的是( )
A.12 23<15 23<12 13
B.12 13<12 23<15 23
C.15 23<12 13<12 23
D.15 23<12 23<12 13
2.【微点1】(多选题)已知a=2,b=55,c=77,则( )
A.a>bB.c>b
C.b>cD.b>a
3.【微点2】若关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-8]∪[0,+∞)
B.(-∞,-4)
C.[-8,-4)
D.(-∞,-8]
4.【微点2】已知函数f(x)=ex(1+x),那么不等式f(x)<0的解集是( )
A.(-∞,-e)B.(-∞,-1)
C.(-∞, 1)D.(-∞,e)
5.【微点3】已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-t,若对任意x1∈[1,6),总存在x2∈[1,6),使得f(x1)=g(x2),则t的取值范围是( )
A.t<1B.t≥28或t≤1
C.t>28或t<1D.1≤t≤28
同步作业
1.若函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,则( )
A.a>0且a≠1B.a=1
C.a=1或a=2D.a=2
2.设m,n∈R,则“m1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若指数函数f(x)=ax在区间[0,2]上的最大值和最小值之和为10,则a的值为( )
A.13B.3
C.±3D.±13
4.化简a3b2·3ab2(a14b12)4·3ba(a>0,b>0)的结果为( )
A.abB.ab
C.baD.ab2
5.已知函数g(x)=3x+t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为( )
A.t≤-1B.t<-1
C.t≤-3D.t≥-3
6.函数f(x)=3x+5的值域是 .
7.已知a=235,b=325,c=5-15,则( )
A.bC.c8.已知函数f(x)=12x2-2x+1,x∈[1,4],当x=a时,f(x)取得最大值b,则函数g(x)=a|x+b|的大致图象为( )
图K10-1
9.已知0A.(1-a)1b>(1-a)b
B.(1-a)b>(1-a)b2
C.(1+a)a>(1+b)b
D.(1-a)a>(1-b)b
10.(多选题)已知函数f(x)=2021x-2021-x+1,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)是奇函数
B.关于x的不等式f(2x-1)+f(2x)>2的解集为14,+∞
C.函数f(x)是R上的增函数
D.函数f(x)的图象的对称中心是(0,1)
11.2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T(单位:年)的衰变规律满足N=N0·2-T5730(N0表示碳14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的 ;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到 年之间.(参考数据:lg 2≈0.3,lg 7≈0.85,lg 3≈0.48)
12.已知函数f(x)=13 ax2-4x+3,若f(x)有最大值3,则a的值为 .
13.已知函数f(x)=2x+(a-a2)·4x,其中a∈R.
(1)当a=2时,求满足f(x)≥0的实数x的取值范围;
(2)若x∈(-∞,1]时,函数f(x)的图象总在直线y=-1的上方,且a为整数,求a的值.
14.(多选题)若实数a,b满足5a-4b=5b-4a,则下列关系式中可能成立的是( )
A.a=bB.1C.015.已知函数f(x)=e|x-t|,g(x)=-x+e,h(x)=max{f(x),g(x)},其中max{a,b}表示中a,b中最大的数,若h(x)>e对x∈R恒成立,则实数t的取值范围是 .
n次方根
概念
如果存在实数x,使得xn=a,则x称为a的 ,其中n>1,n∈N*
性质
当n是 时,a的n次方根为x= na
当n是 时,正数a的n次方根为x=±na,负数的偶次方根
0的任意正整数次方根均为0,记为n0=0
根式
概念
当na有意义的时候,na称为 ,n称为 ,a称为
性质
当n为奇数时,nan=
当n为偶数时,nan=|a|
y=ax(a>0且a≠1)
a>1
0图象
定义域
R
值域

性质
过定点
当x>0时, ;
当x<0时,
当x>0时, ;
当x<0时,
在R上是
在R上是